定積分と不等式｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (ア)「不定積分及び定積分の基本的な性質についての理解を深め，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、関数の大小が定積分の大小に移るという性質と、それを使って定積分や和の値を不等式ではさむことを扱います。

0. どういうまとまりか

区間 $a ≦ x ≦ b$ で $f (x) ≧ g (x)$ なら、 $y = f (x)$ のグラフは $y = g (x)$ のグラフより上にあるので、定積分も $f (x)$ のほうが大きくなります。
この性質を使うと、不定積分が求められない関数でも、定積分の値を上下からはさむことができます。
また、 $\frac{1}{x}$ のような減少関数では、幅 1 の長方形の面積と曲線の下の面積を比べることで、和 $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ を定積分ではさめます。

使う性質	式（ $a < b$ 、関数は連続）
関数の大小と定積分の大小	$f (x) ≧ g (x)$ なら $\int_{a}^{b} f (x) d x ≧ \int_{a}^{b} g (x) d x$
定数ではさむ	$m ≦ f (x) ≦ M$ なら $m (b - a) ≦ \int_{a}^{b} f (x) d x ≦ M (b - a)$
減少関数と長方形	$f (k + 1) < \int_{k}^{k + 1} f (x) d x < f (k)$
絶対値	$\int_{a}^{b} f (x) d x ≦ \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$

分かれ目は次の 3 つ。

$a < b$ が前提。上端のほうが小さい定積分では、不等号の向きが逆になる
等号が成り立つのは、区間でいつも $f (x) = g (x)$ のときだけ。1 点でも $f (x) > g (x)$ となるところがあれば（連続関数なら）定積分は等号なしの不等式になる
和をはさむときは、足し合わせる $k$ の範囲。上からはさむ式と下からはさむ式で、足す範囲が 1 つずれる

1. 関数の大小と定積分の大小

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

$f (x)$ 、 $g (x)$ は区間 $a ≦ x ≦ b$ で連続な関数とし、 $a < b$ とします。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で常に $f (x) ≧ g (x)$ のとき、 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ と $\int_{a}^{b} g (x) d x$ の大小は？（ $a < b$ ）

$\int_{a}^{b} f (x) d x ≧ \int_{a}^{b} g (x) d x$

$f (x) - g (x) ≧ 0$ の定積分が 0 以上になることから出る。関数の不等式を、そのまま $a$ から $b$ まで積分してよい。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で $f (x) ≧ g (x)$ のとき、 $\int_{a}^{b} f (x) d x ≧ \int_{a}^{b} g (x) d x$ の等号が成り立つのはどんなときか？（ $f (x)$ 、 $g (x)$ は連続、 $a < b$ ）

区間で常に $f (x) = g (x)$ のときだけ

区間のどこか 1 点でも $f (x) > g (x)$ なら、 $\int_{a}^{b} f (x) d x > \int_{a}^{b} g (x) d x$ と等号が外れる。端の 1 点だけで等しくても、定積分は等しくならない。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で $f (x) ≧ 0$ のとき、 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ の符号は？（ $a < b$ ）

$\int_{a}^{b} f (x) d x ≧ 0$

等号は、常に $f (x) = 0$ のときだけ。 $f (x) ≧ 0$ で、0 でないところが少しでもあれば、定積分は正。

$f (x) ≧ g (x)$ から $\int_{a}^{b} f (x) d x ≧ \int_{a}^{b} g (x) d x$ が言えるための、上端と下端の条件は？

$a < b$ （下端のほうが小さい）

$a > b$ のときは、上端と下端を入れかえると符号が変わるので、不等号の向きが逆になる。

2. 定積分の値をはさむ

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

$\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x$ のように、不定積分が高校で学ぶ関数では表せないものがあります。そのときは、積分できる関数で被積分関数をはさみます。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で $m ≦ f (x) ≦ M$ （ $m$ 、 $M$ は定数）のとき、 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ はどうはさめるか？（ $a < b$ ）

$m (b - a) ≦ \int_{a}^{b} f (x) d x ≦ M (b - a)$

定数 $m$ を $a$ から $b$ まで積分すると $m (b - a)$ 。高さ $m$ と高さ $M$ の長方形の面積ではさんでいる。

定積分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ の値を、積分を計算せずに不等式で評価するには、どうするか？（手順）

区間 $a ≦ x ≦ b$ で $g (x) ≦ f (x) ≦ h (x)$ となる、積分できる関数 $g (x)$ 、 $h (x)$ を見つけ、各辺を $a$ から $b$ まで積分する

