部分積分法｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (イ)「置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合について，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、積の形の関数を、片方を微分しもう片方を積分した形に移しかえて求める部分積分法を、不定積分について扱います。

0. どういうまとまりか

部分積分法は、積の導関数の公式を逆向きに使う方法です。積 $f (x) g^{'} (x)$ の積分を、 $f^{'} (x) g (x)$ の積分に移しかえます。
移しかえた先のほうが簡単になるように、どちらを微分する側（ $f$ ）にし、どちらを積分する側（ $g^{'}$ ）にするかを選ぶのがすべてです。

積分する関数	微分する側 $f (x)$	積分する側 $g^{'} (x)$	回数
$x e^{x}$	$x$	$e^{x}$	1 回
$x cos x$ 、 $x sin x$	$x$	$cos x$ 、 $sin x$	1 回
$x lo g x$	$lo g x$	$x$	1 回
$lo g x$	$lo g x$	$1$	1 回
$x^{2} e^{x}$	$x^{2}$	$e^{x}$	2 回
$e^{x} sin x$	$sin x$ （ $e^{x}$ でもよい）	$e^{x}$ （ $sin x$ でもよい）	2 回して方程式を解く

分かれ目は次の 3 つ。

微分すると簡単になるもの（ $x$ 、 $x^{2}$ 、 $lo g x$ ）を $f (x)$ に、積分しても形が変わらないもの（ $e^{x}$ 、 $sin x$ 、 $cos x$ ）を $g^{'} (x)$ にする
$lo g x$ があれば、 $lo g x$ を微分する側にする（ $lo g x$ の不定積分はすぐに書けないが、微分は $\frac{1}{x}$ で簡単になる）
第 2 項の符号はマイナス。 $g (x)$ に $- cos x$ や $- e^{- x}$ が入ると、マイナスが重なって符号を誤りやすい

1. 部分積分法の公式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

積の導関数の公式 ${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ の両辺を積分すると、 $f (x) g (x) = \int f^{'} (x) g (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x$ です。これを移項したものが公式です。

部分積分法の公式は？

$\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

「そのまま × 積分したもの」から「微分したもの × 積分したもの」の積分をひく。

部分積分法の公式は、微分法のどの公式から導かれるか？

積の導関数の公式 ${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

両辺を積分して、 $\int f^{'} (x) g (x) d x$ を移項する。置換積分法が合成関数の微分法の逆であるのと対になっている。

部分積分法で $g^{'} (x)$ から $g (x)$ を作るとき、積分定数はつけるか？

つけない。 $g^{'} (x)$ の原始関数を 1 つ選べばよい

$g^{'} (x) = e^{x}$ なら $g (x) = e^{x}$ 、 $g^{'} (x) = sin x$ なら $g (x) = - cos x$ 。積分定数 $C$ は、最後に残った不定積分を計算し終えたところで 1 つつける。

2. どちらを微分する側にするか

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

公式の右辺に残る $\int f^{'} (x) g (x) d x$ が、もとの積分より簡単になるように選びます。逆に選ぶと、 $x$ の次数が上がるなどして、もとより複雑になります。

$x \times e^{x}$ 、 $x \times sin x$ 、 $x \times cos x$ の形を部分積分するとき、微分する側 $f (x)$ にするのはどちらか？

$x$ を微分する側にする（ $e^{x}$ 、 $sin x$ 、 $cos x$ を積分する側 $g^{'} (x)$ にする）

$x$ は微分すると 1 になって消える。 $e^{x}$ 、 $sin x$ 、 $cos x$ は積分しても複雑にならない。

$x \times lo g x$ の形を部分積分するとき、微分する側 $f (x)$ にするのはどちらか？

$lo g x$ を微分する側にする（ $x$ を積分する側 $g^{'} (x)$ にする）

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ となって対数が消える。 $\int x lo g x d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4} + C$ 。

$\int lo g x d x$ を部分積分法で求めるとき、 $lo g x$ をどんな積とみるか？

$1 \cdot lo g x$ とみて、 $lo g x$ を微分する側、 $1$ を積分する側にする（ $g^{'} (x) = 1$ 、 $g (x) = x$ ）

$\int lo g x d x = x lo g x - \int \frac{1}{x} \cdot x d x = x lo g x - \int 1 d x$ 。

