三角関数の極限

$\frac{3}{2}$

方針　${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を使うには、$\sin$ の中身 $3x$ と分母が同じ式でなければならない。分母に $3x$ を作り、余った数を外に出す。

1. 分母を $3x$ にそろえる。$\frac{\sin 3x}{2x}=\frac{\sin 3x}{3x}\times \frac{3x}{2x}=\frac{\sin 3x}{3x}\times \frac{3}{2}$
2. $x\to 0$ のとき $3x\to 0$ なので、$\frac{\sin 3x}{3x}$ は 1 に近づく
3. よって極限値は $1\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

ここで間違えやすい　$\frac{\sin 3x}{2x}$ のまま「$\frac{\sin x}{x}$ の形だから 1」や「$\frac{1}{2}$」としない。$\sin$ の中身が $3x$ なら、分母も $3x$ のときだけ 1 に近づく。

$\frac{2}{5}$

方針　分子の $\tan 2x$ には $2x$ を、分母の $\sin 5x$ には $5x$ を組み合わせれば、どちらも 1 に近づく形になる。$\frac{\tan 2x}{2x}$ と $\frac{5x}{\sin 5x}$ を作り、余った $x$ の比を外に出す。

1. 形を作る。$\frac{\tan 2x}{\sin 5x}=\frac{\tan 2x}{2x}\times \frac{5x}{\sin 5x}\times \frac{2x}{5x}$
2. $\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$
3. $x\to 0$ のとき $2x\to 0$ なので、$\frac{\tan 2x}{2x}$ は 1 に近づく
4. $x\to 0$ のとき $5x\to 0$ なので、$\frac{\sin 5x}{5x}$ は 1 に近づき、その逆数 $\frac{5x}{\sin 5x}$ も 1 に近づく
5. よって極限値は $1\times 1\times \frac{2}{5}=\frac{2}{5}$

2

方針　$1-\cos$ の形には $1+\cos$ をかけて ${\sin }^2$ を作る。出てきた $\sin 2x$ に合わせて、分母に $(2x{)}^2$ を作る。

1. 分母と分子に $1+\cos 2x$ をかける。分子は $(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)=1-{\cos }^{2}2x={\sin }^{2}2x$
2. 式は $\frac{{\sin }^{2}2x}{x^2(1+\cos 2x)}$ になる
3. $x^2=\frac{(2x{)}^2}{4}$ なので、$\frac{{\sin }^{2}2x}{x^2}=4{\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)}^2$
4. 式は $4{\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)}^2\times \frac{1}{1+\cos 2x}$ になる
5. $x\to 0$ のとき、$\frac{\sin 2x}{2x}$ は 1 に、$1+\cos 2x$ は 2 に近づく
6. よって極限値は $4\times 1^2\times \frac{1}{2}=2$

2 倍角の公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ を使って、$\frac{1-\cos 2x}{x^2}=2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2$ としても同じ値が出る。

$-\frac{1}{2}$

方針　$x=\frac{\pi }{2}$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形。$\frac{\sin x}{x}$ の公式は 0 に近づく変数にしか使えないので、$x-\frac{\pi }{2}=t$ とおいて $t\to 0$ の極限に直す。

1. $x-\frac{\pi }{2}=t$ とおくと、$x\to \frac{\pi }{2}$ のとき $t\to 0$。また $x=t+\frac{\pi }{2}$
2. 分子は、加法定理から $\cos \left(t+\frac{\pi }{2}\right)=\cos t\cos \frac{\pi }{2}-\sin t\sin \frac{\pi }{2}=-\sin t$
3. 分母は $2x-\pi =2\left(t+\frac{\pi }{2}\right)-\pi =2t$
4. 式は $\frac{-\sin t}{2t}=-\frac{1}{2}\times \frac{\sin t}{t}$ になる
5. $t\to 0$ のとき $\frac{\sin t}{t}$ は 1 に近づくので、極限値は $-\frac{1}{2}$

ここで間違えやすい　$\cos \left(t+\frac{\pi }{2}\right)$ を $\sin t$ として符号を落とすと、答えが $\frac{1}{2}$ になる。$x$ が $\frac{\pi }{2}$ より少し大きいとき、分子は負・分母は正なので、値は負になるはず、と符号を確かめる。

1

方針　$x\to \infty$ のとき $\frac{1}{x}$ は 0 に近づく。$\frac{1}{x}=t$ とおけば、0 に近づく変数 $t$ についての $\frac{\sin t}{t}$ の形になる。

1. $\frac{1}{x}=t$ とおくと、$x\to \infty$ のとき $t\to +0$。また $x=\frac{1}{t}$
2. 式は $x\sin \frac{1}{x}=\frac{1}{t}\times \sin t=\frac{\sin t}{t}$ になる
3. $t\to +0$ のとき $\frac{\sin t}{t}$ は 1 に近づくので、極限値は 1

ここで間違えやすい　「$\sin \frac{1}{x}$ は 0 に近づくから答えは 0」としない。$x$ が限りなく大きくなるので $\infty \times 0$ の不定形である。同じ $x\to \infty$ でも $\frac{\sin x}{x}$ は 0 に近づくので、式の形を見分ける。

(1) 1　(2) $\frac{1}{2}$

方針　それぞれの長さを $\theta$ で表せば、三角関数の極限の問題になる。弧の長さは半径と中心角の積、弦の長さは二等辺三角形 OAB を半分に割って求め、BH は $\mathrm{OB}-\mathrm{OH}$ で求める。

1. 弧の長さは、半径 1、中心角 $\theta$ なので $l=\theta$
2. O から弦 AB に垂線を下ろすと、二等辺三角形 OAB は 2 つの合同な直角三角形に分かれる。それぞれの O での角は $\frac{\theta }{2}$、斜辺は 1 なので、弦の半分の長さは $\sin \frac{\theta }{2}$
3. よって $d=2\sin \frac{\theta }{2}$
4. (1) $\frac{d}{l}=\frac{2\sin \frac{\theta }{2}}{\theta }=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\frac{\theta }{2}}$
5. $\theta \to +0$ のとき $\frac{\theta }{2}\to +0$ なので、この式は 1 に近づく。(1) の極限値は 1
6. 直角三角形 OAH で、斜辺 $\mathrm{OA}=1$、O での角が $\theta$ なので、$\mathrm{OH}=\cos \theta$
7. $\mathrm{OB}=1$ なので、$\mathrm{BH}=\mathrm{OB}-\mathrm{OH}=1-\cos \theta$
8. (2) $\frac{\mathrm{BH}}{l^2}=\frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}$
9. 分母と分子に $1+\cos \theta$ をかけて、$\frac{{\sin }^2\theta }{{\theta }^2(1+\cos \theta )}={\left(\frac{\sin \theta }{\theta }\right)}^2\times \frac{1}{1+\cos \theta }$
10. $\theta \to +0$ のとき、$\frac{\sin \theta }{\theta }$ は 1 に、$1+\cos \theta$ は 2 に近づくので、(2) の極限値は $\frac{1}{2}$

(1) は、中心角が小さいほど弦と弧の長さの比が 1 に近づく、つまり弦が弧とほぼ同じ長さになることを表している。