逆関数｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (エ)「合成関数や逆関数の意味を理解し，簡単な場合についてそれらを求めること。」。このノートは、対応の向きを逆にした関数である逆関数の求め方と、もとの関数との定義域・値域・グラフの関係を扱います。

0. どういうまとまりか

関数 $y = f (x)$ は「 $x$ を決めると $y$ が決まる」対応です。この向きを逆にして「 $y$ を決めると $x$ が決まる」と読めるとき、その対応が逆関数 $f^{- 1}$ です。
逆向きに読めるのは、1 つの $y$ に対して $x$ がただ 1 つ決まるとき（1 対 1 の対応のとき）だけです。
向きを逆にするので、定義域と値域が入れかわり、グラフは $x$ と $y$ を入れかえた形、つまり直線 $y = x$ に関して対称になります。

	もとの関数 $y = f (x)$	逆関数 $y = f^{- 1} (x)$
対応	$a$ を $b$ に対応させる（ $b = f (a)$ ）	$b$ を $a$ に対応させる（ $a = f^{- 1} (b)$ ）
定義域	$f$ の定義域	$f$ の値域
値域	$f$ の値域	$f$ の定義域
グラフ	点 $(a, b)$ を通る	点 $(b, a)$ を通る（直線 $y = x$ に関して対称）

分かれ目は次の 3 つ。

逆関数は 1 対 1 の対応のときだけ定まる。 $y = x^{2}$ は実数全体では逆関数をもたないが、定義域を $x ≧ 0$ に制限すればもつ
逆関数を求めたら、定義域（もとの関数の値域）を必ず添える。式だけでは逆関数が決まらないことがある
$f^{- 1} (x)$ は逆数 $\frac{1}{f ( x )}$ ではない

1. 逆関数の定義と求め方

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

$y = 2 x - 3$ を $x$ について解くと $x = \frac{y + 3}{2}$ になります。これは「 $y$ から $x$ を求める規則」で、変数の名前を入れかえたものが逆関数です。

関数 $y = f (x)$ の逆関数とは何か？

値域のどの $y$ に対しても $y = f (x)$ となる $x$ がただ 1 つ決まるとき、 $x$ を $y$ の関数とみて $x = g (y)$ と表し、 $x$ と $y$ を入れかえた関数 $y = g (x)$ のこと。 $f^{- 1} (x)$ と書く

$f$ が「 $x$ から $y$ を決める」対応なら、 $f^{- 1}$ は「その $y$ からもとの $x$ に戻す」対応。

関数 $f (x)$ が逆関数をもつのは、どんなときか？

1 対 1 の対応のとき（定義域の異なる $x$ に、必ず異なる $y$ が対応するとき）

定義域全体で増加する関数、定義域全体で減少する関数は 1 対 1 なので逆関数をもつ。 $y = x^{2}$ （実数全体）は $x = 1$ と $x = - 1$ がどちらも $y = 1$ に対応するので、逆関数をもたない。

関数 $y = f (x)$ の逆関数を求める手順は？

① $y = f (x)$ を $x$ について解いて $x = g (y)$ の形にする　② $x$ と $y$ を入れかえて $y = g (x)$ とする　③ もとの関数の値域を、逆関数の定義域として添える

$y = 2 x - 3$ なら、 $x = \frac{y + 3}{2}$ と解いて、入れかえて $y = \frac{x + 3}{2}$ 。

$f^{- 1} (x)$ は $\frac{1}{f ( x )}$ と同じか？

同じではない。 $f^{- 1} (x)$ は逆関数、 $\frac{1}{f ( x )}$ は逆数

$f (x) = 2 x$ なら、 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$ 、 $\frac{1}{f ( x )} = \frac{1}{2 x}$ 。 $f^{- 1}$ の $- 1$ は指数ではなく、逆関数を表す記号。

2. 定義域・値域とグラフ

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

対応の向きを逆にするので、入口（定義域）と出口（値域）が入れかわります。

逆関数 $f^{- 1}$ の定義域と値域は、もとの関数 $f$ の定義域と値域とどんな関係にあるか？

入れかわる。 $f^{- 1}$ の定義域は $f$ の値域、 $f^{- 1}$ の値域は $f$ の定義域

$y = 2 x - 3$ （ $0 ≦ x ≦ 2$ ）の値域は $- 3 ≦ y ≦ 1$ なので、逆関数 $y = \frac{x + 3}{2}$ の定義域は $- 3 ≦ x ≦ 1$ 、値域は $0 ≦ y ≦ 2$ 。

$y = f (x)$ のグラフと、その逆関数 $y = f^{- 1} (x)$ のグラフは、どんな位置関係にあるか？

直線 $y = x$ に関して対称

点 $(a, b)$ が $y = f (x)$ のグラフ上にあれば、点 $(b, a)$ が $y = f^{- 1} (x)$ のグラフ上にある。点 $(a, b)$ と点 $(b, a)$ は直線 $y = x$ に関して対称。