$\int lo g x d x$ は？

$x lo g x - x + C$

微分すると $lo g x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = lo g x$ に戻る。よく使うので結果を覚える。

$\int x e^{x} d x$ は？

$x e^{x} - e^{x} + C$ （ $= (x - 1) e^{x} + C$ ）

$f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = e^{x}$ とする。 $x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x$ 。

$\int x cos x d x$ は？

$x sin x + cos x + C$

$f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = cos x$ 、 $g (x) = sin x$ とする。 $x sin x - \int sin x d x = x sin x - (- cos x) + C$ 。

3. 2 回使う型と、同じ形が戻ってくる型

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

1 回の部分積分で終わらないときは、残った積分にもう 1 回使います。 $x^{2}$ は 2 回微分すると定数になります。 $e^{x}$ と $sin x$ の積はどちらを微分しても消えませんが、2 回使うともとの積分が戻ってくるので、それを方程式として解きます。

$\int x^{2} e^{x} d x$ は、部分積分法を何回使うか？また、結果は？

2 回使う。 $(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

1 回目で $x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x$ 。残った $\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x}$ にもう 1 回使う。 $x$ の次数が 1 回ごとに 1 つ下がる。

$\int e^{x} sin x d x$ はどうやって求めるか？

求める積分を $I$ とおき、部分積分法を 2 回使って $I$ についての方程式を作り、 $I$ について解く

$I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x = e^{x} sin x - (e^{x} cos x + I)$ から、 $2 I = e^{x} (sin x - cos x)$ 。

$\int e^{x} sin x d x$ は？

$\frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x) + C$

方程式を解いたあとで積分定数 $C$ をつける。 $\int e^{x} cos x d x = \frac{1}{2} e^{x} (sin x + cos x) + C$ と符号を取り違えない。

練習問題

問 1　不定積分 $\int x e^{2 x} d x$ を求めよ。

$\frac{1}{4} (2 x - 1) e^{2 x} + C$

方針　 $x$ と $e^{2 x}$ の積。 $x$ は微分すると 1 になって消えるので、 $x$ を微分する側、 $e^{2 x}$ を積分する側にして部分積分法を使う。

$f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = e^{2 x}$ とすると、 $f^{'} (x) = 1$ 、 $g (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}$
公式にあてはめる。 $\int x e^{2 x} d x = x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} - \int 1 \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} d x$
残った積分を計算する。 $\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} = \frac{1}{4} e^{2 x}$
合わせて、 $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$
$\frac{1}{4} e^{2 x}$ でくくる。 $\frac{1}{4} (2 x - 1) e^{2 x} + C$

ここで間違えやすい　 $g (x)$ を $e^{2 x}$ としない。 $e^{2 x}$ の不定積分は $\frac{1}{2} e^{2 x}$ で、 $\frac{1}{2}$ が 2 回出てくる。

問 2　不定積分 $\int x sin x d x$ を求めよ。

$- x cos x + sin x + C$

方針　 $x$ と $sin x$ の積。 $x$ を微分する側、 $sin x$ を積分する側にして部分積分法を使う。 $sin x$ の不定積分にマイナスがつくので、符号を 1 つずつ追う。

$f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = sin x$ とすると、 $f^{'} (x) = 1$ 、 $g (x) = - cos x$
公式にあてはめる。 $\int x sin x d x = x \cdot (- cos x) - \int 1 \cdot (- cos x) d x$
符号を整理する。 $- x cos x + \int cos x d x$
$\int cos x d x = sin x$ なので、 $- x cos x + sin x + C$
確かめる。微分すると $- cos x + x sin x + cos x = x sin x$ に戻る

ここで間違えやすい　手順 2 から 3 で、公式のマイナスと $g (x) = - cos x$ のマイナスが重なってプラスになる。 $- x cos x - sin x + C$ としない。

問 3　不定積分 $\int x lo g x d x$ を求めよ。

$\frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4} + C$

方針　 $lo g x$ を含む積なので、 $lo g x$ を微分する側にする。微分すると $\frac{1}{x}$ になり、 $x$ を積分して出てくる $\frac{x ^{2}}{2}$ と約分できる。

$f (x) = lo g x$ 、 $g^{'} (x) = x$ とすると、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ 、 $g (x) = \frac{x ^{2}}{2}$
公式にあてはめる。 $\int x lo g x d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x$
残った積分の中を約分する。 $\frac{1}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x}{2}$
$\int \frac{x}{2} d x = \frac{x ^{2}}{4}$
合わせて、 $\frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4} + C$

