いろいろな曲線と面積｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (ウ)「定積分を利用して，いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを求めること。」。このノートは、三角関数・指数関数・対数関数・無理関数のグラフや、媒介変数で表された曲線で囲まれた図形の面積を扱います。

0. どういうまとまりか

面積の求め方そのものは数学Ⅱと同じで、（上の曲線） $-$ （下の曲線）を、端から端まで積分するだけです。
数学Ⅲで増えるのは曲線の種類と、 $y$ で積分する見方、媒介変数で表された曲線です。図がかけなくても、どちらが上かとどこからどこまでかの 2 つを式で決めれば面積は出ます。

図形	面積 $S$
曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸、2 直線 $x = a$ 、 $x = b$	$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$
2 曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ と 2 直線 $x = a$ 、 $x = b$	$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x)∣ d x$ （上 $-$ 下）
曲線 $x = g (y)$ と $y$ 軸、2 直線 $y = c$ 、 $y = d$	$S = \int_{c}^{d} ∣ g (y)∣ d y$ （右 $-$ 左）
媒介変数で表された曲線 $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ と $x$ 軸（ $y ≧ 0$ で、 $x$ が $a$ から $b$ まで増加する）	$S = \int_{a}^{b} y d x = \int_{α}^{β} y \frac{d x}{d t} d t$

分かれ目は次の 3 つ。

絶対値をつけたまま積分はできない。符号が変わる（上下が入れかわる）ところで区間を分け、区間ごとに絶対値を外す
$x$ で積分するか $y$ で積分するか。 $x = g (y)$ の形にしやすく、境界が $y$ 軸や $y = c$ のときは $y$ で積分すると区間を分けずにすむ
媒介変数で表された曲線では、 $d x$ を $\frac{d x}{d t} d t$ に置きかえ、積分区間も $t$ の値に直す

1. 曲線と x 軸の間の面積

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

定積分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ は、 $x$ 軸より下の部分を負の値として数えます。面積は負にならないので、下にある部分は符号を反転してから足します。

$a < b$ とする。曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸、2 直線 $x = a$ 、 $x = b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は？

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$

$f (x) ≧ 0$ の区間では $f (x)$ を、 $f (x) ≦ 0$ の区間では $- f (x)$ を積分する。

面積 $\int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x$ を計算するとき、 $f (x)$ の符号が区間の途中で変わるならどうするか？

$f (x) = 0$ となる $x$ で積分区間を分け、 $f (x) ≧ 0$ の区間は $f (x)$ 、 $f (x) ≦ 0$ の区間は $- f (x)$ を積分して足す

$y = sin x$ （ $0 ≦ x ≦ 2 π$ ）と $x$ 軸なら、 $x = π$ で分けて $\int_{0}^{π} sin x d x + \int_{π}^{2 π} (- sin x) d x = 4$ 。分けずに積分すると 0 になる。

曲線 $y = sin x$ （ $0 ≦ x ≦ π$ ）と $x$ 軸で囲まれた図形の面積は？

この区間で $sin x ≧ 0$ なので、 $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = 1 + 1 = 2$ 。

2. 2 曲線の間の面積

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

2 つの曲線で囲まれた図形は、共有点から共有点までの間にあります。まず共有点の $x$ 座標を求め、その間でどちらが上にあるかを調べます。

区間 $a ≦ x ≦ b$ で常に $f (x) ≧ g (x)$ のとき、2 曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ と 2 直線 $x = a$ 、 $x = b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は？

$S = \int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} d x$ （上の曲線 $-$ 下の曲線）

2 曲線が $x$ 軸の上にあっても下にあっても、またいでいても、この式のまま使える。

2 曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ だけで囲まれた図形の面積を求めるとき、積分区間の両端はどう決めるか？

方程式 $f (x) = g (x)$ を解いて、共有点の $x$ 座標を求める。となり合う共有点の間が積分区間になる

共有点が 3 つ以上あれば、囲まれた図形は 2 つ以上ある。

2 曲線 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ の上下が積分区間の途中で入れかわるとき、面積はどう求めるか？

