定積分の基本

$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$

方針　項ごとに不定積分を求めて、上端の値から下端の値をひく。$\cos 2x$ の不定積分は、微分して $\cos 2x$ になる関数を考えて $\frac{1}{2}\sin 2x$。

1. $\sin x$ の不定積分は $-\cos x$、$\cos 2x$ の不定積分は $\frac{1}{2}\sin 2x$
2. よって ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(\sin x+\cos 2x)dx=[-\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x{]}_0^{\frac{\pi }{3}}$
3. 上端の値を求める。$\cos \frac{\pi }{3}$ は $\frac{1}{2}$、$\sin \frac{2\pi }{3}$ は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$、すなわち $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
4. 下端の値を求める。$\cos 0$ は 1、$\sin 0$ は 0 なので、$-1$
5. 上端の値から下端の値をひく。$\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)-(-1)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$

ここで間違えやすい　下端の値を 0 としてしまう。$-\cos 0$ は $-1$ で、これをひくので 1 を足すことになる。

$\frac{3}{2}+\log 2$

方針　分数のままでは積分できないので、分子を項ごとに $x$ で割って $x+\frac{1}{x}$ に直す。$\frac{1}{x}$ の不定積分は $\log |x|$ で、積分区間は $x>0$ なので $\log x$ と書ける。

1. 割り算をする。$\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$
2. 不定積分を求める。$x$ は $\frac{x^2}{2}$、$\frac{1}{x}$ は $\log x$
3. よって ${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx=[\frac{x^2}{2}+\log x{]}_1^2$
4. 上端の値は、$\frac{4}{2}+\log 2$ で $2+\log 2$
5. 下端の値は、$\frac{1}{2}+\log 1$ で、$\log 1$ は 0 なので $\frac{1}{2}$
6. ひく。$(2+\log 2)-\frac{1}{2}$ で、$\frac{3}{2}+\log 2$

$\frac{3}{2}$

方針　$e^{2x}$ の不定積分は $\frac{1}{2}{e}^{2x}$（微分すると $e^{2x}$ に戻ることで確かめられる）。上端に $\log 2$ を入れるときは、$e^{\log p}=p$ を使って数に直す。

1. ${\int }_0^{\log 2}{e}^{2x}dx=[\frac{1}{2}{e}^{2x}{]}_0^{\log 2}$
2. 上端の値を求める。$2\log 2=\log 4$ なので、$e^{2\log 2}=e^{\log 4}$ で、これは 4。よって上端の値は $\frac{4}{2}$
3. 下端の値を求める。$e^0$ は 1 なので、$\frac{1}{2}$
4. ひく。$\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

ここで間違えやすい　$e^{2\log 2}$ を 2 や $2e$ としてしまう。指数の $2\log 2$ を先に $\log 4$ にまとめてから $e^{\log 4}$ を計算する。

$\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}$

方針　${\cos }^{2}x$ はそのままでは積分できない。半角の公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ で次数を下げて、1 次の三角関数にしてから積分する。

1. 次数を下げる。${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$
2. 不定積分を求める。$\frac{1}{2}$ は $\frac{x}{2}$、$\frac{1}{2}\cos 2x$ は $\frac{1}{4}\sin 2x$
3. よって ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}xdx=[\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x{]}_0^{\frac{\pi }{4}}$
4. 上端の値は、$\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}\sin \frac{\pi }{2}$ で、$\sin \frac{\pi }{2}$ は 1 なので $\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}$
5. 下端の値は、$\sin 0$ が 0 なので 0
6. ひいて、$\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}$

$e^2-2e+1$

方針　絶対値の中身 $e^x-e$ の符号が変わるところで積分区間を分ける。$e^x$ は増加関数なので、$e^x-e$ は $x=1$ を境に負から正へ変わる。

1. $e^x-e=0$ となるのは $x=1$。$0\leqq x\leqq 1$ では $e^x\leqq e$ なので $|e^x-e|=e-e^x$、$1\leqq x\leqq 2$ では $e^x\geqq e$ なので $|e^x-e|=e^x-e$
2. 区間を分ける。${\int }_0^2|e^x-e|dx={\int }_0^1(e-e^x)dx+{\int }_1^2(e^x-e)dx$
3. 1 つ目を計算する。$e$ は定数なので不定積分は $ex$。${\int }_0^1(e-e^x)dx=[ex-e^x{]}_0^1$
4. 上端の値は $e-e$ で 0、下端の値は $0-e^0$ で $-1$。0 から $-1$ をひいて、1 つ目は 1
5. 2 つ目を計算する。${\int }_1^2(e^x-e)dx=[e^x-ex{]}_1^2$
6. 上端の値は $e^2-2e$、下端の値は $e-e$ で 0。よって 2 つ目は $e^2-2e$
7. 足して、$e^2-2e+1$

ここで間違えやすい　定数 $e$ の不定積分を $e^x$ や $\frac{e^2}{2}$ としてしまう。$e$ は $x$ を含まない定数なので、不定積分は $ex$。

$2\sqrt{2}-2$

方針　$\sin x-\cos x$ の符号が変わるところで積分区間を分ける。$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ で $\sin x=\cos x$ となるのは $x=\frac{\pi }{4}$ で、その手前では $\cos x$ のほうが大きく、そのあとでは $\sin x$ のほうが大きい。

1. $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{4}$ では $\sin x\leqq \cos x$ なので $|\sin x-\cos x|=\cos x-\sin x$、$\frac{\pi }{4}\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ では $\sin x\geqq \cos x$ なので $|\sin x-\cos x|=\sin x-\cos x$
2. 区間を分ける。求める定積分は ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-\cos x)dx$
3. 1 つ目を計算する。${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\sin x)dx=[\sin x+\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{4}}$
4. 上端の値は $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $\sqrt{2}$、下端の値は $\sin 0+\cos 0$ で 1。よって 1 つ目は $\sqrt{2}-1$
5. 2 つ目を計算する。${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-\cos x)dx=[-\cos x-\sin x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}$
6. 上端の値は $-\cos \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}$ で $-1$、下端の値は $-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $-\sqrt{2}$。$-1$ から $-\sqrt{2}$ をひいて、2 つ目は $\sqrt{2}-1$
7. 足す。$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}-2$