等号が区間で常には成り立たないことを言えば、 $\int_{a}^{b} g (x) d x < \int_{a}^{b} f (x) d x < \int_{a}^{b} h (x) d x$ と等号を外せる。

3. 和と定積分を比べる

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

$y = \frac{1}{x}$ は $x > 0$ で減少します。区間 $k ≦ x ≦ k + 1$ （幅 1）の上で、曲線の下の面積は、高さ $\frac{1}{k}$ の長方形より小さく、高さ $\frac{1}{k + 1}$ の長方形より大きくなります。
この不等式を $k$ について足し合わせると、和と定積分が比べられます。

自然数 $k$ について、 $\int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x$ を $\frac{1}{k}$ と $\frac{1}{k + 1}$ ではさむと？

$\frac{1}{k + 1} < \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x < \frac{1}{k}$

$k ≦ x ≦ k + 1$ で $\frac{1}{k + 1} ≦ \frac{1}{x} ≦ \frac{1}{k}$ 。等号は端の 1 点だけなので、積分すると等号が外れる。区間の幅が 1 なので、両端はそのまま長方形の面積。

$\int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x < \frac{1}{k}$ を $k = 1$ から $n$ まで足し合わせると、どんな不等式になるか？

$lo g (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

左辺の和は、区間がつながって $\int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x$ になる。これを計算すると $lo g (n + 1)$ 。

$\frac{1}{k + 1} < \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x$ を使って、 $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ を上からおさえると？（ $n ≧ 2$ ）

$1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} < 1 + lo g n$

$k = 1$ から $n - 1$ まで足すと、 $\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} < \int_{1}^{n} \frac{1}{x} d x$ で、右辺は $lo g n$ 。最初の 1 だけは別にして、あとで両辺に足す。

$n \to \infty$ のとき、 $1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ は収束するか、発散するか？

正の無限大に発散する

$lo g (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ で、 $lo g (n + 1)$ が正の無限大に発散するから。項 $\frac{1}{n}$ は 0 に収束するのに、和は発散する例。

$x ≧ 1$ で減少する連続関数 $f (x)$ と自然数 $k$ について、 $\int_{k}^{k + 1} f (x) d x$ を $f (k)$ と $f (k + 1)$ ではさむと？

$f (k + 1) < \int_{k}^{k + 1} f (x) d x < f (k)$

区間 $k ≦ x ≦ k + 1$ で $f (k + 1) ≦ f (x) ≦ f (k)$ 。幅が 1 なので、両端は長方形の面積。増加する関数なら不等号の向きが逆になる。

4. 絶対値と定積分

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

$f (x)$ が正にも負にもなるとき、定積分では正の部分と負の部分が打ち消し合います。絶対値をつけてから積分すれば打ち消しが起きないので、そのほうが大きくなります。

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ と $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ の大小は？（ $a < b$ ）

$\int_{a}^{b} f (x) d x ≦ \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$

絶対値は、積分の中に入れると大きくなる（または変わらない）。 $\int_{0}^{π} cos x d x$ は 0 だが、 $\int_{0}^{π} ∣ cos x ∣ d x$ は 2。

$\int_{a}^{b} f (x) d x ≦ \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ は、どんな不等式を積分すると出るか？

$- ∣ f (x)∣ ≦ f (x) ≦ ∣ f (x)∣$

各辺を $a$ から $b$ まで積分すると、 $- \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x ≦ \int_{a}^{b} f (x) d x ≦ \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ 。これは絶対値の不等式と同じこと。

練習問題

問 1　 $0 ≦ x ≦ 1$ のとき $1 ≦ 1 + x^{3} ≦ 1 + \frac{x ^{3}}{2}$ が成り立つことを示し、これを用いて $1 < \int_{0}^{1} 1 + x^{3} d x < \frac{9}{8}$ を示せ。

各辺を 2 乗して大小を比べ、各辺を 0 から 1 まで積分する（左端は 1、右端は $\frac{9}{8}$ になる）

方針　前半は、3 つの辺がどれも正なので、2 乗して比べればよい。後半は、関数の大小が定積分の大小に移ることを使う。等号が成り立つのは $x = 0$ のときだけなので、積分すると等号が外れる。