共有点の $x$ 座標で区間を分け、区間ごとに（上 $-$ 下）を積分して足す

式で書けば $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x)∣ d x$ 。上下は、区間の中の $x$ を 1 つ代入して比べれば分かる。

2 曲線 $y = sin x$ 、 $y = cos x$ （ $0 ≦ x ≦ 2 π$ ）で囲まれた図形の面積は？

$22$

共有点は $x = \frac{π}{4}$ 、 $\frac{5 π}{4}$ 。その間では $sin x ≧ cos x$ なので、 $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} (sin x - cos x) d x = [- cos x - sin x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} = 2 + 2$ 。

曲線 $y = f (x)$ とその接線の間の面積を求めるとき、（曲線 $-$ 接線）と（接線 $-$ 曲線）のどちらを積分するかは、何で決まるか？

積分区間での曲線の凹凸で決まる。下に凸なら（曲線 $-$ 接線）、上に凸なら（接線 $-$ 曲線）を積分する

$y = e^{x}$ は $y^{''} = e^{x} > 0$ で下に凸なので（曲線 $-$ 接線）、 $y = lo g x$ は $y^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ で上に凸なので（接線 $-$ 曲線）。凹凸が区間の途中で変わる曲線では、差の符号を直接調べる。

3. y で積分する面積と楕円

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

$x$ と $y$ の役割を入れかえても、面積の考え方は同じです。 $y$ 軸から右へ測った長さ $x = g (y)$ を、 $y$ について積分します。

$c < d$ とする。区間 $c ≦ y ≦ d$ で $g (y) ≧ 0$ のとき、曲線 $x = g (y)$ と $y$ 軸、2 直線 $y = c$ 、 $y = d$ で囲まれた図形の面積 $S$ は？

$S = \int_{c}^{d} g (y) d y$

2 曲線 $x = g (y)$ 、 $x = h (y)$ の間なら（右の曲線 $-$ 左の曲線）を $y$ で積分する。

曲線 $y = lo g x$ や $y = x$ で囲まれた図形の面積を $y$ で積分して求めるとき、最初に何をするか？

曲線の式を $x$ について解く（ $y = lo g x$ は $x = e^{y}$ 、 $y = x$ は $x = y^{2}$ ）。積分区間は $y$ の値の範囲にする

境界が $y$ 軸や直線 $y = c$ のときは、 $y$ で積分すると区間を分けずにすむ。

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > 0$ 、 $b > 0$ ）で囲まれた図形の面積は？

$π ab$

上半分は $y = \frac{b}{a} a^{2} - x^{2}$ 。 $\int_{0}^{a} a^{2} - x^{2} d x$ は半径 $a$ の円の $\frac{1}{4}$ の面積 $\frac{π a ^{2}}{4}$ なので、 $S = 4 \times \frac{b}{a} \times \frac{π a ^{2}}{4} = π ab$ 。

4. 媒介変数で表された曲線と面積

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

曲線上の点の座標 $(x, y)$ を、1 つの変数 $t$ の関数として $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ と表すことを媒介変数表示といい、 $t$ を媒介変数といいます（数学Cの内容）。
$y$ を $x$ の式で表せなくても、 $\int y d x$ を置換積分と同じ要領で $t$ の積分に直せば面積が出ます。

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ が $x$ 軸の上側（ $y ≧ 0$ ）にあり、 $t$ が $α$ から $β$ まで動くとき $x$ が $a$ から $b$ まで増加する。この曲線と $x$ 軸、2 直線 $x = a$ 、 $x = b$ で囲まれた図形の面積 $S$ は？

$S = \int_{a}^{b} y d x = \int_{α}^{β} y (t) \frac{d x}{d t} d t$

$d x$ を $\frac{d x}{d t} d t$ に置きかえ、積分区間を $x = a$ に対応する $t = α$ から、 $x = b$ に対応する $t = β$ までに直す。 $α > β$ になることもある。

サイクロイド $x = a (θ - sin θ)$ 、 $y = a (1 - cos θ)$ （ $a > 0$ 、 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）と $x$ 軸で囲まれた図形の面積は？

$3 π a^{2}$

$\frac{d x}{d θ} = a (1 - cos θ)$ なので、 $S = \int_{0}^{2 π} a^{2} (1 - cos θ)^{2} d θ$ 。転がる円の面積 $π a^{2}$ の 3 倍。

