定積分の置換積分法｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (イ)「置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合について，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、置換積分法を定積分で使うときの積分区間の直し方と、 $x = a sin θ$ 、 $x = a tan θ$ の置きかえ、偶関数・奇関数の定積分を扱います。

0. どういうまとまりか

不定積分の置換積分法は、 $x = g (t)$ とおいて $d x$ を $g^{'} (t) d t$ に置きかえ、最後に $t$ を $x$ の式に戻しました。
定積分では、積分区間も $t$ の区間に直します。そうすれば $t$ のまま値が出るので、 $x$ に戻す必要がありません。

被積分関数に含まれる形	置きかえ	置きかえたあと
$a x + b$ のかたまり	$a x + b = t$	$d x = \frac{1}{a} d t$
$a x + b$	$a x + b = t$	$x = \frac{t ^{2} - b}{a}$ 、 $d x = \frac{2 t}{a} d t$
$a^{2} - x^{2}$ （ $a > 0$ ）	$x = a sin θ$	$a^{2} - x^{2} = a cos θ$ 、 $d x = a cos θ d θ$
$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$ （ $a > 0$ ）	$x = a tan θ$	$x^{2} + a^{2} = \frac{a ^{2}}{c o s ^{2} θ}$ 、 $d x = \frac{a}{c o s ^{2} θ} d θ$

分かれ目は次の 3 つ。

積分区間を直し忘れない。 $x$ の区間のまま $t$ の式を積分すると、別の定積分になる。置きかえたら必ず $x$ と $t$ の対応を表に書く
$a^{2} - a^{2} sin^{2} θ$ は $a ∣ cos θ ∣$ 。 $θ$ の範囲で $cos θ ≧ 0$ であることを確かめてから、絶対値を外す
偶関数・奇関数の性質が使えるのは、積分区間が $- a$ から $a$ のときだけ。区間が原点について対称でなければ使えない

1. 積分区間を直す

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$x = g (t)$ とおくと、 $x$ が $a$ から $b$ まで動くとき、 $t$ はそれに対応する $α$ から $β$ まで動きます。この対応を表にしておくと、取り違えません。

定積分の置換積分法の式は？（ $x = g (t)$ とおき、 $a = g (α)$ 、 $b = g (β)$ とする）

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$

$x$ を $g (t)$ に、 $d x$ を $g^{'} (t) d t$ に、積分区間を $t$ の区間に、の 3 つを置きかえる。 $g (t)$ は微分可能な関数とする。

定積分で置換積分法を使うとき、積分区間はどうするか？また、計算の最後に $t$ を $x$ の式に戻す必要はあるか？

$x$ の区間を、対応する $t$ の区間に直す。 $x$ に戻す必要はない

$x$ が下端のときの $t$ の値と、上端のときの $t$ の値を求めて、対応表を書く。定積分は積分変数の文字によらない数なので、 $t$ のまま値を出してよい。

置きかえた結果、 $x$ が 0 から 1 まで動くとき $t$ が 1 から 0 まで動くことになった。 $t$ の定積分の下端と上端はどう書くか？

下端を 1、上端を 0 と、対応する順のまま書く（大小の順に並べ直さない）

$x$ の下端に対応する値が下端、 $x$ の上端に対応する値が上端。 $1 - x = t$ とおくときなどに起こる。上端と下端を入れかえるなら、全体の符号を変える。

2. $a x + b = t$ 、 $a x + b = t$ とおく

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

1 次式のかたまり $a x + b$ があれば $a x + b = t$ とおきます。このとき $d x = \frac{1}{a} d t$ です。
根号の中が 1 次式のときは、根号ごと $t$ とおくと、根号のない式になります。

$\int_{0}^{1} f (2 x + 1) d x$ で $2 x + 1 = t$ とおくと、 $d x$ と積分区間はどうなるか？

$d x = \frac{1}{2} d t$ 、積分区間は 1 から 3。 $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f (t) d t$ になる

$x = 0$ のとき $t = 1$ 、 $x = 1$ のとき $t = 3$ 。 $\frac{1}{2}$ をかけることと、積分区間を直すことの両方が要る。

定積分で $a x + b = t$ とおいたとき、 $t$ の積分区間はどう求めるか？また、 $2 x + 1 = t$ で $x$ が 0 から 4 まで動くとき、 $t$ はどこからどこまで動くか？

