定積分の部分積分法｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (イ)「置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合について，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、部分積分法を定積分で使うときの計算の進め方と、 $sin^{n} x$ の定積分の漸化式を扱います。

0. どういうまとまりか

積の微分 ${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ の両辺を $a$ から $b$ まで積分すると、定積分の部分積分法の式になります。
不定積分のときとの違いは、 $f (x) g (x)$ の部分が $[f (x) g (x)]_{a}^{b}$ という数になることだけです。

被積分関数	微分する側 $f (x)$	積分する側 $g^{'} (x)$
$x e^{x}$ 、 $x sin x$ 、 $x cos x$	$x$	$e^{x}$ 、 $sin x$ 、 $cos x$
$lo g x$	$lo g x$	1
$x lo g x$ 、 $x^{2} lo g x$	$lo g x$	$x$ 、 $x^{2}$
$x^{2} e^{x}$ 、 $x^{2} sin x$	$x^{2}$ （2 回使う）	$e^{x}$ 、 $sin x$
$e^{x} sin x$ 、 $e^{x} cos x$	どちらでもよい（2 回使って、もとの定積分についての方程式にする）	残りのほう

分かれ目は次の 3 つ。

$[f (x) g (x)]_{a}^{b}$ は先に数にする。ここで上端・下端の値を入れてしまえば、残りは 1 つの定積分だけになる
残りの定積分の前はマイナス。さらに $g (x)$ が $- cos x$ や $- e^{- x}$ のときは、マイナスが 2 つ重なって符号が変わる
$sin^{n} x$ の定積分の漸化式は、 $n$ が 2 ずつ下がる。 $n$ が偶数なら $I_{0}$ 、奇数なら $I_{1}$ に行き着く

1. 定積分の部分積分法

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

積 $f (x) g^{'} (x)$ の定積分を、 $f^{'} (x) g (x)$ の定積分に取りかえる式です。取りかえたあとのほうが積分しやすくなるように、 $f (x)$ と $g^{'} (x)$ を選びます。

定積分の部分積分法の式は？

$\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = [f (x) g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$

$f (x)$ は微分する側、 $g^{'} (x)$ は積分する側。 $g^{'} (x)$ を積分して $g (x)$ を作り、 $f (x) g (x)$ から始める。

定積分の部分積分法で、 $[f (x) g (x)]_{a}^{b}$ の部分はいつ計算するか？

出てきたらすぐ、上端の値から下端の値をひいて数にする

不定積分のように式のまま最後まで持ち歩かない。数にしておけば、あとは $\int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$ だけを計算すればよく、符号の誤りも減る。

2. 1 回で求められる型

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$x$ と $e^{x}$ ・ $sin x$ ・ $cos x$ の積は、 $x$ を微分する側にすると $x$ が消えます。 $lo g x$ を含むときは、 $lo g x$ を微分する側にすると $\frac{1}{x}$ になって積分できます。
次の 4 つは、あとの計算でもよく使う値です。

$\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ の値は？

$x$ を微分する側、 $e^{x}$ を積分する側にする。 $[x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$ で、かっこの部分は $e$ 、残りの定積分は $e - 1$ 。ひいて 1。

$\int_{0}^{π} x sin x d x$ の値は？

$π$

$sin x$ を積分すると $- cos x$ 。 $[- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x$ で、かっこの部分は $π$ 、残りの定積分は 0。残りの定積分の前の符号がプラスになることに注意。

$\int_{1}^{e} lo g x d x$ の値は？

$lo g x$ を $1 \times lo g x$ と見て、 $lo g x$ を微分する側、1 を積分する側にする。 $[x lo g x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 d x$ で、かっこの部分は $e$ 、残りの定積分は $e - 1$ 。

$\int_{1}^{e} x lo g x d x$ の値は？

$\frac{e ^{2} + 1}{4}$

$lo g x$ を微分する側、 $x$ を積分する側にする。 $[\frac{x ^{2}}{2} lo g x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} d x$ で、かっこの部分は $\frac{e ^{2}}{2}$ 、残りの定積分は $\frac{e ^{2} - 1}{4}$ 。