関数 $f$ が逆関数 $f^{- 1}$ をもつとき、 $b = f (a)$ を $f^{- 1}$ を使って言いかえると？

$a = f^{- 1} (b)$

「 $f^{- 1} (7) = 4$ 」は「 $f (4) = 7$ 」と同じこと。 $f^{- 1}$ の式を求めなくても、 $f$ の式に代入して条件を使える。

$f$ の定義域の $x$ に対して、 $f^{- 1} (f (x))$ はどうなるか？

$f^{- 1} (f (x)) = x$

$f$ で移した先を $f^{- 1}$ で戻すと、もとの $x$ に戻る。同じように、 $f$ の値域の $x$ に対して $f (f^{- 1} (x)) = x$ 。 $f$ と $f^{- 1}$ を続けて行うと、どちらの順でも $x$ がそのまま返る。

3. いろいろな関数の逆関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

これまでに学んだ関数の中にも、逆関数の関係にある組があります。

指数関数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）の逆関数は？

対数関数 $y = lo g_{a} x$

$y = a^{x}$ を $x$ について解くと $x = lo g_{a} y$ 。指数関数の値域 $y > 0$ が、対数関数の定義域 $x > 0$ （真数は正）になる。2 つのグラフは直線 $y = x$ に関して対称。

$y = x^{2}$ （ $x ≧ 0$ ）の逆関数は？

$y = x$

定義域を $x ≧ 0$ に制限すると増加関数になり、1 対 1 なので逆関数をもつ。値域は $y ≧ 0$ 。 $y = x^{2}$ を $x$ について解くと $x = \pm y$ で、 $x ≧ 0$ から $x = y$ を選ぶ。

$y = x^{2}$ （ $x ≦ 0$ ）の逆関数は？

$y = - x$

$x = \pm y$ のうち、 $x ≦ 0$ から $x = - y$ を選ぶ。もとの関数の定義域が、根号の前の符号を決める。

4. $y = f (x)$ と $y = f^{- 1} (x)$ の共有点

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(エ)

2 つのグラフは直線 $y = x$ に関して対称なので、 $y = f (x)$ と直線 $y = x$ の共有点は、必ず $y = f^{- 1} (x)$ のグラフ上にもあります。

$f (x)$ が増加関数のとき、 $y = f (x)$ のグラフと $y = f^{- 1} (x)$ のグラフの共有点はどう求めるか？

共有点はすべて直線 $y = x$ 上にあるので、方程式 $f (x) = x$ を解く

$f^{- 1} (x)$ の式を作って $f (x) = f^{- 1} (x)$ を解くより、次数が低くてすむ。増加関数で $f (a) = b$ 、 $f (b) = a$ 、 $a < b$ とすると $f (a) < f (b)$ から $b < a$ となり矛盾するので、 $a = b$ に限られる。

$y = f (x)$ と $y = f^{- 1} (x)$ のグラフの共有点は、いつでも直線 $y = x$ 上にあるか？

いつでもとは限らない。 $f (x)$ が増加関数でないときは、直線 $y = x$ 上にない共有点をもつことがある

$f (x) = \frac{1}{x}$ の逆関数は $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x}$ で自分自身。グラフ上のすべての点が共有点で、たとえば点 $(2, \frac{1}{2})$ は直線 $y = x$ 上にない。

練習問題

問 1　関数 $y = 2 x - 3$ （ $- 1 ≦ x ≦ 3$ ）の逆関数を求めよ。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ （ $- 5 ≦ x ≦ 3$ ）

方針　 $x$ について解いてから $x$ と $y$ を入れかえる。逆関数の定義域はもとの関数の値域なので、先に値域を求めておく。

$y = 2 x - 3$ は増加関数なので、1 対 1 で逆関数をもつ
値域を求める。 $x = - 1$ のとき $y = 2 \times (- 1) - 3 = - 5$ 、 $x = 3$ のとき $y = 2 \times 3 - 3 = 3$ なので、値域は $- 5 ≦ y ≦ 3$
$x$ について解く。 $2 x = y + 3$ から、 $x = \frac{y + 3}{2}$
$x$ と $y$ を入れかえる。 $y = \frac{x + 3}{2} = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
定義域は、もとの関数の値域の $- 5 ≦ x ≦ 3$

ここで間違えやすい　もとの定義域 $- 1 ≦ x ≦ 3$ をそのまま逆関数の定義域に書いてしまう。定義域と値域は入れかわる。

問 2　関数 $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ の逆関数を求めよ。

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

方針　分母をはらって $x$ について解き、 $x$ と $y$ を入れかえる。 $x$ を含む項を一方の辺に集めて、 $x$ でくくるのが解き方の中心。

もとの関数は $y = \frac{3}{x - 1} + 2$ と変形できるので、値域は $y \neq = 2$ 。 $x < 1$ と $x > 1$ のそれぞれで減少し、 $x < 1$ では $y < 2$ 、 $x > 1$ では $y > 2$ なので、1 対 1 で逆関数をもつ
分母をはらう。 $y (x - 1) = 2 x + 1$
展開する。 $x y - y = 2 x + 1$
$x$ を含む項を左辺に、含まない項を右辺に集める。 $x y - 2 x = y + 1$
$x$ でくくる。 $x (y - 2) = y + 1$
$y \neq = 2$ なので、両辺を $y - 2$ で割れる。 $x = \frac{y + 1}{y - 2}$
$x$ と $y$ を入れかえる。 $y = \frac{x + 1}{x - 2}$
定義域はもとの関数の値域なので $x \neq = 2$ 。これは分母が 0 にならない条件と一致するので、特に書き添えなくてよい

