関数の極限｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (オ)「関数の値の極限について理解すること。」。このノートは、 $x$ が有限の値 $a$ に近づくときの極限値と、そのまま代入できない $\frac{0}{0}$ の形の解き方を扱います。

0. どういうまとまりか

関数 $f (x)$ で、 $x$ が $a$ に近づくとき $f (x)$ が一定の値 $α$ に近づくなら、その $α$ を極限値といいます。
見ているのは「 $a$ の近くでの値の動き」で、 $x = a$ そのものでの値ではありません。だから $f (a)$ が定義されていなくても極限は考えられます。
多項式や、分母が 0 にならない分数式は $x = a$ を代入すれば極限値が出ます。困るのは、代入すると分母も分子も 0 になる形です。

代入したときの形	すること
分母が 0 にならない	そのまま代入する
$\frac{0}{0}$ で、分数式	因数分解して、0 になる因数 $x - a$ を約分する
$\frac{0}{0}$ で、根号を含む	有理化して、0 になる因数を約分する
極限値が与えられていて、係数を求める	分母が 0 に近づくなら分子も 0 に近づく、を使う

分かれ目は次の 3 つ。

$x \to a$ は「 $x \neq = a$ のまま近づく」。だから $x - a$ で約分してよい
$\frac{0}{0}$ は「極限が無い」ではない。変形すれば値が決まることが多い（決まらないこともある）
「分母が 0 に近づくなら分子も 0 に近づく」は必要条件。出した係数で、極限値が本当にその値になるかを確かめる

1. 極限値の意味

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

「近づく」は「等しくなる」ではありません。 $x$ は $a$ と異なる値をとり続けます。

$lim_{x \to a} f (x) = α$ とは、どういう意味か？

$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、近づき方によらず、 $f (x)$ の値が一定の値 $α$ に限りなく近づくこと

$α$ を、 $x \to a$ のときの $f (x)$ の極限値という。「 $x \to a$ のとき $f (x) \to α$ 」とも書く。

$lim_{x \to a} f (x)$ を考えるとき、 $f (a)$ が定義されている必要はあるか？

ない。 $x$ は $a$ と異なる値をとりながら近づくので、 $x = a$ での値は使わない

$f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ は $x = 1$ で定義されないが、 $x \neq = 1$ では $f (x) = x + 1$ なので、 $lim_{x \to 1} f (x) = 2$ 。

$f (a)$ が定義されているとき、 $lim_{x \to a} f (x)$ は必ず $f (a)$ に等しいか？

等しいとは限らない

$x \neq = 0$ のとき $f (x) = x^{2}$ 、 $f (0) = 1$ と定めた関数では、 $lim_{x \to 0} f (x) = 0$ だが $f (0) = 1$ 。等しくなるのは、関数が $x = a$ で連続なとき。

2. 極限値の性質

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

数列の極限と同じ性質が成り立ちます。どれも「2 つの極限値がともに存在する」ことが前提です。

$lim_{x \to a} f (x) = α$ 、 $lim_{x \to a} g (x) = β$ のとき、定数倍・和・差の極限値は？（ $k$ は定数）

$lim_{x \to a} k f (x) = k α$ 、 $lim_{x \to a} {f (x) + g (x)} = α + β$ 、 $lim_{x \to a} {f (x) - g (x)} = α - β$

$α$ 、 $β$ が有限の値として存在するときに使える。

$lim_{x \to a} f (x) = α$ 、 $lim_{x \to a} g (x) = β$ のとき、積と商の極限値は？

$lim_{x \to a} f (x) g (x) = α β$ 、 $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{α}{β}$ （商は $β \neq = 0$ のとき）

$β = 0$ のときは商の性質が使えない。 $α = 0$ でもあれば $\frac{0}{0}$ の不定形になる。

多項式 $f (x)$ の極限値 $lim_{x \to a} f (x)$ は、どう求めるか？

$x = a$ を代入する。 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

分数式も、分母が $x = a$ で 0 にならなければ代入で求まる。

3. 不定形 $\frac{0}{0}$

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

分母も分子も 0 に近づくのは、どちらも $x - a$ という「0 になる因数」をもっているからです。それを取り出して約分します。

$\frac{0}{0}$ の不定形とは何か？

分母と分子がともに 0 に近づく形。そのままでは極限が決まらず、式を変形して調べる必要がある

$\frac{0}{0} = 1$ でも「極限なし」でもない。式によって極限はさまざま。

分数式の極限が $\frac{0}{0}$ の形になったら、どうするか？

分母と分子を因数分解し、共通の因数 $x - a$ を約分してから代入する

$x \to a$ では $x \neq = a$ なので、 $x - a$ は 0 でなく、約分してよい。

根号を含む式の極限が $\frac{0}{0}$ の形になったら、どうするか？

根号を含むほうを有理化して、0 になる因数を約分する

$A - B$ には $A + B$ を分母と分子にかける。 $(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ 。

