いろいろな関数の不定積分｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (ア)「不定積分及び定積分の基本的な性質についての理解を深め，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、分数関数と三角関数を、基本公式が使える形に変形してから積分する方法を扱います。終わりの節では、ア (イ) の置換積分法を三角関数の奇数乗に使います。

0. どういうまとまりか

分数関数や三角関数の累乗・積は、そのままでは基本公式にあてはまりません。積分する前に式を変形して、和・差の形に直すのがこのノートの中身です。
新しい積分の公式は出てきません。使うのは、割り算・部分分数・半角の公式・積を和に直す公式という、式変形の道具です。
ここで身につける変形は、次のフォルダで扱う定積分でも、不定積分のときと同じ形でそのまま使います。

式の形	使う方法	例
分数関数で、分子の次数が分母の次数以上	割り算をして、分子の次数を下げる	$\frac{x ^{2}}{x + 1}$
分数関数で、分子が分母の微分の定数倍	$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = lo g ∣ g (x)∣ + C$	$\frac{2 x}{x ^{2} - 1}$
分数関数で、分母が因数分解できる	部分分数に分ける	$\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$
$sin^{2} x$ 、 $cos^{2} x$ （偶数乗）	半角の公式で次数を下げる	$sin^{2} x$
$sin a x cos b x$ など、角の違う積	積を和に直す公式	$sin 3 x cos x$
$sin^{3} x$ 、 $cos^{3} x$ （奇数乗）	1 つだけ残して置換する	$sin^{3} x$

分かれ目は次の 3 つ。

分数関数は、まず分子と分母の次数を比べる。分子の次数が分母以上のまま部分分数に分けようとしない
部分分数に分ける前に、分子が分母の微分になっていないかを見る。なっていれば 1 行で終わる
三角関数の累乗は、偶数乗なら半角の公式、奇数乗なら 1 つ残して置換。 $\int sin^{2} x d x$ を $\frac{1}{3} sin^{3} x + C$ としない

1. 分数関数: 分子の次数を下げる

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

分子の次数が分母の次数以上の分数関数は、分子を分母で割って「多項式＋分子の次数が分母より低い分数」に直します。多項式の部分はそのまま積分できます。

分数関数の不定積分で、分子の次数が分母の次数以上のとき、最初に何をするか？

分子を分母で割り、「多項式＋分子の次数が分母より低い分数」の形に直す

商が多項式の部分、余りが新しい分子になる。仮分数を帯分数に直すのと同じ。

$\frac{x ^{2}}{x + 1}$ を、積分できる形に直すと？

$x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

$x^{2} = (x + 1) (x - 1) + 1$ から。 $\int \frac{x ^{2}}{x + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - x + lo g ∣ x + 1 ∣ + C$ 。

$\int \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x$ は、部分分数に分けなくても求められる。何に気づけばよいか？また、結果は？

分子 $2 x$ が分母 $x^{2} - 1$ の微分になっていること。 $lo g ∣ x^{2} - 1 ∣ + C$

$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = lo g ∣ g (x)∣ + C$ の形。 $x^{2} - 1$ は負にもなるので、絶対値は外せない。

2. 分数関数: 部分分数に分ける

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

分母が 1 次式の積に因数分解できるときは、分母が 1 次式の分数の和・差に分けます。これを部分分数に分けるといいます。分けたあとは $\int \frac{1}{x + a} d x = lo g ∣ x + a ∣ + C$ が使えます。

$\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ を部分分数に分けると？

$\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$

通分すると分子が $(x + 2) - (x + 1) = 1$ になり、もとに戻る。

$\frac{1}{x ^{2} - 1}$ を部分分数に分けると？

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ 。 $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ を通分すると分子が $(x + 1) - (x - 1) = 2$ になるので、 $\frac{1}{2}$ をかけて合わせる。

$\frac{p x + q}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ を部分分数に分けるとき、係数はどうやって決めるか？

$\frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 2}$ とおいて分母を払い、 $p x + q = a (x + 2) + b (x + 1)$ が $x$ についての恒等式になるように $a$ 、 $b$ を決める