3. 2 回使う型

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

1 回使っても残りの定積分がまだ積の形なら、そこでもう 1 回使います。 $x^{2} e^{x}$ 、 $x^{2} sin x$ のように $x^{2}$ がかかっている型は、1 回使うごとに $x$ の次数が 1 つ下がります。
$e^{x} sin x$ 、 $e^{x} cos x$ の型は、2 回使うともとの定積分が現れます。

定積分 $I = \int_{a}^{b} e^{x} sin x d x$ に部分積分法を 2 回使うと、 $I$ についてどんな形の式ができるか？

$I = A - I$ の形（ $A$ は、2 回分のかっこの部分を計算してまとめた数）。 $2 I = A$ から $I = \frac{A}{2}$

2 回目でもとの定積分 $I$ が現れる。かっこの部分は 2 回ともその場で数にしておく。2 回とも同じ側（たとえば $e^{x}$ ）を積分する側にする。

4. $sin^{n} x$ の定積分の漸化式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ とおくと、 $I_{n}$ と $I_{n - 2}$ の間に関係式（漸化式）ができます。 $n$ は 0 以上の整数で、 $sin^{0} x$ は 1 とします。
導き方は次のとおりです。 $sin^{n} x$ を $sin^{n - 1} x \times sin x$ と分け、 $sin x$ を積分する側にして部分積分法を使います。

I_{n} = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{\frac{π}{2}} + (n - 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x

$n ≧ 2$ のとき、かっこの部分は上端で $cos \frac{π}{2}$ が 0、下端で $sin 0$ が 0 なので 0 です。残りの定積分で $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ とすると、
$I_{n} = (n - 1) (I_{n - 2} - I_{n})$ となり、 $I_{n}$ を左辺に集めて $n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}$ が出ます。

$I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ について、 $I_{n}$ と $I_{n - 2}$ の間に成り立つ漸化式は？

$I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ （ $n ≧ 2$ ）

番号が 2 つ下がるごとに $\frac{n - 1}{n}$ がかかる。 $I_{4}$ なら $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times I_{0}$ 。

$I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ の、 $I_{0}$ と $I_{1}$ の値は？

$I_{0} = \frac{π}{2}$ 、 $I_{1} = 1$

$I_{0}$ は 1 を 0 から $\frac{π}{2}$ まで積分したもの。 $I_{1}$ は $[- cos x]_{0}^{\frac{π}{2}}$ で、0 から $- 1$ をひいて 1。

$I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ を部分積分法で導くとき、 $sin^{n} x$ をどう分け、出てきた $cos^{2} x$ をどうするか？

$sin^{n} x = sin^{n - 1} x \times sin x$ と分けて $sin x$ を積分する側にし、出てきた $cos^{2} x$ を $1 - sin^{2} x$ に直す

すると残りの定積分が $(n - 1) (I_{n - 2} - I_{n})$ になり、右辺にも $I_{n}$ が現れる。これを左辺に移して $n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}$ 。

$I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ の、 $I_{2}$ 、 $I_{3}$ 、 $I_{4}$ 、 $I_{5}$ の値は？

$I_{2} = \frac{π}{4}$ 、 $I_{3} = \frac{2}{3}$ 、 $I_{4} = \frac{3 π}{16}$ 、 $I_{5} = \frac{8}{15}$

$I_{2} = \frac{1}{2} I_{0}$ 、 $I_{3} = \frac{2}{3} I_{1}$ 、 $I_{4} = \frac{3}{4} I_{2}$ 、 $I_{5} = \frac{4}{5} I_{3}$ 。 $n$ が偶数のときは $I_{0}$ に行き着くので $π$ がつき、奇数のときは $I_{1}$ に行き着くので $π$ がつかない。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{n} x d x$ と $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ は等しいか？

等しい

$x = \frac{π}{2} - t$ とおくと、 $cos x = sin t$ 、 $d x = - d t$ で、 $x$ が 0 から $\frac{π}{2}$ まで動くとき $t$ は $\frac{π}{2}$ から 0 まで動く。上端と下端を入れかえると符号が戻る。積分区間が 0 から $\frac{π}{2}$ だから成り立つ性質で、ほかの区間では等しいとは限らない（0 から $\frac{π}{4}$ では等しくない）。

