片側からの極限と無限大｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (オ)「関数の値の極限について理解すること。」。このノートは、右と左で近づき方を分けた極限と、値や変数が限りなく大きくなるときの極限を扱います。

0. どういうまとまりか

$x$ が $a$ に近づく道は、右から（ $a$ より大きい側から）と左から（小さい側から）の 2 つあります。
両方から近づけた結果が一致したときだけ、 $x \to a$ の極限があるといいます。
また、 $f (x)$ が一定の値に近づかず限りなく大きくなることや、 $x$ そのものを限りなく大きくすることも、同じ $lim$ の記号で書きます。

書き方	意味
$x \to a + 0$	$x$ が $a$ より大きい値をとりながら $a$ に近づく（右側から）
$x \to a - 0$	$x$ が $a$ より小さい値をとりながら $a$ に近づく（左側から）
$lim f (x) = \infty$	$f (x)$ の値が限りなく大きくなる（正の無限大に発散）
$lim f (x) = - \infty$	$f (x)$ が負で、絶対値が限りなく大きくなる（負の無限大に発散）
$x \to \infty$	$x$ が限りなく大きくなる
$x \to - \infty$	$x$ が負で、絶対値が限りなく大きくなる

分かれ目は次の 3 つ。

右側極限と左側極限が食い違えば、 $x \to a$ の極限は無い。絶対値や分母が 0 になる点では、まず左右に分けて調べる
$\infty$ は数ではない。 $lim f (x) = \infty$ と書いても「極限値がある」とはいわない
$x \to - \infty$ では $x < 0$ 。 $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ になるので、 $x = - t$ とおいて $t \to \infty$ に直すのが安全

1. 右側極限と左側極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

絶対値を含む関数や、場合分けで定められた関数は、 $a$ の右と左で式が違います。片側ずつ調べます。

$x \to a + 0$ と $x \to a - 0$ は、それぞれ何を表すか？

$x \to a + 0$ は $x$ が $a$ より大きい値をとりながら $a$ に近づくこと、 $x \to a - 0$ は $a$ より小さい値をとりながら近づくこと

そのときの極限を右側極限、左側極限という。 $a = 0$ のときは $x \to + 0$ 、 $x \to - 0$ と書く。

$lim_{x \to a} f (x) = α$ となるのは、右側極限と左側極限がどうなっているときか？

右側極限と左側極限がともに存在して、どちらも $α$ に等しいとき。 $lim_{x \to a + 0} f (x) = lim_{x \to a - 0} f (x) = α$

一致しなければ、 $x \to a$ のときの極限は存在しない。

$lim_{x \to 0} \frac{∣ x ∣}{x}$ は存在するか？

存在しない。右側極限は 1、左側極限は $- 1$ で一致しない

$x > 0$ では $\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{x}{x} = 1$ 、 $x < 0$ では $\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{- x}{x} = - 1$ 。

2. 無限大に発散する

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

分母だけが 0 に近づくと、分数の絶対値は限りなく大きくなります。符号は左右で変わることがあります。

$lim_{x \to a} f (x) = \infty$ とは、どういう意味か？

$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、 $f (x)$ の値が限りなく大きくなること。「 $f (x)$ は正の無限大に発散する」という

$\infty$ は数ではないので、このとき極限値は存在しない（「極限は $\infty$ 」とはいう）。負で絶対値が限りなく大きくなるときは $- \infty$ 。

$lim_{x \to + 0} \frac{1}{x}$ と $lim_{x \to - 0} \frac{1}{x}$ は？

$lim_{x \to + 0} \frac{1}{x} = \infty$ 、 $lim_{x \to - 0} \frac{1}{x} = - \infty$

左右で食い違うので、 $x \to 0$ のときの $\frac{1}{x}$ の極限は存在しない。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}}$ は？

$\infty$

$x^{2}$ は $x$ が正でも負でも正なので、右からも左からも正の無限大に発散する。左右が一致するので $x \to 0$ の極限として書ける。

3. $x \to \infty$ と $x \to - \infty$

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

数列の極限 $n \to \infty$ と同じ変形が使えます。基本は $lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ と $lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} = 0$ です。

$x \to \infty$ で、分母も分子も限りなく大きくなる分数式（ $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形）は、どう変形するか？

分母の最高次の項で、分母と分子を割る

$\frac{1}{x}$ 、 $\frac{1}{x ^{2}}$ などが 0 に近づく形になり、極限が読み取れる。

$x \to \infty$ で、 $x^{2} + x - x$ のような $\infty - \infty$ の不定形は、どう変形するか？

分母を 1 とみて分子を有理化し、 $\frac{\infty}{\infty}$ の形に直してから、分母と分子を $x$ で割る

$\infty - \infty$ は 0 ではない。差のままでは極限が決まらない。

根号を含む式の $x \to - \infty$ の極限は、どう扱うか？

$x = - t$ とおいて、 $t \to \infty$ の極限に直す

$x < 0$ では $x^{2} = ∣ x ∣ = - x$ なので、 $x$ のまま根号の中へ入れたり外へ出したりすると符号を誤りやすい。

4. 指数関数と対数関数の極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

グラフを思い浮かべれば読み取れます。底が 1 より大きいか小さいかで、増加と減少が入れかわります。

指数関数 $a^{x}$ の $x \to \infty$ 、 $x \to - \infty$ のときの極限は？（ $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）

