合成関数｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (エ)「合成関数や逆関数の意味を理解し，簡単な場合についてそれらを求めること。」。このノートは、2 つの関数を続けて行う合成関数の作り方と順序、関数を内側と外側に分けて見る見方を扱います。

0. どういうまとまりか

$x$ を関数 $f$ で移し、その結果をさらに関数 $g$ で移す。この「続けて行う」対応を 1 つの関数とみたものが合成関数で、 $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ と書きます。
$y = (2 x + 1)^{3}$ は「 $2 x + 1$ を計算する」「それを 3 乗する」を続けたものなので、合成関数です。微分法で学ぶ合成関数の導関数は、関数をこのように内側と外側に分けて見ることから始まります。

書き方	意味	$f (x) = x + 1$ 、 $g (x) = x^{2}$ のとき
$(g \circ f) (x)$	$g (f (x))$ 。先に $f$ 、次に $g$	$(x + 1)^{2}$
$(f \circ g) (x)$	$f (g (x))$ 。先に $g$ 、次に $f$	$x^{2} + 1$
$(f \circ f) (x)$	$f (f (x))$ 。 $f$ を 2 回	$x + 2$

分かれ目は次の 3 つ。

$g \circ f$ は、右に書いた $f$ を先に行う。書く順と行う順が逆になる
一般に $g \circ f$ と $f \circ g$ は等しくない。順序を入れかえてはいけない
合成関数 $g (f (x))$ が考えられるのは、 $f (x)$ の値が $g$ の定義域に入っているとき。式を簡単にしたあとも、この定義域の制限は残る

1. 合成関数の定義と順序

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

$g (f (x))$ は、 $g (x)$ の式の $x$ のところに $f (x)$ をまるごと代入したものです。

2 つの関数 $f (x)$ 、 $g (x)$ の合成関数 $(g \circ f) (x)$ とは何か？

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ 。 $x$ に $f (x)$ を対応させ、その $f (x)$ に $g (f (x))$ を対応させる関数

式の上では、 $g (x)$ の $x$ に $f (x)$ を代入する。 $f (x) = x + 1$ 、 $g (x) = x^{2}$ なら $(g \circ f) (x) = (x + 1)^{2}$ 。

合成関数 $(g \circ f) (x)$ では、 $f$ と $g$ のどちらを先に行うか？

$f$ を先に行い、その結果に $g$ を行う

$g (f (x))$ と書くと、内側にある $f$ が先だと分かる。記号 $g \circ f$ は右から左へ読む。

$(g \circ f) (x)$ と $(f \circ g) (x)$ は、いつでも等しいか？

一般には等しくない

$f (x) = x + 1$ 、 $g (x) = x^{2}$ のとき、 $(g \circ f) (x) = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ 、 $(f \circ g) (x) = x^{2} + 1$ 。たまたま等しくなる組もあるが、順序は入れかえられないものとして扱う。

合成関数 $(g \circ f) (x)$ がすべての $x$ （ $f$ の定義域）で定まるための条件は？

$f$ の値域が $g$ の定義域に含まれること

$f (x)$ の値が $g$ の定義域の外に出ると、 $g (f (x))$ が計算できない。

2. 合成関数の定義域と値域

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

$f$ の値域が $g$ の定義域からはみ出すときは、はみ出さない $x$ だけで合成関数を考えます。

$f (x) = x - 1$ 、 $g (x) = x$ のとき、合成関数 $(g \circ f) (x)$ とその定義域は？

$(g \circ f) (x) = x - 1$ 、定義域は $x ≧ 1$

$g$ の定義域は $x ≧ 0$ なので、 $f (x) = x - 1 ≧ 0$ となる $x$ だけで考える。 $f$ の値域が $g$ の定義域に含まれないときは、合成関数の定義域をこのように制限する。

合成関数 $g \circ f$ の値域は、 $g$ の値域と同じか？

同じとは限らない。 $g$ に入るのは $f$ の値域の値だけなので、 $g \circ f$ の値域は $g$ の値域の一部になることがある

$f (x) = x^{2}$ 、 $g (x) = x + 1$ のとき、 $g$ の値域は実数全体だが、 $(g \circ f) (x) = x^{2} + 1$ の値域は $y ≧ 1$ 。