練習問題

問 1　定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x cos x d x$ を求めよ。

$\frac{π}{2} - 1$

方針　 $x$ と三角関数の積なので、 $x$ を微分する側、 $cos x$ を積分する側にして部分積分法を使う。 $x$ を微分すると 1 になり、残りの定積分は $sin x$ だけになる。

$f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = cos x$ とすると、 $f^{'} (x) = 1$ 、 $g (x) = sin x$
部分積分法の式にあてはめる。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x cos x d x = [x sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x$
かっこの部分を数にする。上端は $\frac{π}{2} sin \frac{π}{2}$ で $\frac{π}{2}$ 、下端は 0。よって $\frac{π}{2}$
残りの定積分を計算する。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin x d x = [- cos x]_{0}^{\frac{π}{2}}$ で、上端は 0、下端は $- 1$ なので 1
よって $\frac{π}{2} - 1$

問 2　定積分 $\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ を求めよ。

$1 - \frac{2}{e}$

方針　 $x$ と指数関数の積なので、 $x$ を微分する側、 $e^{- x}$ を積分する側にして部分積分法を使う。 $e^{- x}$ の不定積分は $- e^{- x}$ で、マイナスがつくことに気をつける。

$f (x) = x$ 、 $g^{'} (x) = e^{- x}$ とすると、 $f^{'} (x) = 1$ 、 $g (x) = - e^{- x}$
部分積分法の式にあてはめる。 $\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = [- x e^{- x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (- e^{- x}) d x$
符号を整える。 $\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = [- x e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x$
かっこの部分を数にする。上端は $- e^{- 1}$ で $- \frac{1}{e}$ 、下端は 0。よって $- \frac{1}{e}$
残りの定積分を計算する。 $\int_{0}^{1} e^{- x} d x = [- e^{- x}]_{0}^{1}$ で、上端は $- \frac{1}{e}$ 、下端は $- 1$ なので、 $- \frac{1}{e} + 1$
足す。 $- \frac{1}{e} + (- \frac{1}{e} + 1)$ で、 $1 - \frac{2}{e}$

ここで間違えやすい　手順 2 で、式の「ひく」と $g (x)$ のマイナスが重なって、残りの定積分の前はプラスになる。ここをマイナスのままにすると $- 1$ になるが、被積分関数は 0 以上なので、負の値になるはずがない。

問 3　定積分 $\int_{1}^{e} x^{2} lo g x d x$ を求めよ。

$\frac{2 e ^{3} + 1}{9}$

方針　 $lo g x$ を含む積なので、 $lo g x$ を微分する側、 $x^{2}$ を積分する側にする。 $lo g x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ になり、残りの定積分は $x$ の多項式になる。

$f (x) = lo g x$ 、 $g^{'} (x) = x^{2}$ とすると、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ 、 $g (x) = \frac{x ^{3}}{3}$
部分積分法の式にあてはめる。 $\int_{1}^{e} x^{2} lo g x d x = [\frac{x ^{3}}{3} lo g x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x ^{3}}{3} \times \frac{1}{x} d x$
かっこの部分を数にする。上端は $\frac{e ^{3}}{3} lo g e$ で $\frac{e ^{3}}{3}$ 、下端は $lo g 1$ が 0 なので 0。よって $\frac{e ^{3}}{3}$
残りの定積分を計算する。 $\frac{x ^{3}}{3} \times \frac{1}{x} = \frac{x ^{2}}{3}$ なので、 $\int_{1}^{e} \frac{x ^{2}}{3} d x = [\frac{x ^{3}}{9}]_{1}^{e}$ で、 $\frac{e ^{3} - 1}{9}$
ひく。 $\frac{e ^{3}}{3} - \frac{e ^{3} - 1}{9} = \frac{3 e ^{3} - ( e ^{3} - 1 )}{9}$
分子を整理すると $3 e^{3} - e^{3} + 1$ で $2 e^{3} + 1$ 。よって $\frac{2 e ^{3} + 1}{9}$