4. 極限値から係数を決める

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(オ)

「極限値が 3 である」のように極限値が与えられ、式の中の定数を求める問題です。分母が 0 に近づくのに極限値が存在するなら、分子も 0 に近づくしかありません。

$lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = α$ （ $α$ は有限の値）で、 $lim_{x \to a} g (x) = 0$ のとき、 $lim_{x \to a} f (x)$ の値は？

$f (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )} \times g (x)$ と書けるので、積の極限値の性質から $lim_{x \to a} f (x) = α \times 0$ となる。

「分母が 0 に近づくなら分子も 0 に近づく」から係数の関係を出したあと、何をするか？

その関係を式に入れて実際に極限を計算し、与えられた極限値になるように係数を決めて、確かめる

分子が 0 に近づくことは、極限値が存在するための必要条件にすぎない。それだけでは極限値がいくつになるかは決まらない。

【発展】ロピタルの定理（範囲外の扱い）

教科書の範囲外。 $f (x)$ 、 $g (x)$ が $x = a$ の近くで微分可能で、 $lim_{x \to a} f (x) = 0$ 、 $lim_{x \to a} g (x) = 0$ 、 $a$ の近く（ $x \neq = a$ ）で $g^{'} (x) \neq = 0$ であり、
$lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ が存在するならば、次が成り立つ。

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

$f^{'} (x)$ は導関数（数学Ⅲの微分法で学ぶ）。たとえば $lim_{x \to 3} \frac{x + 1 - 2}{x - 3}$ は、分子の導関数が $\frac{1}{2 x + 1}$ 、分母の導関数が 1 なので、 $x = 3$ を代入して $\frac{1}{4}$ と出る（下の問 3 と同じ値）。

高校の教科書では扱わない定理で、記述式の答案では使えないことが多い。答案は因数分解や有理化で書き、ロピタルの定理は検算の道具に留める。
条件（ $\frac{0}{0}$ の形であること、導関数の比の極限が存在すること）を確かめずに使うと、誤った値が出る。

練習問題

問 1　極限値 $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$ を求めよ。

方針　 $x = 2$ を代入すると分母も分子も 0 になる（ $\frac{0}{0}$ の不定形）。分子は $x = 2$ で 0 になるのだから $x - 2$ を因数にもつ。因数分解して約分する。

分子を因数分解する。 $x^{2} + x - 6 = (x + 3) (x - 2)$
$x \to 2$ では $x \neq = 2$ なので、 $x - 2$ で約分できる。 $\frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 2} = x + 3$
代入する。 $lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5$

問 2　極限値 $lim_{x \to - 1} \frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - 1}$ を求めよ。

$- \frac{3}{2}$

方針　 $x = - 1$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形。分母も分子も $x = - 1$ で 0 になるので、どちらも $x + 1$ を因数にもつ。両方を因数分解して約分する。

分子を因数分解する。 $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$
分母を因数分解する。 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$
$x \neq = - 1$ なので $x + 1$ で約分する。 $\frac{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{x ^{2} - x + 1}{x - 1}$
$x = - 1$ を代入する。分子は $1 + 1 + 1 = 3$ 、分母は $- 1 - 1 = - 2$
よって極限値は $\frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}$

問 3　極限値 $lim_{x \to 3} \frac{x + 1 - 2}{x - 3}$ を求めよ。

$\frac{1}{4}$

方針　 $x = 3$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形。根号があって因数分解できないので、分子を有理化して $x - 3$ を作り、約分する。