問 4　不定積分 $\int x^{2} e^{- x} d x$ を求めよ。

$- (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x} + C$

方針　 $x^{2}$ は 2 回微分すると定数になるので、 $x^{2}$ を微分する側にして部分積分法を 2 回使う。 $e^{- x}$ の不定積分は $- e^{- x}$ で、マイナスがつく。

$f (x) = x^{2}$ 、 $g^{'} (x) = e^{- x}$ とすると、 $f^{'} (x) = 2 x$ 、 $g (x) = - e^{- x}$
公式にあてはめる。 $\int x^{2} e^{- x} d x = x^{2} \cdot (- e^{- x}) - \int 2 x \cdot (- e^{- x}) d x$
符号を整理する。 $- x^{2} e^{- x} + 2 \int x e^{- x} d x$
残った $\int x e^{- x} d x$ にもう 1 回使う。 $f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = e^{- x}$ とすると、 $f^{'} (x) = 1$ 、 $g (x) = - e^{- x}$
$\int x e^{- x} d x = x \cdot (- e^{- x}) - \int 1 \cdot (- e^{- x}) d x = - x e^{- x} + \int e^{- x} d x$
$\int e^{- x} d x = - e^{- x}$ なので、 $\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} - e^{- x}$
手順 3 に代入する。 $- x^{2} e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C = - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$
$- e^{- x}$ でくくる。 $- (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x} + C$

問 5　不定積分 $\int (lo g x)^{2} d x$ を求めよ。

$x (lo g x)^{2} - 2 x lo g x + 2 x + C$

方針　 $\int lo g x d x$ と同じく、 $1 \cdot (lo g x)^{2}$ とみて $(lo g x)^{2}$ を微分する側にする。微分すると $lo g x$ の次数が 1 つ下がり、残りは $\int lo g x d x$ になる。

$f (x) = (lo g x)^{2}$ 、 $g^{'} (x) = 1$ とすると、 $g (x) = x$
$f (x)$ を合成関数の微分法で微分する。 $f^{'} (x) = 2 lo g x \cdot \frac{1}{x}$
公式にあてはめる。 $\int (lo g x)^{2} d x = x (lo g x)^{2} - \int 2 lo g x \cdot \frac{1}{x} \cdot x d x$
残った積分の中を約分する。 $x (lo g x)^{2} - 2 \int lo g x d x$
$\int lo g x d x = x lo g x - x$ を使う。 $x (lo g x)^{2} - 2 (x lo g x - x) + C$
かっこを外す。 $x (lo g x)^{2} - 2 x lo g x + 2 x + C$

問 6　不定積分 $\int e^{x} cos x d x$ を求めよ。

$\frac{1}{2} e^{x} (sin x + cos x) + C$

方針　 $e^{x}$ も $cos x$ も、微分しても積分しても消えない。部分積分法を 2 回使うと、もとの積分と同じ形が戻ってくるので、求める積分を $I$ とおいて $I$ についての方程式として解く。2 回とも $e^{x}$ を積分する側にする。

$I = \int e^{x} cos x d x$ とおく
1 回目。 $f (x) = cos x$ 、 $g^{'} (x) = e^{x}$ とすると、 $f^{'} (x) = - sin x$ 、 $g (x) = e^{x}$
公式にあてはめる。 $I = e^{x} cos x - \int (- sin x) e^{x} d x = e^{x} cos x + \int e^{x} sin x d x$
2 回目。残った $\int e^{x} sin x d x$ で $f (x) = sin x$ 、 $g^{'} (x) = e^{x}$ とすると、 $f^{'} (x) = cos x$ 、 $g (x) = e^{x}$
$\int e^{x} sin x d x = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x = e^{x} sin x - I$
手順 3 に代入する。 $I = e^{x} cos x + e^{x} sin x - I$
$I$ を左辺に集める。 $2 I = e^{x} (sin x + cos x)$
両辺を 2 で割り、積分定数をつける。 $I = \frac{1}{2} e^{x} (sin x + cos x) + C$

ここで間違えやすい　2 回目で役割を入れかえて、 $e^{x}$ を微分する側、 $sin x$ を積分する側にしない。1 回目の変形を逆にたどるだけになり、 $I = I$ という何も決まらない式に戻る。