問 4　定積分 $\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x$ を求めよ。

$e - 2$

方針　 $x^{2}$ と $e^{x}$ の積なので、 $x^{2}$ を微分する側にして部分積分法を使う。1 回使うと $x^{2}$ が $2 x$ になり、 $x e^{x}$ の定積分が残る。そこでもう 1 回使う。

$f (x) = x^{2}$ 、 $g^{'} (x) = e^{x}$ とすると、 $f^{'} (x) = 2 x$ 、 $g (x) = e^{x}$
1 回目。 $\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x = [x^{2} e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x e^{x} d x$
かっこの部分を数にする。上端は $e$ 、下端は 0。よって $e$
残りの定積分は $2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x$ 。ここで 2 回目を使う。 $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$
かっこの部分は $e$ 。 $\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1}$ で $e - 1$ 。よって $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ は $e - (e - 1)$ で 1
まとめる。 $\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x$ は、 $e$ から $2 \times 1$ をひいて $e - 2$

問 5　定積分 $\int_{0}^{π} e^{x} sin x d x$ を求めよ。

$\frac{e ^{π} + 1}{2}$

方針　 $e^{x}$ と三角関数の積は、部分積分法を 2 回使うと、もとの定積分がもう一度現れる。求める定積分を $I$ とおき、 $I$ についての方程式を作って解く。2 回とも $e^{x}$ を積分する側にする。

$I = \int_{0}^{π} e^{x} sin x d x$ とおく。 $f (x) = sin x$ 、 $g^{'} (x) = e^{x}$ とすると、 $f^{'} (x) = cos x$ 、 $g (x) = e^{x}$
1 回目。 $I = [e^{x} sin x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} e^{x} cos x d x$
$sin π$ も $sin 0$ も 0 なので、かっこの部分は 0。よって $I = - \int_{0}^{π} e^{x} cos x d x$
2 回目。 $f (x) = cos x$ 、 $g^{'} (x) = e^{x}$ とすると、 $f^{'} (x) = - sin x$ なので、 $\int_{0}^{π} e^{x} cos x d x = [e^{x} cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} e^{x} sin x d x$
かっこの部分を数にする。上端は $e^{π} cos π$ で $- e^{π}$ 、下端は $e^{0} cos 0$ で 1。ひいて $- e^{π} - 1$
残りの定積分は $I$ そのものなので、 $\int_{0}^{π} e^{x} cos x d x = - e^{π} - 1 + I$
手順 3 の式に代入する。 $I = - (- e^{π} - 1 + I)$ なので、 $I = e^{π} + 1 - I$
$I$ を左辺に集めて $2 I = e^{π} + 1$ 。よって $I = \frac{e ^{π} + 1}{2}$

ここで間違えやすい　2 回目で積分する側を三角関数に入れかえてしまう。1 回目と逆の向きに使うことになり、「 $I = I$ 」に戻るだけで何も求まらない。

問 6　定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} x cos^{2} x d x$ を求めよ。

$\frac{π}{32}$

方針　 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ で $sin x$ だけの式に直すと、 $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n} x d x$ の差で表せる。あとは漸化式 $I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ で $I_{4}$ と $I_{6}$ を求める。

$sin^{4} x cos^{2} x = sin^{4} x (1 - sin^{2} x) = sin^{4} x - sin^{6} x$
よって求める定積分は $I_{4} - I_{6}$
$I_{0} = \frac{π}{2}$ から始める。 $I_{2} = \frac{1}{2} I_{0}$ なので、 $I_{2} = \frac{π}{4}$
$I_{4} = \frac{3}{4} I_{2}$ なので、 $I_{4} = \frac{3 π}{16}$
$I_{6} = \frac{5}{6} I_{4}$ なので、 $I_{6} = \frac{5}{6} \times \frac{3 π}{16}$ で、約分して $\frac{5 π}{32}$
通分してひく。 $I_{4}$ は $\frac{6 π}{32}$ なので、 $\frac{6 π}{32} - \frac{5 π}{32}$ で $\frac{π}{32}$

定積分の部分積分法

0. どういうまとまりか

1. 定積分の部分積分法

2. 1 回で求められる型

3. 2 回使う型

4. sinnx の定積分の漸化式

練習問題

4. $sin^{n} x$ の定積分の漸化式