定積分で表された関数

$F^{\prime }(x)=(4x-1)\log x$

方針　上端も下端も $x$ の式なので、$f(g(x))g^{\prime }(x)-f(h(x))h^{\prime }(x)$ を使う。上端 $x^2$ の導関数 $2x$ をかけ忘れないこと。積分を先に計算する必要はない。

1. 被積分関数は $f(t)=\log t$、上端は $g(x)=x^2$、下端は $h(x)=x$
2. 上端の分は $f(x^2)\times (x^2{)}^{\prime }$ で、$\log x^2\times 2x$
3. 下端の分は $f(x)\times (x{)}^{\prime }$ で、$\log x\times 1$
4. よって $F^{\prime }(x)=2x\log x^2-\log x$
5. $x>0$ なので $\log x^2=2\log x$。代入して $F^{\prime }(x)=4x\log x-\log x$
6. $\log x$ でくくって、$F^{\prime }(x)=(4x-1)\log x$

$f(x)=2e^{2x}$、$a=\log 3$

方針　$f(x)$ は両辺を $x$ で微分して求める。定数 $a$ は、$x=a$ を代入すると左辺が 0 になることから求める。

1. 両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$、右辺は $(e^{2x}-9{)}^{\prime }$ で $2e^{2x}$。よって $f(x)=2e^{2x}$
2. もとの等式に $x=a$ を代入する。左辺は ${\int }_a^{a}f(t)dt$ で 0 なので、$0=e^{2a}-9$
3. よって $e^{2a}=9$、すなわち $(e^a{)}^2=9$
4. $e^a>0$ なので $e^a=3$。よって $a=\log 3$

$F^{\prime }(x)=\sin x$

方針　被積分関数に $x$ が入っているので、そのまま $t$ を $x$ にかえてはいけない（そうすると $(x-x)\cos x$ で 0 になってしまう）。$x$ を積分の外に出してから、積の微分法を使う。

1. 被積分関数を展開する。$(x-t)\cos t=x\cos t-t\cos t$
2. $x$ を外に出す。$F(x)=x{\int }_0^x\cos tdt-{\int }_0^{x}t\cos tdt$
3. 1 つ目の項を積の微分法で微分する。$x$ の導関数は 1、${\int }_0^x\cos tdt$ の導関数は $\cos x$ なので、${\int }_0^x\cos tdt+x\cos x$
4. 2 つ目の項を微分すると、$x\cos x$
5. ひく。$F^{\prime }(x)={\int }_0^x\cos tdt+x\cos x-x\cos x$ で、$F^{\prime }(x)={\int }_0^x\cos tdt$
6. 残った定積分を計算する。${\int }_0^x\cos tdt=[\sin t{]}_0^x$ で、$\sin x$

$f(x)=e^x+2$

方針　${\int }_0^{1}tf(t)dt$ は上端も下端も定数なので、ただの数。これを $k$ とおくと $f(x)=e^x+k$ と形が決まるので、$k$ の定義の式に代入して $k$ を求める。

1. ${\int }_0^{1}tf(t)dt=k$ とおくと、$f(x)=e^x+k$
2. $f(t)=e^t+k$ を $k$ の定義の式に代入する。$k={\int }_0^{1}t(e^t+k)dt$
3. 分ける。$k={\int }_0^{1}t{e}^{t}dt+k{\int }_0^{1}tdt$
4. ${\int }_0^{1}t{e}^{t}dt$ を部分積分法で計算する。$[t{e}^t{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{t}dt$ で、かっこの部分は $e$、残りは $e-1$ なので、1
5. ${\int }_0^{1}tdt=[\frac{t^2}{2}{]}_0^1$ で、$\frac{1}{2}$
6. よって $k=1+\frac{k}{2}$
7. $\frac{k}{2}=1$ から $k=2$。よって $f(x)=e^x+2$

$x=1$ で極小値 $2-e$（極大値はない）

方針　$F^{\prime }(x)$ は被積分関数の $t$ を $x$ にかえた $(x-1)e^x$ なので、その符号で増減を調べる。極値は、極値をとる $x$ を上端に入れた定積分を部分積分法で計算する。

1. 微分する。$F^{\prime }(x)=(x-1)e^x$
2. $e^x>0$ なので、$F^{\prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と同じ。$F^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1$ だけ
3. $x<1$ で $F^{\prime }(x)<0$、$x>1$ で $F^{\prime }(x)>0$。減少から増加に変わるので、$x=1$ で極小になる。ほかに符号が変わるところはないので、極大値はない

4. 極小値は $F(1)={\int }_0^1(t-1)e^{t}dt$。$t-1$ を微分する側、$e^t$ を積分する側にして部分積分法を使うと、$[(t-1)e^t{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{t}dt$
5. かっこの部分は、上端が 0、下端が $-1$ なので、0 から $-1$ をひいて 1
6. ${\int }_0^1{e}^{t}dt$ は $e-1$
7. よって $F(1)$ は、1 から $e-1$ をひいて $2-e$

$f(x)=e^x$

方針　被積分関数に $x$ が入っているので、$x$ を積分の外に出してから両辺を微分する。1 回微分してもまだ定積分が残るので、もう 1 回微分する。

1. 左辺の $x$ を外に出す。$x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt=e^x-x-1$
2. 左辺を $x$ で微分する。${\int }_0^{x}f(t)dt+xf(x)-xf(x)$ で、${\int }_0^{x}f(t)dt$
3. 右辺を $x$ で微分すると $e^x-1$。よって ${\int }_0^{x}f(t)dt=e^x-1$
4. もう 1 回、両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$、右辺は $e^x$。よって $f(x)=e^x$
5. 微分して得た式は必要条件（微分すると定数の分の情報が落ちる）なので、もとの等式を満たすことを確かめる。$f(t)=e^t$ のとき、部分積分法で ${\int }_0^x(x-t)e^{t}dt=[(x-t)e^t{]}_0^x+{\int }_0^x{e}^{t}dt$
6. かっこの部分は、上端が 0、下端が $x$ なので $-x$。${\int }_0^x{e}^{t}dt$ は $e^x-1$。足すと $e^x-x-1$ で、もとの等式の右辺と一致する