練習問題

問 1　曲線 $y = \frac{1}{x}$ と $x$ 軸、2 直線 $x = 1$ 、 $x = e$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

方針　区間 $1 ≦ x ≦ e$ で $\frac{1}{x} > 0$ なので、曲線は $x$ 軸の上側にある。絶対値を気にせず、 $\frac{1}{x}$ を 1 から $e$ まで積分すればよい。

面積は $S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$
$\frac{1}{x}$ の不定積分は $lo g ∣ x ∣$ 。この区間では $x > 0$ なので $lo g x$ と書ける
$S = [lo g x]_{1}^{e} = lo g e - lo g 1$
$lo g e = 1$ 、 $lo g 1 = 0$ なので、 $S = 1$

問 2　曲線 $y = x$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

$\frac{1}{6}$

方針　囲まれた図形は共有点から共有点までにある。共有点の $x$ 座標を求め、その間でどちらが上かを調べて（上 $-$ 下）を積分する。

共有点を求める。 $x = x$ の両辺を 2 乗して $x = x^{2}$
$x (x - 1) = 0$ から $x = 0, 1$ （どちらも $x = x$ を満たす）
上下を調べる。 $x = \frac{1}{4}$ のとき、曲線の $y$ 座標は $\frac{1}{2}$ 、直線の $y$ 座標は $\frac{1}{4}$ なので、 $0 < x < 1$ では曲線 $y = x$ が上
面積は $S = \int_{0}^{1} (x - x) d x$
$x = x^{\frac{1}{2}}$ なので、 $S = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$
$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

問 3　 $0 ≦ x ≦ π$ の範囲で、2 曲線 $y = sin x$ 、 $y = sin 2 x$ で囲まれた 2 つの図形の面積の和を求めよ。

$\frac{5}{2}$

方針　共有点を求めると 3 つあるので、囲まれた図形は 2 つ。上下が途中で入れかわるから、共有点で区間を分けて、それぞれ（上 $-$ 下）を積分する。

差をとって因数分解する。 $sin 2 x - sin x = 2 sin x cos x - sin x = sin x (2 cos x - 1)$
これが 0 になるのは、 $sin x = 0$ から $x = 0, π$ 、 $cos x = \frac{1}{2}$ から $x = \frac{π}{3}$
$0 < x < \frac{π}{3}$ では $sin x > 0$ 、 $2 cos x - 1 > 0$ なので $sin 2 x > sin x$ （ $y = sin 2 x$ が上）
$\frac{π}{3} < x < π$ では $sin x > 0$ 、 $2 cos x - 1 < 0$ なので $sin 2 x < sin x$ （ $y = sin x$ が上）
左の図形の面積は $S_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} (sin 2 x - sin x) d x = [- \frac{1}{2} cos 2 x + cos x]_{0}^{\frac{π}{3}}$
$x = \frac{π}{3}$ での値は $- \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ 、 $x = 0$ での値は $- \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ なので、 $S_{1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
右の図形の面積は $S_{2} = \int_{\frac{π}{3}}^{π} (sin x - sin 2 x) d x = [- cos x + \frac{1}{2} cos 2 x]_{\frac{π}{3}}^{π}$
$x = π$ での値は $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 、 $x = \frac{π}{3}$ での値は $- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$ なので、 $S_{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$
和は $S_{1} + S_{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}$

ここで間違えやすい　区間を分けずに $\int_{0}^{π} (sin x - sin 2 x) d x$ を計算すると 2 になる。これは $S_{2} - S_{1}$ で、面積の和ではない。

問 4　曲線 $y = lo g x$ と $x$ 軸、 $y$ 軸、直線 $y = 1$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

$e - 1$

方針　境界が $y$ 軸と、 $y$ 軸に垂直な 2 直線（ $x$ 軸と $y = 1$ ）なので、 $y$ で積分する。曲線を $x = e^{y}$ と書き直せば、 $y$ 軸から曲線までの長さ $e^{y}$ を $0 ≦ y ≦ 1$ で積分するだけになる。