$x$ の下端と上端を $a x + b$ に代入した値が、 $t$ の下端と上端。 $2 x + 1 = t$ なら、 $t$ は 1 から 3 まで動く

$x = 0$ のとき $t = 1$ で 1、 $x = 4$ のとき $t = 9$ で 3。両辺を 2 乗した $2 x + 1 = t^{2}$ から $d x = t d t$ となり、根号のない $t$ の式になる。

3. $x = a sin θ$ とおく

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$a^{2} - x^{2}$ は、 $a x + b$ の型の置きかえでは根号が外れません。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使って根号を外します。角は弧度法で表します。

$a^{2} - x^{2}$ （ $a > 0$ ）を含む関数の定積分では、 $x$ を何とおくか？

$x = a sin θ$ とおく。 $d x = a cos θ d θ$

$a^{2} - x^{2} = a^{2} (1 - sin^{2} θ) = a^{2} cos^{2} θ$ となり、根号の中が 2 乗の形になる。 $θ$ は $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の範囲でとる。

$x = a sin θ$ （ $a > 0$ ）とおいたとき、 $a^{2} - x^{2} = a cos θ$ と根号を外してよいのは、 $θ$ がどんな範囲にあるときか？

$cos θ ≧ 0$ となる範囲。 $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ でとれば、いつも外してよい

正しくは $a^{2} cos^{2} θ = a ∣ cos θ ∣$ 。 $x$ と $θ$ の対応表を書いたら、その区間で $cos θ ≧ 0$ であることを確かめる。

$\int_{0}^{a} a^{2} - x^{2} d x$ （ $a > 0$ ）の値は？また、それは何の面積か？

$\frac{π a ^{2}}{4}$ 。半径 $a$ の円の 4 分の 1（四分円）の面積

$y = a^{2} - x^{2}$ は円 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ の上半分。 $x = a sin θ$ とおいて計算しても同じ値になるので、図形の面積として答えてよい。

4. $x = a tan θ$ とおく

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$ は、分母が因数分解できないので部分分数に分けられません。 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ を使います。

$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$ （ $a > 0$ ）を含む関数の定積分では、 $x$ を何とおくか？

$x = a tan θ$ とおく。 $d x = \frac{a}{c o s ^{2} θ} d θ$ 、 $x^{2} + a^{2} = \frac{a ^{2}}{c o s ^{2} θ}$

$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x$ は $\frac{c o s ^{2} θ}{a ^{2}} \times \frac{a}{c o s ^{2} θ} d θ$ で、 $\frac{1}{a} d θ$ になる。 $θ$ は $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ の範囲でとる。

$\int_{0}^{a} \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x$ （ $a > 0$ ）の値は？

$\frac{π}{4 a}$

$x = a tan θ$ とおくと、 $x$ が 0 から $a$ まで動くとき $θ$ は 0 から $\frac{π}{4}$ まで動く。 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{a} d θ$ を計算する。 $a = 1$ なら $\frac{π}{4}$ 。

5. 偶関数と奇関数の定積分

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

積分区間が $- a$ から $a$ のときは、グラフの対称性で計算が半分になります。 $\int_{- a}^{0} f (x) d x$ で $x = - t$ とおくと示せます。

偶関数、奇関数とは、それぞれどんな関数か？

常に $f (- x) = f (x)$ が成り立つ関数が偶関数、常に $f (- x) = - f (x)$ が成り立つ関数が奇関数

偶関数のグラフは $y$ 軸について対称（ $x^{2}$ 、 $cos x$ ）、奇関数のグラフは原点について対称（ $x$ 、 $x^{3}$ 、 $sin x$ 、 $tan x$ ）。

$\int_{- a}^{a} f (x) d x$ は、 $f (x)$ が偶関数のとき、奇関数のとき、それぞれどうなるか？

偶関数のとき $2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ 、奇関数のとき 0

使えるのは、積分区間が $- a$ から $a$ （原点について対称）のときだけ。 $\int_{- 1}^{2}$ のような区間では使えない。

偶関数と奇関数の積は、偶関数か奇関数か？（偶×偶、奇×奇、偶×奇）

偶×偶は偶関数、奇×奇は偶関数、偶×奇は奇関数

$x sin x$ は奇×奇で偶関数、 $x cos x$ は奇×偶で奇関数。 $f (- x)$ を計算して確かめられる。

練習問題

問 1　定積分 $\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{3} d x$ を求めよ。

方針　1 次式のかたまり $2 x + 1$ を $t$ とおく置換積分法。 $d x$ と積分区間を $t$ のものに直してから積分する。

$2 x + 1 = t$ とおく。両辺を $x$ で微分すると $2 = \frac{d t}{d x}$ なので、 $d x = \frac{1}{2} d t$
積分区間を直す。 $x = 0$ のとき $t = 1$ 、 $x = 1$ のとき $t = 3$