両辺の係数を比べるか、 $x = - 1$ 、 $x = - 2$ を代入する。

$\int \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$ は？

$lo g \frac{x + 1}{x + 2} + C$

部分分数に分けて $lo g ∣ x + 1 ∣ - lo g ∣ x + 2 ∣ + C$ 。対数の差は商の対数にまとめられる。

3. 三角関数: 次数を下げる・積を和に直す

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

$sin^{2} x$ や $sin 3 x cos x$ は積の形なので、そのままでは積分できません。数学Ⅱの加法定理から出る公式で、1 次の三角関数の和・差に直します。
半角の公式は、2 倍角の公式 $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1$ を $sin^{2} x$ 、 $cos^{2} x$ について解いたものです。積を和に直す公式は次の 3 つで、加法定理の式を足したり引いたりして作ります。

sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}

cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}

sin α sin β = - \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}

$\int sin^{2} x d x$ を求めるとき、 $sin^{2} x$ をどう書きかえるか？

$sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ （半角の公式）

$\int sin^{2} x d x = \frac{1}{2} \int (1 - cos 2 x) d x = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 。

$\int cos^{2} x d x$ を求めるとき、 $cos^{2} x$ をどう書きかえるか？

$cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}$ （半角の公式）

$\int cos^{2} x d x = \frac{1}{2} \int (1 + cos 2 x) d x = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} sin 2 x + C$ 。 $sin^{2} x$ とは符号だけが違う。

$\int sin 3 x cos x d x$ を求めるとき、 $sin 3 x cos x$ をどう書きかえるか？

$sin 3 x cos x = \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x)$ （積を和に直す公式）

$sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$ で $α = 3 x$ 、 $β = x$ とする。

4. 三角関数: 奇数乗は 1 つ残して置換する

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$sin^{3} x$ のような奇数乗は、 $sin x$ を 1 つだけ残し、残りの偶数乗を $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ で $cos x$ の式に直します。すると「 $cos x$ のかたまりと、その微分（の符号違い） $sin x$ 」の形になり、置換積分法が使えます。

$\int sin^{3} x d x$ を求めるとき、 $sin^{3} x$ をどう変形し、何を $t$ とおくか？

$sin^{3} x = (1 - cos^{2} x) sin x$ と変形し、 $cos x = t$ とおく

$- sin x d x = d t$ なので $- \int (1 - t^{2}) d t$ 。結果は $- cos x + \frac{1}{3} cos^{3} x + C$ 。

$sin^{n} x$ の不定積分で、 $n$ が偶数のときと奇数のときで、方法はどう分かれるか？

偶数のときは半角の公式で次数を下げる。奇数のときは $sin x$ を 1 つ残し、残りを $cos x$ で表して $cos x = t$ とおく

$cos^{n} x$ でも同じ。奇数のときは $cos x$ を 1 つ残して $sin x = t$ とおく。

【発展】 $\int \frac{1}{s i n x} d x$ （奇数乗の考え方を分数に使う）

分母に $sin x$ が 1 つ（奇数乗）あるので、分母と分子に $sin x$ をかけて、分母を $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ にする。

\int \frac{1}{sin x} d x = \int \frac{sin x}{sin ^{2} x} d x = \int \frac{sin x}{1 - cos ^{2} x} d x

$cos x = t$ とおくと $- sin x d x = d t$ なので、

\int \frac{sin x}{1 - cos ^{2} x} d x = \int \frac{- 1}{1 - t ^{2}} d t = \int \frac{1}{t ^{2} - 1} d t

部分分数に分けて $\frac{1}{t ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1})$ なので、 $\frac{1}{2} lo g \frac{t - 1}{t + 1} + C$ 。
$t = cos x$ を戻す。 $- 1 < cos x < 1$ なので $\frac{c o s x - 1}{c o s x + 1} = \frac{1 - c o s x}{1 + c o s x}$ であり、

\int \frac{1}{sin x} d x = \frac{1}{2} lo g \frac{1 - cos x}{1 + cos x} + C

置換・部分分数・絶対値の扱いを続けて使う。教科書では発展として扱われることが多い。

練習問題

問 1　不定積分 $\int \frac{x ^{2} + 3 x + 4}{x + 1} d x$ を求めよ。

$\frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 lo g ∣ x + 1 ∣ + C$

方針　分子が 2 次、分母が 1 次で、分子の次数のほうが高い。まず分子を分母で割って、多項式と「定数 ÷ 1 次式」の和に直す。

分子を $x + 1$ で割る。 $x^{2} + 3 x + 4 = (x + 1) (x + 2) + 2$ （商が $x + 2$ 、余りが 2）
よって、 $\frac{x ^{2} + 3 x + 4}{x + 1} = x + 2 + \frac{2}{x + 1}$
$\int (x + 2) d x = \frac{x ^{2}}{2} + 2 x$
$\int \frac{2}{x + 1} d x = 2 lo g ∣ x + 1 ∣$
合わせて、 $\frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 lo g ∣ x + 1 ∣ + C$

問 2　不定積分 $\int \frac{x + 5}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$ を求めよ。