3 つの辺を 2 乗すると、 $1$ 、 $1 + x^{3}$ 、 $(1 + \frac{x ^{3}}{2})^{2}$
右端を展開する。 $(1 + \frac{x ^{3}}{2})^{2} = 1 + x^{3} + \frac{x ^{6}}{4}$
$0 ≦ x ≦ 1$ で $x^{3} ≧ 0$ 、 $\frac{x ^{6}}{4} ≧ 0$ なので、 $1 ≦ 1 + x^{3} ≦ 1 + x^{3} + \frac{x ^{6}}{4}$
3 つの辺はもとの式でどれも正だから、2 乗の大小がそのまま成り立ち、 $1 ≦ 1 + x^{3} ≦ 1 + \frac{x ^{3}}{2}$ 。等号はどちらも $x = 0$ のときだけ
各辺を 0 から 1 まで積分する。等号は常には成り立たないので、 $\int_{0}^{1} 1 d x < \int_{0}^{1} 1 + x^{3} d x < \int_{0}^{1} (1 + \frac{x ^{3}}{2}) d x$
左端は 1
右端は $[x + \frac{x ^{4}}{8}]_{0}^{1}$ で、 $1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$
よって $1 < \int_{0}^{1} 1 + x^{3} d x < \frac{9}{8}$

問 2　 $0 ≦ x ≦ 1$ のとき $\frac{1}{1 + x} ≦ \frac{1}{1 + x ^{2}} ≦ 1$ が成り立つことを用いて、 $lo g 2 < \frac{π}{4} < 1$ を示せ。

各辺を 0 から 1 まで積分すると、左から順に $lo g 2$ 、 $\frac{π}{4}$ 、1 になる

方針　真ん中の $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ を 0 から 1 まで積分すると $\frac{π}{4}$ になる。両側の関数も積分できるので、各辺を積分すれば示したい不等式が出る。等号が常には成り立たないことを言って、等号を外す。

与えられた不等式を確かめる。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $0 ≦ x^{2} ≦ x$ なので、 $1 ≦ 1 + x^{2} ≦ 1 + x$ 。逆数をとると大小が入れかわり、 $\frac{1}{1 + x} ≦ \frac{1}{1 + x ^{2}} ≦ 1$
左の等号は $x = 0$ 、 $1$ のときだけ、右の等号は $x = 0$ のときだけで、常には成り立たない
各辺を 0 から 1 まで積分する。 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x} d x < \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x < \int_{0}^{1} 1 d x$
左端は $[lo g (1 + x)]_{0}^{1}$ で、 $lo g 2$
真ん中は $x = tan θ$ とおく。 $d x = \frac{1}{c o s ^{2} θ} d θ$ 、 $1 + x^{2} = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$ で、 $x$ が 0 から 1 まで動くとき $θ$ は 0 から $\frac{π}{4}$ まで動く
よって真ん中は $\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$ で、 $\frac{π}{4}$
右端は 1
よって $lo g 2 < \frac{π}{4} < 1$

問 3　すべての実数 $t$ について $e^{t} ≧ 1 + t$ （等号は $t = 0$ のときだけ）が成り立つ。これを用いて、 $\frac{2}{3} < \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x < \frac{π}{4}$ を示せ。

$1 - x^{2} ≦ e^{- x^{2}} ≦ \frac{1}{1 + x ^{2}}$ を作り、各辺を 0 から 1 まで積分する

方針　 $e^{- x^{2}}$ は不定積分が求められないので、積分できる関数ではさむ。与えられた不等式の $t$ に $- x^{2}$ を入れると下からの評価が、 $x^{2}$ を入れて逆数をとると上からの評価が出る。

$t = - x^{2}$ とすると、 $e^{- x^{2}} ≧ 1 - x^{2}$
$t = x^{2}$ とすると、 $e^{x^{2}} ≧ 1 + x^{2}$ 。両辺とも正なので逆数をとると大小が入れかわり、 $e^{- x^{2}} ≦ \frac{1}{1 + x ^{2}}$
合わせて $1 - x^{2} ≦ e^{- x^{2}} ≦ \frac{1}{1 + x ^{2}}$ 。等号はどちらも $x = 0$ のときだけ
各辺を 0 から 1 まで積分する。等号は常には成り立たないので、 $\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x < \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x < \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$
左端は $[x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1}$ で、 $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
右端は $x = tan θ$ とおくと $\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$ になり、 $\frac{π}{4}$
よって $\frac{2}{3} < \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x < \frac{π}{4}$

問 4　 $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ （ $n$ は自然数）とする。 $lim_{n \to \infty} I_{n}$ を求めよ。

方針　 $I_{n}$ を $n$ の式で表すのは難しいので、はさみうちの原理を使う。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $e^{x}$ が 1 以上 $e$ 以下なので、 $x^{n} e^{x}$ を $x^{n}$ の定数倍ではさめる。 $x^{n}$ なら積分できる。

