区分求積法

$\frac{1}{3}$

方針　分子は $k^2$ の和。$\frac{1}{n}$ を 1 つくくり出すと、残りは $\frac{k^2}{n^2}$、つまり $\frac{k}{n}$ の 2 乗になる。

1. 和の記号で書く。$\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}={\sum }_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}$
2. $\frac{1}{n}$ をくくり出す。$\frac{k^2}{n^3}=\frac{1}{n}\times \frac{k^2}{n^2}$ なので、$\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$
3. $f(x)=x^2$ とすると区分求積法の形なので、極限は ${\int }_0^1{x}^{2}dx$
4. 積分する。${\int }_0^1{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^1$ で、$\frac{1}{3}$

$\log \frac{3}{2}$

方針　分母と分子を $n$ で割って $\frac{1}{n}$ をくくり出すと、残りが $\frac{k}{n}$ の式になる。$k$ は 1 から $n$ まで動くので、積分区間は 0 から 1。

1. 分母と分子を $n$ で割る。$\frac{1}{2n+k}=\frac{1}{n}\times \frac{1}{2+\frac{k}{n}}$
2. よって ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{2n+k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{2+\frac{k}{n}}$
3. $f(x)=\frac{1}{2+x}$ とすると区分求積法の形なので、極限は ${\int }_0^1\frac{1}{2+x}dx$
4. 積分する。$0\leqq x\leqq 1$ で $2+x>0$ なので、${\int }_0^1\frac{1}{2+x}dx=[\log (2+x){]}_0^1$
5. 上端は $\log 3$、下端は $\log 2$。ひいて $\log 3-\log 2$ で、$\log \frac{3}{2}$

$\frac{2}{3}$

方針　$\frac{1}{n\sqrt{n}}$ を $\frac{1}{n}\times \frac{1}{\sqrt{n}}$ と分け、$\frac{1}{\sqrt{n}}$ を和の中に入れると $\sqrt{\frac{k}{n}}$ ができる。

1. 和の記号で書く。$\frac{1}{n\sqrt{n}}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}$
2. $\frac{1}{\sqrt{n}}$ を和の中に入れる。$\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{k}{n}}$ なので、$\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$
3. $f(x)=\sqrt{x}$ とすると区分求積法の形なので、極限は ${\int }_0^1\sqrt{x}dx$
4. $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ の不定積分は $\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$。よって ${\int }_0^1\sqrt{x}dx=[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{]}_0^1$ で、$\frac{2}{3}$

$\log 3$

方針　式の変形は ${\sum }_{k=1}^n$ のときと同じ。違うのは和の範囲で、$k$ が 1 から $2n$ まで動くので $\frac{k}{n}$ は 0 から 2 まで動く。積分区間が 0 から 2 になる。

1. 分母と分子を $n$ で割る。$\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\times \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$
2. よって ${\sum }_{k=1}^{2n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{2n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$
3. $k$ が 1 から $2n$ まで動くとき、$\frac{k}{n}$ は $\frac{1}{n}$ から 2 まで動く。よって極限は ${\int }_0^2\frac{1}{1+x}dx$
4. 積分する。${\int }_0^2\frac{1}{1+x}dx=[\log (1+x){]}_0^2$
5. 上端は $\log 3$、下端は $\log 1$ で 0。よって $\log 3$

ここで間違えやすい　積分区間を 0 から 1 のままにして $\log 2$ と答えてしまう。項の数が $2n$ 個あるので、長方形は区間 $0\leqq x\leqq 2$ に並んでいる。

$\frac{\pi }{6}$

方針　根号の中を $n^2$ でくくって $n$ を外に出すと、$\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の式に分かれる。直したあとの定積分は $\sqrt{4-x^2}$ を含むので、$x=2\sin \theta$ とおく置換積分法で計算する。

1. 根号の中を $n^2$ でくくる。$4n^2-k^2=n^2\left\{4-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\right\}$
2. $n>0$ なので $\sqrt{n^2}=n$。よって $\frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}}=\frac{1}{n}\times \frac{1}{\sqrt{4-{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}}$
3. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ とすると区分求積法の形なので、極限は ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$
4. $x=2\sin \theta$ とおく。$dx=2\cos \theta d\theta$ で、$x=0$ のとき $\theta =0$、$x=1$ のとき $\sin \theta =\frac{1}{2}$ から $\theta =\frac{\pi }{6}$

5. $0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{6}$ では $\cos \theta >0$ なので、$\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4{\cos }^2\theta }=2\cos \theta$
6. 置きかえる。$\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$ は $\frac{1}{2\cos \theta }\times 2\cos \theta d\theta$ で、$d\theta$ だけが残る
7. 積分する。${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}d\theta =[\theta {]}_0^{\frac{\pi }{6}}$ で、$\frac{\pi }{6}$

$2\log 2-1$

方針　すでに区分求積法の形で、$f(x)=\log (1+x)$。定積分 ${\int }_0^1\log (1+x)dx$ は部分積分法で計算する。積分する側の 1 の不定積分を $x$ でなく $1+x$ にとると、残りの定積分が約分できて楽になる。

1. $f(x)=\log (1+x)$ とすると、極限は ${\int }_0^1\log (1+x)dx$
2. $\log (1+x)$ を微分する側、1 を積分する側にする。$\{\log (1+x){\}}^{\prime }=\frac{1}{1+x}$ で、1 の不定積分として $1+x$ をとる（$1+x$ を微分すると 1 になる）
3. 部分積分法の式にあてはめる。${\int }_0^1\log (1+x)dx=[(1+x)\log (1+x){]}_0^1-{\int }_0^1(1+x)\times \frac{1}{1+x}dx$
4. かっこの部分を数にする。上端は $2\log 2$、下端は $1\times \log 1$ で 0。よって $2\log 2$
5. 残りの定積分は、約分して ${\int }_0^{1}1dx$ で、1
6. よって $2\log 2-1$

この結果を使うと、$\frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}$ の極限も求められる。この式の対数をとると問 6 の和になるので、対数の極限が $2\log 2-1$、つまり $\log \frac{4}{e}$ で、もとの式の極限は $\frac{4}{e}$。