問 3　関数 $y = x^{2} - 2 x$ （ $x ≧ 1$ ）の逆関数を求めよ。

$y = 1 + x + 1$ （ $x ≧ - 1$ ）

方針　二次関数は、定義域が軸の片側に制限されていれば 1 対 1 なので逆関数をもつ。平方完成して $x$ について解き、 $\pm$ のどちらを選ぶかはもとの定義域から決める。

平方完成する。 $y = x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$
軸は $x = 1$ で、 $x ≧ 1$ では増加する。よって 1 対 1 で、値域は $y ≧ - 1$
$x$ について解く。 $(x - 1)^{2} = y + 1$
$x ≧ 1$ から $x - 1 ≧ 0$ なので、 $x - 1 = y + 1$
よって $x = 1 + y + 1$
$x$ と $y$ を入れかえる。 $y = 1 + x + 1$
定義域は、もとの関数の値域の $x ≧ - 1$

ここで間違えやすい　手順 4 で $x - 1 = \pm y + 1$ のまま進めてしまう。1 つの $y$ に 2 つの $x$ が対応しては関数にならない。もとの定義域 $x ≧ 1$ が $+$ を選ばせる。

問 4　関数 $y = 2^{x} + 1$ の逆関数を求めよ。

$y = lo g_{2} (x - 1)$ （ $x > 1$ ）

方針　指数関数を $x$ について解くと対数が出てくる。 $2^{x} =$ （ $y$ の式）の形にしてから、対数の定義で $x$ を取り出す。値域を先に求めて、逆関数の定義域にする。

$2^{x} > 0$ なので、 $y = 2^{x} + 1 > 1$ 。値域は $y > 1$ 。また増加関数なので、1 対 1 で逆関数をもつ
$2^{x}$ について解く。 $2^{x} = y - 1$
対数の定義から、 $x = lo g_{2} (y - 1)$
$x$ と $y$ を入れかえる。 $y = lo g_{2} (x - 1)$
定義域は、もとの関数の値域の $x > 1$ 。これは真数 $x - 1$ が正である条件と一致する

問 5　一次関数 $f (x) = a x + b$ （ $a \neq = 0$ ）について、 $f (2) = 1$ 、 $f^{- 1} (7) = 4$ が成り立つ。定数 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 3$ 、 $b = - 5$

方針　 $f^{- 1} (7) = 4$ は $f (4) = 7$ と同じこと。逆関数の式を作らずに、 $f$ についての条件 2 つに直して連立方程式を解く。

$f^{- 1} (7) = 4$ を言いかえると、 $f (4) = 7$
$f (2) = 1$ から、 $2 a + b = 1$
$f (4) = 7$ から、 $4 a + b = 7$
手順 3 の式から手順 2 の式をひく。 $2 a = 6$ なので、 $a = 3$
$2 a + b = 1$ に $a = 3$ を代入して $6 + b = 1$ なので、 $b = - 5$
$a = 3 \neq = 0$ なので $f (x) = 3 x - 5$ は増加関数で、確かに逆関数をもつ

問 6　関数 $f (x) = x + 2$ について、 $y = f (x)$ のグラフと、その逆関数 $y = f^{- 1} (x)$ のグラフの共有点の座標を求めよ。

$(2, 2)$

方針　 $f (x) = x + 2$ は増加関数なので、逆関数のグラフとの共有点はすべて直線 $y = x$ 上にある。 $f (x) = f^{- 1} (x)$ を解くかわりに、 $f (x) = x$ を解けばよい。

$f (x)$ は定義域 $x ≧ - 2$ で増加するので、共有点は $y = f (x)$ と直線 $y = x$ の共有点と一致する
$x + 2 = x$ とおく
両辺を 2 乗する。 $x + 2 = x^{2}$
整理する。 $x^{2} - x - 2 = 0$
因数分解する。 $(x + 1) (x - 2) = 0$ から、 $x = - 1, 2$
$x = - 1$ を確かめる。左辺は $- 1 + 2 = 1$ 、右辺は $- 1$ 。適さない
$x = 2$ を確かめる。左辺は $2 + 2 = 2$ 、右辺は 2。適する
直線 $y = x$ 上の点なので、共有点は $(2, 2)$

逆関数 $y = x^{2} - 2$ （ $x ≧ 0$ ）を作って $x + 2 = x^{2} - 2$ を解いても同じ答えになるが、2 乗すると四次方程式になる。

逆関数

0. どういうまとまりか

1. 逆関数の定義と求め方

2. 定義域・値域とグラフ

3. いろいろな関数の逆関数

4. y=f(x) と y=f−1(x) の共有点

練習問題

4. $y = f (x)$ と $y = f^{- 1} (x)$ の共有点