3. 逆関数との合成

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

逆関数は対応を逆向きにたどる関数なので、もとの関数と合成すると、行って戻ることになります。

関数 $f$ とその逆関数 $f^{- 1}$ の合成関数 $(f^{- 1} \circ f) (x)$ 、 $(f \circ f^{- 1}) (x)$ は、それぞれどうなるか？

どちらも $x$ になる。 $(f^{- 1} \circ f) (x) = x$ 、 $(f \circ f^{- 1}) (x) = x$

$x$ をそのまま返す関数になる。ただし前者は $f$ の定義域の $x$ 、後者は $f$ の値域（ $f^{- 1}$ の定義域）の $x$ について成り立つ。

3 つの関数の合成で、 $h \circ (g \circ f)$ と $(h \circ g) \circ f$ は等しいか？

等しい。どちらも $h (g (f (x)))$

順序（ $f$ 、 $g$ 、 $h$ の順に行う）は変えられないが、どこから先にまとめるかは自由。

【発展】合成関数の逆関数 $(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$

教科書の本文では扱わない。 $f$ 、 $g$ がともに逆関数をもち、 $f$ の値域が $g$ の定義域に含まれるとき、合成関数 $g \circ f$ も逆関数をもち、次が成り立つ（順序が入れかわる）。

(g \circ f)^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}

$f$ 、 $g$ の順に行ったものを戻すには、あとに行った $g$ から先に戻すから。
$f (x) = 2 x + 1$ 、 $g (x) = x + 3$ なら $(g \circ f) (x) = (2 x + 1) + 3 = 2 x + 4$ で、その逆関数は $y = \frac{x - 4}{2}$ 。
一方 $g^{- 1} (x) = x - 3$ 、 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ なので、 $f^{- 1} (g^{- 1} (x)) = \frac{( x - 3 ) - 1}{2} = \frac{x - 4}{2}$ となり、確かに一致する。
順序を入れかえない $g^{- 1} (f^{- 1} (x)) = \frac{x - 1}{2} - 3 = \frac{x - 7}{2}$ は、別の関数になる。

4. 内側と外側に分けて見る

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

合成関数を作るのとは逆に、1 つの式を「内側の関数」と「外側の関数」に分けて見ることもできます。微分法で使う見方です。

$y = (2 x + 1)^{3}$ を合成関数とみるとき、内側の関数と外側の関数は？

内側は $u = 2 x + 1$ 、外側は $y = u^{3}$

$f (x) = 2 x + 1$ 、 $g (x) = x^{3}$ とすると $y = g (f (x))$ 。かたまり $2 x + 1$ を 1 つの文字 $u$ でおくと、外側の形が見える。

1 つの式を内側の関数と外側の関数に分けるとき、どちらが外側かは何で見分けるか？

$x$ から値を計算するとき、最後に行う計算が外側、その前に計算しておく部分が内側

$y = x^{2} + 1$ なら、先に $x^{2} + 1$ を計算し、最後に根号をとる。内側は $u = x^{2} + 1$ 、外側は $y = u$ 。

$(f \circ f) (x)$ は ${f (x)}^{2}$ と同じか？

同じではない。 $(f \circ f) (x) = f (f (x))$ は $f$ を 2 回続けて行うこと、 ${f (x)}^{2}$ は $f (x)$ の値を 2 乗すること

$f (x) = 2 x + 1$ なら、 $f (f (x)) = 2 (2 x + 1) + 1 = 4 x + 3$ 、 ${f (x)}^{2} = (2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ 。

練習問題

問 1　 $f (x) = 2 x + 1$ 、 $g (x) = x^{2}$ のとき、合成関数 $(g \circ f) (x)$ と $(f \circ g) (x)$ を求めよ。

$(g \circ f) (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1$ 、 $(f \circ g) (x) = 2 x^{2} + 1$

方針　 $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ は、 $g (x)$ の式の $x$ に $f (x)$ をまるごと代入する。 $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ は、 $f (x)$ の式の $x$ に $g (x)$ を代入する。