$x$	0 から 1
$t$	1 から 3

置きかえる。 $\int_{0}^{1} (2 x + 1)^{3} d x = \int_{1}^{3} t^{3} \times \frac{1}{2} d t$
積分する。 $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} t^{3} d t = \frac{1}{2} [\frac{t ^{4}}{4}]_{1}^{3}$
$t = 3$ のとき $\frac{81}{4}$ 、 $t = 1$ のとき $\frac{1}{4}$ なので、 $\frac{1}{2} \times (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \times 20 = 10$

ここで間違えやすい　積分区間を 0 から 1 のままにして $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{3} d t$ としてしまう。これは $\frac{1}{8}$ で、別の値になる。

問 2　定積分 $\int_{0}^{3} x x + 1 d x$ を求めよ。

$\frac{116}{15}$

方針　根号ごと $x + 1 = t$ とおくと、根号のない $t$ の多項式になる。 $x$ と $d x$ を $t$ で表し、積分区間を直す。

$x + 1 = t$ とおく。両辺を 2 乗して $x + 1 = t^{2}$ なので、 $x = t^{2} - 1$
$x = t^{2} - 1$ を $t$ で微分すると $\frac{d x}{d t} = 2 t$ なので、 $d x = 2 t d t$
積分区間を直す。 $x = 0$ のとき $t = 1$ で 1、 $x = 3$ のとき $t = 4$ で 2

$x$	0 から 3
$t$	1 から 2

置きかえる。 $x x + 1 d x$ は $(t^{2} - 1) \times t \times 2 t d t$ で、展開すると $(2 t^{4} - 2 t^{2}) d t$
積分する。 $\int_{1}^{2} (2 t^{4} - 2 t^{2}) d t = [\frac{2}{5} t^{5} - \frac{2}{3} t^{3}]_{1}^{2}$
$t = 2$ のとき $\frac{64}{5} - \frac{16}{3}$ 、 $t = 1$ のとき $\frac{2}{5} - \frac{2}{3}$
ひく。 $(\frac{64}{5} - \frac{16}{3}) - (\frac{2}{5} - \frac{2}{3}) = \frac{62}{5} - \frac{14}{3}$
通分する。 $\frac{62}{5} - \frac{14}{3} = \frac{186}{15} - \frac{70}{15} = \frac{116}{15}$

問 3　定積分 $\int_{0}^{1} 4 - x^{2} d x$ を求めよ。

$\frac{π}{3} + \frac{3}{2}$

方針　 $a^{2} - x^{2}$ の形（ $a = 2$ ）なので、 $x = 2 sin θ$ とおく。上端が 2 でなく 1 なので、四分円の面積の公式はそのままでは使えない。置きかえたあとは $cos^{2} θ$ の積分になるので、半角の公式で次数を下げる。

$x = 2 sin θ$ とおく。 $θ$ で微分して $d x = 2 cos θ d θ$
積分区間を直す。 $x = 0$ のとき $sin θ = 0$ で $θ = 0$ 、 $x = 1$ のとき $sin θ = \frac{1}{2}$ で $θ = \frac{π}{6}$

$x$	0 から 1
$θ$	0 から $\frac{π}{6}$

根号を外す。 $4 - 4 sin^{2} θ = 4 cos^{2} θ = 2 ∣ cos θ ∣$ で、 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{6}$ では $cos θ > 0$ なので $2 cos θ$
置きかえる。 $\int_{0}^{1} 4 - x^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 cos θ \times 2 cos θ d θ = \int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 cos^{2} θ d θ$
次数を下げる。 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ なので、 $4 cos^{2} θ = 2 + 2 cos 2 θ$
積分する。 $\int_{0}^{\frac{π}{6}} (2 + 2 cos 2 θ) d θ = [2 θ + sin 2 θ]_{0}^{\frac{π}{6}}$
上端の値は $\frac{π}{3} + sin \frac{π}{3}$ で $\frac{π}{3} + \frac{3}{2}$ 、下端の値は 0。よって $\frac{π}{3} + \frac{3}{2}$