$y = lo g x$ を $x$ について解くと、 $x = e^{y}$
図形は、 $0 ≦ y ≦ 1$ の範囲で、左が $y$ 軸（ $x = 0$ ）、右が曲線 $x = e^{y}$
$e^{y} > 0$ なので、面積は $S = \int_{0}^{1} e^{y} d y$
$S = [e^{y}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0}$
$e^{0} = 1$ なので、 $S = e - 1$

ここで間違えやすい　 $\int_{1}^{e} lo g x d x = 1$ を答えにしない。それは曲線と $x$ 軸、直線 $x = e$ で囲まれた別の図形の面積である。 $x$ で積分するなら、 $0 ≦ x ≦ 1$ の長方形（面積 1）と、 $1 ≦ x ≦ e$ で直線 $y = 1$ と曲線の間（ $\int_{1}^{e} (1 - lo g x) d x = e - 2$ ）に分けることになる。

問 5　原点から曲線 $y = e^{x}$ に引いた接線を $ℓ$ とする。曲線 $y = e^{x}$ と接線 $ℓ$ 、 $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

$\frac{e}{2} - 1$

方針　接点が分からないので、接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の式を作り、原点を通る条件から $t$ を決める。 $y = e^{x}$ は下に凸なので曲線が接線の上側にあり、 $y$ 軸（ $x = 0$ ）から接点までで（曲線 $-$ 接線）を積分する。

$y^{'} = e^{x}$ なので、点 $(t, e^{t})$ での接線は $y = e^{t} (x - t) + e^{t}$
原点を通るから、 $x = 0$ 、 $y = 0$ を代入して $0 = e^{t} (1 - t)$
$e^{t} > 0$ なので $t = 1$ 。接点は $(1, e)$ 、接線 $ℓ$ は $y = e x$
$y^{''} = e^{x} > 0$ で曲線は下に凸なので、 $0 ≦ x ≦ 1$ で $e^{x} ≧ e x$ （等号は $x = 1$ のとき）
面積は $S = \int_{0}^{1} (e^{x} - e x) d x$
$S = [e^{x} - \frac{e}{2} x^{2}]_{0}^{1}$
$x = 1$ での値は $e - \frac{e}{2} = \frac{e}{2}$ 、 $x = 0$ での値は $e^{0} = 1$
よって $S = \frac{e}{2} - 1$

問 6　サイクロイド $x = θ - sin θ$ 、 $y = 1 - cos θ$ （ $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

$3 π$

方針　 $y$ を $x$ の式で表せないので、 $\int y d x$ を $θ$ の積分に直す。 $d x$ を $\frac{d x}{d θ} d θ$ に置きかえ、積分区間を $θ$ の値にする。その前に、曲線が $x$ 軸の上側にあることと、 $x$ が増加し続けることを確かめる。

$\frac{d x}{d θ} = 1 - cos θ ≧ 0$ なので、 $θ$ が 0 から $2 π$ まで動くと $x$ は 0 から $2 π$ まで増加する
$y = 1 - cos θ ≧ 0$ なので、曲線は $x$ 軸の上側にある。 $y = 0$ となるのは $θ = 0, 2 π$ の両端だけ
面積は $S = \int_{0}^{2 π} y d x = \int_{0}^{2 π} (1 - cos θ) \frac{d x}{d θ} d θ = \int_{0}^{2 π} (1 - cos θ)^{2} d θ$
展開する。 $(1 - cos θ)^{2} = 1 - 2 cos θ + cos^{2} θ$
半角の公式 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ を使うと、 $1 - 2 cos θ + cos^{2} θ = \frac{3}{2} - 2 cos θ + \frac{1}{2} cos 2 θ$
$S = [\frac{3}{2} θ - 2 sin θ + \frac{1}{4} sin 2 θ]_{0}^{2 π}$
$sin 2 π = 0$ 、 $sin 4 π = 0$ なので、残るのは $\frac{3}{2} θ$ の項だけで、 $S = 3 π$

ここで間違えやすい　 $d x$ をそのまま $d θ$ に書きかえて $\int_{0}^{2 π} (1 - cos θ) d θ = 2 π$ としない。 $d x = (1 - cos θ) d θ$ で、 $1 - cos θ$ がもう 1 つかかる。