$a > 1$ のとき $lim_{x \to \infty} a^{x} = \infty$ 、 $lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ 。 $0 < a < 1$ のとき $lim_{x \to \infty} a^{x} = 0$ 、 $lim_{x \to - \infty} a^{x} = \infty$

$a > 1$ なら増加、 $0 < a < 1$ なら減少するグラフで、どちらも $x$ 軸が漸近線。

対数関数 $lo g_{a} x$ の $x \to \infty$ 、 $x \to + 0$ のときの極限は？（ $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）

$a > 1$ のとき $lim_{x \to \infty} lo g_{a} x = \infty$ 、 $lim_{x \to + 0} lo g_{a} x = - \infty$ 。 $0 < a < 1$ のとき $lim_{x \to \infty} lo g_{a} x = - \infty$ 、 $lim_{x \to + 0} lo g_{a} x = \infty$

真数は正なので、0 に近づけるのは右側（ $x \to + 0$ ）からだけ。 $y$ 軸が漸近線。

5. はさみうちの原理

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

極限を直接求めにくい関数は、極限が分かる 2 つの関数ではさみます。数列のときと同じ考え方です。

関数のはさみうちの原理とは？

$x$ が $a$ に近いとき常に $f (x) ≦ h (x) ≦ g (x)$ で、 $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = α$ ならば、 $lim_{x \to a} h (x) = α$

両側の関数が同じ値 $α$ に収束することが条件。 $x \to \infty$ 、 $x \to - \infty$ のときも同じように成り立つ。

$x$ が $a$ に近いとき常に $f (x) ≦ g (x)$ で、 $lim_{x \to a} f (x) = \infty$ のとき、 $lim_{x \to a} g (x)$ は？

$\infty$

小さいほうが限りなく大きくなれば、大きいほうも限りなく大きくなる。片側からおさえるだけでよい。

練習問題

問 1　関数 $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{∣ x - 2 ∣}$ について、 $lim_{x \to 2 + 0} f (x)$ と $lim_{x \to 2 - 0} f (x)$ を求めよ。また、 $lim_{x \to 2} f (x)$ は存在するか。

$lim_{x \to 2 + 0} f (x) = 4$ 、 $lim_{x \to 2 - 0} f (x) = - 4$ 。 $lim_{x \to 2} f (x)$ は存在しない

方針　絶対値の中身 $x - 2$ の符号が $x = 2$ の右と左で変わるので、絶対値を外した式が左右で違う。片側ずつ絶対値を外して約分する。

分子を因数分解する。 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$
$x > 2$ のとき $∣ x - 2 ∣ = x - 2$ なので、 $f (x) = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 2$
よって $lim_{x \to 2 + 0} f (x) = 2 + 2 = 4$
$x < 2$ のとき $∣ x - 2 ∣ = - (x - 2)$ なので、 $f (x) = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{- ( x - 2 )} = - (x + 2)$
よって $lim_{x \to 2 - 0} f (x) = - (2 + 2) = - 4$
右側極限 4 と左側極限 $- 4$ が一致しないので、 $lim_{x \to 2} f (x)$ は存在しない

問 2　極限 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x ^{2} + 4}$ を求めよ。

方針　分母も分子も限りなく大きくなる $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形。分母の最高次の項 $x^{2}$ で分母と分子を割ると、 $\frac{1}{x}$ や $\frac{1}{x ^{2}}$ が 0 に近づく形になる。

分母と分子を $x^{2}$ で割る。 $\frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x ^{2} + 4} = \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{4}{x ^{2}}}$
$x \to \infty$ のとき、 $\frac{3}{x}$ 、 $\frac{1}{x ^{2}}$ 、 $\frac{4}{x ^{2}}$ はどれも 0 に近づく
よって極限は $\frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2$

問 3　極限 $lim_{x \to \infty} (x^{2} + 4 x - x)$ を求めよ。

方針　 $x^{2} + 4 x$ も $x$ も限りなく大きくなる $\infty - \infty$ の不定形。分母を 1 とみて分子を有理化すると、根号の中の $x^{2}$ が消えて $\frac{\infty}{\infty}$ の形になる。あとは $x$ で割る。

分母と分子に $x^{2} + 4 x + x$ をかける。分子は $(x^{2} + 4 x) - x^{2} = 4 x$
式は $\frac{4 x}{x ^{2} + 4 x + x}$ になる
分母と分子を $x$ で割る。 $x > 0$ なので $x = x^{2}$ で、 $\frac{x ^{2} + 4 x}{x} = \frac{x ^{2} + 4 x}{x ^{2}} = 1 + \frac{4}{x}$
式は $\frac{4}{1 + \frac{4}{x} + 1}$ になる
$x \to \infty$ のとき $\frac{4}{x}$ は 0 に近づくので、分母は $1 + 1 = 2$ に近づく
よって極限は $\frac{4}{2} = 2$