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 1)$
$g (x) = x^{2}$ の $x$ に $2 x + 1$ を代入して、 $g (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2}$
展開する。 $(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$
$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2})$
$f (x) = 2 x + 1$ の $x$ に $x^{2}$ を代入して、 $f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$

ここで間違えやすい　 $(g \circ f) (x)$ を、書いてある順に「 $g$ が先」と読んで $2 x^{2} + 1$ と答えてしまう。先に行うのは内側の $f$ 。

問 2　 $f (x) = x^{2} + 1$ 、 $g (x) = x - 1$ のとき、合成関数 $(g \circ f) (x)$ と $(f \circ g) (x)$ を、定義域とともに求めよ。

$(g \circ f) (x) = ∣ x ∣$ （定義域は実数全体）、 $(f \circ g) (x) = x$ （定義域は $x ≧ 1$ ）

方針　代入して式を簡単にする。定義域は、簡単にしたあとの式からではなく、先に行う関数の定義域と「その値があとの関数の定義域に入るか」から決める。

$g$ の定義域は、根号の中が 0 以上の $x ≧ 1$
$(g \circ f) (x)$ を考える。 $f (x) = x^{2} + 1 ≧ 1$ なので、 $f$ の値域は $g$ の定義域に含まれる。よって定義域は実数全体
$g (f (x)) = (x^{2} + 1) - 1 = x^{2}$
$x^{2} = ∣ x ∣$ なので、 $(g \circ f) (x) = ∣ x ∣$
$(f \circ g) (x)$ を考える。先に行う $g$ の定義域は $x ≧ 1$ 。 $f$ の定義域は実数全体なので、 $g (x)$ の値はいつでも $f$ に入れられる。よって定義域は $x ≧ 1$
$f (g (x)) = (x - 1)^{2} + 1 = (x - 1) + 1 = x$
よって $(f \circ g) (x) = x$ （ $x ≧ 1$ ）

ここで間違えやすい　 $x^{2} = x$ としてしまう（ $x = - 3$ なら $9 = 3$ で、 $- 3$ ではない）。また $(f \circ g) (x) = x$ の定義域を実数全体としてしまう。 $x < 1$ では $g (x)$ が定まらない。

問 3　 $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ のとき、 $f (f (x))$ と $f (f (f (x)))$ を求めよ。

$f (f (x)) = \frac{x - 1}{x}$ 、 $f (f (f (x))) = x$ （ただし $x \neq = 0$ 、 $x \neq = 1$ ）

方針　 $f (x)$ の式の $x$ に、 $f (x)$ をまるごと代入する。分数の中に分数ができるので、分母と分子に同じ式をかけて整理する。 $f (f (f (x)))$ は、求めた $f (f (x))$ をもう一度 $f$ に代入する。

$f (f (x)) = \frac{1}{1 - f ( x )} = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}}$
分母と分子に $1 - x$ をかける。分子は $1 - x$ 、分母は $(1 - x) - 1 = - x$
よって $f (f (x)) = \frac{1 - x}{- x} = \frac{x - 1}{x}$
$f (f (f (x))) = f (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}}$
分母と分子に $x$ をかける。分子は $x$ 、分母は $x - (x - 1) = 1$
よって $f (f (f (x))) = \frac{x}{1} = x$
$f (x)$ が定まるのは $x \neq = 1$ 、 $f (f (x))$ が定まるのはさらに $f (x) \neq = 1$ のとき。 $\frac{1}{1 - x} = 1$ となるのは $x = 0$ なので、 $x \neq = 0$ も必要
$f (f (f (x)))$ が定まるには $f (f (x)) \neq = 1$ も必要だが、 $\frac{x - 1}{x} = 1$ となる $x$ は無い。よって条件は $x \neq = 0$ 、 $x \neq = 1$

問 4　一次関数 $f (x) = a x + b$ について、 $(f \circ f) (x) = 4 x + 9$ が成り立つ。定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 2$ 、 $b = 3$ または $a = - 2$ 、 $b = - 9$

方針　 $f (f (x))$ を $a$ 、 $b$ で表し、 $4 x + 9$ と係数を比べる。すべての $x$ で等しいので、 $x$ の係数どうし、定数項どうしが等しい。