$0 ≦ x ≦ 1$ のとき、 $e^{x}$ は増加関数なので $1 ≦ e^{x} ≦ e$
各辺に $x^{n}$ （0 以上）をかける。 $x^{n} ≦ x^{n} e^{x} ≦ e x^{n}$
各辺を 0 から 1 まで積分する。 $\int_{0}^{1} x^{n} d x ≦ I_{n} ≦ e \int_{0}^{1} x^{n} d x$
$\int_{0}^{1} x^{n} d x = [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$ で、 $\frac{1}{n + 1}$
よって $\frac{1}{n + 1} ≦ I_{n} ≦ \frac{e}{n + 1}$
$n \to \infty$ のとき、 $\frac{1}{n + 1}$ も $\frac{e}{n + 1}$ も 0 に収束する。はさみうちの原理により、 $lim_{n \to \infty} I_{n} = 0$

問 5　自然数 $k$ について $\frac{1}{k + 1} < \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x < \frac{1}{k}$ が成り立つことを示し、これを用いて $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{100}$ の整数部分を求めよ。

方針　 $\frac{1}{x}$ は減少関数なので、幅 1 の区間で長方形の面積と比べられる。右側の不等式を $k = 1$ から 100 まで足すと $S$ を下からおさえる式が、左側の不等式を $k = 1$ から 99 まで足すと $S$ を上からおさえる式が出る。

$k ≦ x ≦ k + 1$ のとき、 $k ≦ x ≦ k + 1$ なので、逆数をとって $\frac{1}{k + 1} ≦ \frac{1}{x} ≦ \frac{1}{k}$
等号は端の 1 点だけなので、各辺を $k$ から $k + 1$ まで積分すると、 $\frac{1}{k + 1} < \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x < \frac{1}{k}$ （区間の幅が 1 なので、両端は定数のまま）
下からおさえる。右側の不等式を $k = 1$ から 100 まで足すと、 $\int_{1}^{101} \frac{1}{x} d x < S$
$\frac{1}{x}$ の不定積分は $2 x$ なので、 $\int_{1}^{101} \frac{1}{x} d x = [2 x]_{1}^{101}$ で、 $2101 - 2$
$101 > 10$ なので、 $2101 - 2 > 18$ 。よって $S > 18$
上からおさえる。左側の不等式を $k = 1$ から 99 まで足すと、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{100} < \int_{1}^{100} \frac{1}{x} d x$
左辺は $S - 1$ 。右辺は $[2 x]_{1}^{100}$ で、 $100$ が 10 なので $2 \times (10 - 1) = 18$
よって $S - 1 < 18$ 、すなわち $S < 19$
$18 < S < 19$ なので、整数部分は 18

ここで間違えやすい　上からおさえるとき、左側の不等式を $k = 0$ から足そうとしてしまう。 $\frac{1}{x}$ は $x = 0$ で定義されないので、 $k = 1$ から始めて、最初の項 1 は別に足す。

問 6　 $n$ を 2 以上の自然数とするとき、 $\int_{1}^{n} \frac{s i n x}{x ^{2}} d x < 1$ を示せ。

絶対値を積分の中に入れ、 $∣ sin x ∣ ≦ 1$ を使って $\int_{1}^{n} \frac{1}{x ^{2}} d x$ （値は $1 - \frac{1}{n}$ ）でおさえる

方針　 $\frac{s i n x}{x ^{2}}$ は不定積分が求められない。絶対値を積分の中に入れる不等式を使えば、 $∣ sin x ∣ ≦ 1$ で分子を 1 におきかえられ、積分できる $\frac{1}{x ^{2}}$ が残る。

絶対値を中に入れる。 $\int_{1}^{n} \frac{s i n x}{x ^{2}} d x ≦ \int_{1}^{n} \frac{∣ s i n x ∣}{x ^{2}} d x$
$∣ sin x ∣ ≦ 1$ で $x^{2} > 0$ なので、 $\frac{∣ s i n x ∣}{x ^{2}} ≦ \frac{1}{x ^{2}}$
各辺を 1 から $n$ まで積分する。 $\int_{1}^{n} \frac{∣ s i n x ∣}{x ^{2}} d x ≦ \int_{1}^{n} \frac{1}{x ^{2}} d x$
$\frac{1}{x ^{2}}$ の不定積分は $- \frac{1}{x}$ なので、 $\int_{1}^{n} \frac{1}{x ^{2}} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{n}$
上端は $- \frac{1}{n}$ 、下端は $- 1$ 。ひいて $1 - \frac{1}{n}$
$\frac{1}{n} > 0$ なので $1 - \frac{1}{n} < 1$ 。よって $\int_{1}^{n} \frac{s i n x}{x ^{2}} d x < 1$