ここで間違えやすい　「 $\infty - \infty$ だから 0」としない。 $x = 100$ を入れると $10400 - 100$ は約 1.98 で、0 ではなく 2 に近い。

問 4　極限 $lim_{x \to - \infty} (x^{2} + 4 x + x)$ を求めよ。

$- 2$

方針　 $x \to - \infty$ では $x < 0$ で、 $x^{2} = - x$ になるため符号を誤りやすい。 $x = - t$ とおいて $t \to \infty$ の極限に直せば、問 3 と同じ有理化で解ける。

$x = - t$ とおくと、 $x \to - \infty$ のとき $t \to \infty$
根号の中は $x^{2} + 4 x = (- t)^{2} + 4 (- t) = t^{2} - 4 t$
式は $t^{2} - 4 t - t$ になる（ $\infty - \infty$ の不定形）
分母と分子に $t^{2} - 4 t + t$ をかける。分子は $(t^{2} - 4 t) - t^{2} = - 4 t$
式は $\frac{- 4 t}{t ^{2} - 4 t + t}$ になる
分母と分子を $t$ で割る。 $t > 0$ なので $\frac{t ^{2} - 4 t}{t} = 1 - \frac{4}{t}$ で、式は $\frac{- 4}{1 - \frac{4}{t} + 1}$
$t \to \infty$ のとき $\frac{4}{t}$ は 0 に近づくので、分母は $1 + 1 = 2$ に近づく
よって極限は $\frac{- 4}{2} = - 2$

ここで間違えやすい　 $x$ のまま $x$ で割って $\frac{x ^{2} + 4 x}{x} = 1 + \frac{4}{x}$ としない。 $x < 0$ では $x = - x^{2}$ なので、正しくは $- 1 + \frac{4}{x}$ 。符号を落とすと分母が 0 に近づいてしまい、答えが出ない。

問 5　関数 $f (x) = \frac{3 ^{x} - 2 ^{x}}{3 ^{x} + 2 ^{x}}$ について、 $lim_{x \to \infty} f (x)$ と $lim_{x \to - \infty} f (x)$ を求めよ。

$lim_{x \to \infty} f (x) = 1$ 、 $lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1$

方針　 $a^{x}$ の極限は底と 1 の大小で決まる。分母と分子を $3^{x}$ か $2^{x}$ で割って、0 に近づく形の指数関数だけを残す。 $x \to \infty$ では $(\frac{2}{3})^{x}$ が、 $x \to - \infty$ では $(\frac{3}{2})^{x}$ が 0 に近づく。

$x \to \infty$ のとき。分母と分子を $3^{x}$ で割る。 $f (x) = \frac{1 - ( \frac{2}{3} ) ^{x}}{1 + ( \frac{2}{3} ) ^{x}}$
底 $\frac{2}{3}$ は 1 より小さいので、 $x \to \infty$ のとき $(\frac{2}{3})^{x}$ は 0 に近づく
よって $lim_{x \to \infty} f (x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
$x \to - \infty$ のとき。分母と分子を $2^{x}$ で割る。 $f (x) = \frac{( \frac{3}{2} ) ^{x} - 1}{( \frac{3}{2} ) ^{x} + 1}$
底 $\frac{3}{2}$ は 1 より大きいので、 $x \to - \infty$ のとき $(\frac{3}{2})^{x}$ は 0 に近づく
よって $lim_{x \to - \infty} f (x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1$

ここで間違えやすい　 $x \to - \infty$ でも $3^{x}$ で割ると、 $(\frac{2}{3})^{x}$ が限りなく大きくなって不定形のまま残る。割るのは「0 に近づく形が残るほう」。

問 6　極限 $lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x}$ を求めよ。

方針　 $x \to 0$ のとき $\frac{1}{x}$ の絶対値は限りなく大きくなり、 $sin \frac{1}{x}$ は $- 1$ と 1 の間を振動して極限をもたない。ただし値は $- 1$ 以上 1 以下におさまるので、はさみうちの原理が使える。

すべての $x \neq = 0$ で $- 1 ≦ sin \frac{1}{x} ≦ 1$ なので、 $sin \frac{1}{x} ≦ 1$
両辺に $∣ x ∣$ をかけて、 $x sin \frac{1}{x} ≦ ∣ x ∣$
絶対値を外すと、 $- ∣ x ∣ ≦ x sin \frac{1}{x} ≦ ∣ x ∣$
$x \to 0$ のとき、 $- ∣ x ∣$ も $∣ x ∣$ も 0 に近づく
はさみうちの原理から、 $lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0$

ここで間違えやすい　「 $lim x$ と $lim sin \frac{1}{x}$ の積」に分けない。積の極限値の性質は両方の極限値が存在するときにしか使えず、 $sin \frac{1}{x}$ の極限は存在しない。

片側からの極限と無限大

0. どういうまとまりか

1. 右側極限と左側極限

2. 無限大に発散する

3. x→∞ と x→−∞

4. 指数関数と対数関数の極限

5. はさみうちの原理

練習問題

3. $x \to \infty$ と $x \to - \infty$