$4 lo g ∣ x + 1 ∣ - 3 lo g ∣ x + 2 ∣ + C$

方針　分子の次数は分母より低く、分母は 1 次式の積になっている。分子は分母の微分 $2 x + 3$ の定数倍ではないので、部分分数に分ける。

$\frac{x + 5}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 2}$ とおく
両辺に $(x + 1) (x + 2)$ をかける。 $x + 5 = a (x + 2) + b (x + 1)$
$x = - 1$ を代入する。左辺は 4、右辺は $a$ なので、 $a = 4$
$x = - 2$ を代入する。左辺は 3、右辺は $- b$ なので、 $b = - 3$
よって、 $\frac{x + 5}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{4}{x + 1} - \frac{3}{x + 2}$
項ごとに積分する。 $4 lo g ∣ x + 1 ∣ - 3 lo g ∣ x + 2 ∣ + C$

問 3　不定積分 $\int cos^{2} 2 x d x$ を求めよ。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{8} sin 4 x + C$

方針　 $cos$ の 2 乗（偶数乗）なので、半角の公式で次数を下げる。角が $2 x$ なので、公式の $2 x$ にあたるところは $4 x$ になる。

$cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ で $θ = 2 x$ とする。 $cos^{2} 2 x = \frac{1 + c o s 4 x}{2}$
$\int cos^{2} 2 x d x = \frac{1}{2} \int (1 + cos 4 x) d x$
$\int cos 4 x d x = \frac{1}{4} sin 4 x$ なので、 $\frac{1}{2} (x + \frac{1}{4} sin 4 x) + C$
かっこを外す。 $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} sin 4 x + C$

問 4　不定積分 $\int sin 3 x cos x d x$ を求めよ。

$- \frac{1}{8} cos 4 x - \frac{1}{4} cos 2 x + C$

方針　角の違う $sin$ と $cos$ の積なので、積を和に直す公式 $sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$ で、1 次の三角関数の和にする。

$α = 3 x$ 、 $β = x$ とすると、 $α + β = 4 x$ 、 $α - β = 2 x$
$sin 3 x cos x = \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x)$
$\int sin 4 x d x = - \frac{1}{4} cos 4 x$ 、 $\int sin 2 x d x = - \frac{1}{2} cos 2 x$
合わせる。 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{4} cos 4 x - \frac{1}{2} cos 2 x) + C$
かっこを外す。 $- \frac{1}{8} cos 4 x - \frac{1}{4} cos 2 x + C$

問 5　不定積分 $\int cos^{3} x d x$ を求めよ。

$sin x - \frac{1}{3} sin^{3} x + C$

方針　 $cos$ の 3 乗（奇数乗）なので、 $cos x$ を 1 つ残し、残りの $cos^{2} x$ を $1 - sin^{2} x$ に直す。すると「 $sin x$ のかたまりと、その微分 $cos x$ 」の形になり、 $sin x = t$ とおける。

$cos^{3} x = cos^{2} x \cdot cos x = (1 - sin^{2} x) cos x$
$sin x = t$ とおくと、 $\frac{d t}{d x} = cos x$ なので、 $cos x d x = d t$
置きかえる。 $\int (1 - sin^{2} x) cos x d x = \int (1 - t^{2}) d t$
積分する。 $t - \frac{t ^{3}}{3} + C$
$t = sin x$ を戻す。 $sin x - \frac{1}{3} sin^{3} x + C$

ここで間違えやすい　累乗の公式をそのまま使って $\frac{1}{4} cos^{4} x + C$ としない。微分すると $- cos^{3} x sin x$ になり、もとに戻らない。

問 6　不定積分 $\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1} d x$ を求めよ。

$\frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{2} lo g ∣ x^{2} - 1 ∣ + C$

方針　分子が 3 次、分母が 2 次なので、まず割り算をして分子の次数を下げる。残った分数は、部分分数に分ける前に、分子が分母の微分の定数倍になっていないかを見る。

分子を $x^{2} - 1$ で割る。 $x^{3} = x (x^{2} - 1) + x$ （商が $x$ 、余りが $x$ ）
よって、 $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1} = x + \frac{x}{x ^{2} - 1}$
$\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}$
$(x^{2} - 1)^{'} = 2 x$ なので、 $\frac{x}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( x ^{2} - 1 ) ^{'}}{x ^{2} - 1}$
$\int \frac{x}{x ^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} lo g ∣ x^{2} - 1 ∣$
合わせて、 $\frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{2} lo g ∣ x^{2} - 1 ∣ + C$

ここで間違えやすい　絶対値を外して $lo g (x^{2} - 1)$ としない。 $x^{2} - 1$ は $- 1 < x < 1$ で負になる。