$f (f (x)) = f (a x + b) = a (a x + b) + b$
展開する。 $f (f (x)) = a^{2} x + ab + b$
$4 x + 9$ と係数を比べて、 $a^{2} = 4$ 、 $ab + b = 9$
$a^{2} = 4$ から、 $a = 2$ または $a = - 2$
$a = 2$ のとき、 $ab + b = 2 b + b = 3 b$ 。 $3 b = 9$ から $b = 3$
$a = - 2$ のとき、 $ab + b = - 2 b + b = - b$ 。 $- b = 9$ から $b = - 9$
確かめる。 $f (x) = - 2 x - 9$ のとき $f (f (x)) = - 2 (- 2 x - 9) - 9 = 4 x + 18 - 9 = 4 x + 9$ で、確かに成り立つ

ここで間違えやすい　 $a^{2} = 4$ から $a = 2$ だけを取り、 $a = - 2$ の組を落としてしまう。

問 5　 $f (x) = 2 x - 1$ のとき、 $(g \circ f) (x) = 4 x^{2} - 4 x + 3$ を満たす関数 $g (x)$ を求めよ。

$g (x) = x^{2} + 2$

方針　 $g (f (x)) = g (2 x - 1)$ なので、内側の $2 x - 1$ を 1 つの文字 $t$ でおき、右辺を $t$ の式に書き直す。 $t$ で表せれば、それが外側の関数 $g$ の形である。

$t = 2 x - 1$ とおくと、 $g (t) = 4 x^{2} - 4 x + 3$
$t = 2 x - 1$ を $x$ について解く。 $x = \frac{t + 1}{2}$
右辺に代入する。 $4 x^{2} = 4 \times \frac{( t + 1 ) ^{2}}{4} = (t + 1)^{2}$ 、 $4 x = 2 (t + 1)$
$g (t) = (t + 1)^{2} - 2 (t + 1) + 3$
展開する。 $g (t) = t^{2} + 2 t + 1 - 2 t - 2 + 3 = t^{2} + 2$
$t$ はすべての実数値をとるので、文字を $x$ に書きかえて $g (x) = x^{2} + 2$
確かめる。 $g (f (x)) = (2 x - 1)^{2} + 2 = 4 x^{2} - 4 x + 1 + 2 = 4 x^{2} - 4 x + 3$

問 6　 $f (x) = x^{2} - 2$ のとき、方程式 $f (f (x)) = x$ を解け。

$x = - 1, 2, \frac{- 1 \pm 5}{2}$

方針　 $f (f (x)) = x$ は四次方程式になる。 $f (x) = x$ を満たす $x$ は、 $f (f (x)) = f (x) = x$ となるので必ず解である。だから四次式は $f (x) - x$ で割り切れる。これを手がかりに因数分解する。

$f (f (x)) = (x^{2} - 2)^{2} - 2$
展開する。 $(x^{2} - 2)^{2} - 2 = x^{4} - 4 x^{2} + 4 - 2 = x^{4} - 4 x^{2} + 2$
方程式は $x^{4} - 4 x^{2} + 2 = x$ 、つまり $x^{4} - 4 x^{2} - x + 2 = 0$
$f (x) = x$ は $x^{2} - 2 = x$ 、つまり $x^{2} - x - 2 = 0$ 。この解は手順 3 の方程式の解でもあるので、左辺は $x^{2} - x - 2$ で割り切れる
割り算をすると、 $x^{4} - 4 x^{2} - x + 2 = (x^{2} - x - 2) (x^{2} + x - 1)$
確かめる。右辺を展開すると $x^{4} + x^{3} - x^{2} - x^{3} - x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 x + 2 = x^{4} - 4 x^{2} - x + 2$
$x^{2} - x - 2 = 0$ から $(x + 1) (x - 2) = 0$ なので、 $x = - 1, 2$
$x^{2} + x - 1 = 0$ から、解の公式で $x = \frac{- 1 \pm 1 + 4}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}$
よって $x = - 1, 2, \frac{- 1 \pm 5}{2}$