分母と分子に $x + 1 + 2$ をかける。分子は $(x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x + 1) - 4 = x - 3$
式は $\frac{x - 3}{( x - 3 ) ( x + 1 + 2 )}$ になる
$x \neq = 3$ なので $x - 3$ で約分する。 $\frac{1}{x + 1 + 2}$
$x = 3$ を代入する。 $3 + 1 = 2$ なので、分母は $2 + 2 = 4$
よって極限値は $\frac{1}{4}$

問 4　極限値 $lim_{x \to 1} \frac{x + 3 - 2}{x - 1}$ を求めよ。

$\frac{1}{2}$

方針　 $x = 1$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形。分母にも分子にも根号があるので、両方を有理化する。分子からも分母からも $x - 1$ が出て、約分できる。

分母と分子に $(x + 3 + 2) (x + 1)$ をかける
分子は $(x + 3 - 2) (x + 3 + 2) (x + 1) = (x + 3 - 4) (x + 1) = (x - 1) (x + 1)$
分母は $(x - 1) (x + 1) (x + 3 + 2) = (x - 1) (x + 3 + 2)$
$x \neq = 1$ なので $x - 1$ で約分する。 $\frac{x + 1}{x + 3 + 2}$
$x = 1$ を代入する。分子は $1 + 1 = 2$ 、分母は $2 + 2 = 4$
よって極限値は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

問 5　等式 $lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 3$ が成り立つように、定数 $a$ 、 $b$ の値を定めよ。

$a = 1$ 、 $b = - 2$

方針　 $x \to 1$ で分母は 0 に近づく。それでも極限値が存在するのだから、分子も 0 に近づかなければならない。これで $b$ を $a$ で表し、約分してから極限値が 3 になるように $a$ を決める。

$lim_{x \to 1} (x - 1) = 0$ なので、極限値が存在するには $lim_{x \to 1} (x^{2} + a x + b) = 0$ が必要
多項式なので代入して、 $1 + a + b = 0$ 。よって $b = - a - 1$
分子に代入する。 $x^{2} + a x - a - 1 = (x^{2} - 1) + a (x - 1) = (x - 1) (x + 1 + a)$
$x \neq = 1$ なので約分する。 $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 + a )}{x - 1} = x + 1 + a$
$x \to 1$ のとき、 $x + 1 + a$ は $2 + a$ に近づく
これが 3 に等しいので $2 + a = 3$ 。よって $a = 1$
$b = - a - 1$ に代入して、 $b = - 2$
確かめる。 $a = 1$ 、 $b = - 2$ のとき、式は $\frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} = \frac{( x + 2 ) ( x - 1 )}{x - 1} = x + 2$ で、 $x \to 1$ のとき確かに 3 に近づく

問 6　等式 $lim_{x \to 2} \frac{a x + 2 + b}{x - 2} = 1$ が成り立つように、定数 $a$ 、 $b$ の値を定めよ。

$a = 4$ 、 $b = - 8$

方針　 $x \to 2$ で分母は 0 に近づくので、極限値が存在するには分子も 0 に近づくことが必要。これで $b$ を $a$ で表すと、分子が $a (x + 2 - 2)$ の形になるので、有理化して約分する。

$lim_{x \to 2} (x - 2) = 0$ なので、 $lim_{x \to 2} (a x + 2 + b) = 0$ が必要
$x = 2$ のとき $x + 2 = 4 = 2$ なので、 $2 a + b = 0$ 。よって $b = - 2 a$
分子に代入する。 $a x + 2 - 2 a = a (x + 2 - 2)$
分母と分子に $x + 2 + 2$ をかける。分子は $a {(x + 2) - 4} = a (x - 2)$
式は $\frac{a ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 + 2 )}$ になり、 $x \neq = 2$ なので約分して $\frac{a}{x + 2 + 2}$
$x \to 2$ のとき分母は $2 + 2 = 4$ に近づくので、極限値は $\frac{a}{4}$
これが 1 に等しいので $\frac{a}{4} = 1$ 。よって $a = 4$
$b = - 2 a$ に代入して、 $b = - 8$
確かめる。 $a = 4$ 、 $b = - 8$ のとき、手順 5 の式は $\frac{4}{x + 2 + 2}$ で、 $x \to 2$ のとき確かに 1 に近づく

関数の極限

0. どういうまとまりか

1. 極限値の意味

2. 極限値の性質

3. 不定形 00​

4. 極限値から係数を決める

練習問題

3. 不定形 $\frac{0}{0}$