図で確かめると、この定積分は、中心角 $\frac{π}{6}$ のおうぎ形（面積 $\frac{π}{3}$ ）と、底辺 1・高さ $3$ の直角三角形（面積 $\frac{3}{2}$ ）を合わせた図形の面積になっている。

ここで間違えやすい　 $d x$ を $d θ$ に書きかえるだけで、 $2 cos θ$ をかけ忘れる。 $\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2 cos θ d θ$ としてしまうと 1 になり、合わない。

問 4　定積分 $\int_{0}^{3} \frac{1}{x ^{2} + 9} d x$ を求めよ。

$\frac{π}{18}$

方針　 $\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$ の形（ $a = 3$ ）なので、 $x = 3 tan θ$ とおく。 $1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ を使うと、被積分関数が定数になる。

$x = 3 tan θ$ とおく。 $(tan θ)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ なので、 $d x = \frac{3}{c o s ^{2} θ} d θ$
積分区間を直す。 $x = 0$ のとき $tan θ = 0$ で $θ = 0$ 、 $x = 3$ のとき $tan θ = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ で $θ = \frac{π}{6}$

$x$	0 から $3$
$θ$	0 から $\frac{π}{6}$

分母を直す。 $x^{2} + 9 = 9 tan^{2} θ + 9 = 9 (tan^{2} θ + 1) = \frac{9}{c o s ^{2} θ}$
置きかえる。 $\frac{1}{x ^{2} + 9} d x$ は $\frac{c o s ^{2} θ}{9} \times \frac{3}{c o s ^{2} θ} d θ$ で、約分すると $\frac{1}{3} d θ$
積分する。 $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} d θ = [\frac{θ}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}}$ で、 $\frac{π}{6}$ を 3 で割って $\frac{π}{18}$

ここで間違えやすい　 $x = 3$ に対応する角を $\frac{π}{3}$ としてしまう。 $x = 3 tan θ$ なので $tan θ$ は $3$ でなく $\frac{3}{3}$ で、 $θ = \frac{π}{6}$ 。

問 5　定積分 $\int_{- 2}^{2} (x^{3} + 1) 4 - x^{2} d x$ を求めよ。

$2 π$

方針　積分区間が $- 2$ から 2 で原点について対称なので、偶関数・奇関数の性質が使える。展開して奇関数の項と偶関数の項に分ければ、奇関数の項は 0 になり、残りは半円の面積になる。

展開する。 $(x^{3} + 1) 4 - x^{2} = x^{3} 4 - x^{2} + 4 - x^{2}$
$4 - x^{2}$ は、 $x$ を $- x$ にかえても変わらないので偶関数
$x^{3} 4 - x^{2}$ は、奇関数 $x^{3}$ と偶関数 $4 - x^{2}$ の積なので奇関数。よって $\int_{- 2}^{2} x^{3} 4 - x^{2} d x$ は 0
偶関数の項は、 $\int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x = 2 \int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x$
$\int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x$ は半径 2 の四分円の面積で、 $\frac{π \times 2 ^{2}}{4} = π$
よって求める値は、0 と $2 π$ を足して $2 π$

問 6　定積分 $\int_{1}^{e} \frac{( l o g x ) ^{2}}{x} d x$ を求めよ。

$\frac{1}{3}$

方針　 $lo g x$ と、その導関数 $\frac{1}{x}$ が両方入っている。 $lo g x = t$ とおくと、 $\frac{1}{x} d x$ がちょうど $d t$ になる。

$lo g x = t$ とおく。両辺を $x$ で微分すると $\frac{1}{x} = \frac{d t}{d x}$ なので、 $\frac{1}{x} d x = d t$
積分区間を直す。 $x = 1$ のとき $t = lo g 1$ で 0、 $x = e$ のとき $t = lo g e$ で 1

$x$	1 から $e$
$t$	0 から 1

置きかえる。 $\int_{1}^{e} (lo g x)^{2} \times \frac{1}{x} d x = \int_{0}^{1} t^{2} d t$
積分する。 $\int_{0}^{1} t^{2} d t = [\frac{t ^{3}}{3}]_{0}^{1}$ で、 $\frac{1}{3}$

定積分の置換積分法

0. どういうまとまりか

1. 積分区間を直す

2. ax+b=t、ax+b​=t とおく

3. x=asinθ とおく

4. x=atanθ とおく

5. 偶関数と奇関数の定積分

練習問題

2. $a x + b = t$ 、 $a x + b = t$ とおく

3. $x = a sin θ$ とおく

4. $x = a tan θ$ とおく