立体の体積

$0\leqq a<b$ とし、区間 $a\leqq x\leqq b$ で $f(x)\geqq 0$ とする。曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸、2 直線 $x=a$、$x=b$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積は

考え方: 図形を $y$ 軸に平行な細い帯（幅 $\Delta x$、高さ $f(x)$）に分ける。この帯を $y$ 軸のまわりに回すと、半径 $x$、高さ $f(x)$、厚さ $\Delta x$ の薄い円筒になり、体積はおよそ $2\pi x\times f(x)\times \Delta x$。これを足し合わせる。

例: 曲線 $y=\sin x$（$0\leqq x\leqq \pi$）と $x$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させると、部分積分で
$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\sin xdx=2\pi [-x\cos x+\sin x{]}_0^{\pi }=2{\pi }^2$。
$\pi \int x^{2}dy$ で求めようとすると $x$ を $y$ の式に直すのが難しいので、この方法が効く。

この公式は教科書の本文には無い。記述式の答案では断りなく使わないほうがよい。検算に使うか、使うなら上の考え方を答案に一言書く。

$8\pi$

方針　$x$ 軸のまわりの回転体なので、断面は半径 $y=\sqrt{x}$ の円。断面積 $\pi y^2$ を、図形のある $0\leqq x\leqq 4$ で積分する。

1. 曲線 $y=\sqrt{x}$ は原点で $x$ 軸と交わるので、図形は $0\leqq x\leqq 4$ の範囲にある
2. 体積は $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx$
3. $(\sqrt{x}{)}^2=x$ なので、$V=\pi {\int }_0^{4}xdx$
4. $V=\pi [\frac{x^2}{2}{]}_0^4=\pi \times \frac{16}{2}$
5. よって $V=8\pi$

$\frac{3}{10}\pi$

方針　2 曲線の間の図形を回すので、断面は輪の形になる。共有点を求めて区間を決め、どちらが外側（$x$ 軸から遠い側）かを調べて、$\pi \int ({\text{外}}^2-{\text{内}}^2)dx$ を計算する。

1. 共有点を求める。$x^2=\sqrt{x}$ の両辺を 2 乗して $x^4=x$
2. $x(x^3-1)=0$ から $x=0,1$
3. $x=\frac{1}{4}$ のとき、$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$、$x^2=\frac{1}{16}$ なので、$0<x<1$ では $\sqrt{x}>x^2\geqq 0$。外側が $y=\sqrt{x}$、内側が $y=x^2$
4. 体積は $V=\pi {\int }_0^1\left\{(\sqrt{x}{)}^2-(x^2{)}^2\right\}dx=\pi {\int }_0^1(x-x^4)dx$
5. $V=\pi [\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5}{]}_0^1$
6. $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{10}$ なので、$V=\frac{3}{10}\pi$

ここで間違えやすい　$\pi {\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2{)}^{2}dx$ としない（計算すると $\frac{9}{70}\pi$ になり、正しい値より小さい）。2 乗してからひく。

$\frac{\pi (e^2-1)}{2}$

方針　$y$ 軸のまわりの回転体なので、$y$ 軸に垂直な断面が円になる。半径は $y$ 軸から曲線までの距離 $x$ なので、$x^2$ を $y$ の式で表し、$\pi x^2$ を $0\leqq y\leqq 1$ で積分する。

1. $y=\log x$ を $x$ について解くと $x=e^y$
2. 図形は、$0\leqq y\leqq 1$ の範囲で、$y$ 軸と曲線 $x=e^y$ の間にある
3. $x^2=(e^y{)}^2=e^{2y}$ なので、体積は $V=\pi {\int }_0^1{e}^{2y}dy$
4. $V=\pi [\frac{1}{2}{e}^{2y}{]}_0^1$
5. $y=1$ での値は $\frac{e^2}{2}$、$y=0$ での値は $\frac{1}{2}$
6. よって $V=\pi \left(\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

方針　回転体ではないので、断面積を積分する。直径 AB を $x$ 軸にとり、円の中心を原点とすると、$x$ 軸に垂直な切り口が正三角形になる。その 1 辺（弦の長さ）を $x$ で表して断面積 $S(x)$ を作る。

1. 底面の円を $x^2+y^2=1$ とし、AB を $x$ 軸上の $-1\leqq x\leqq 1$ にとる
2. 座標 $x$ で AB に垂直な弦の両端は $y=\pm \sqrt{1-x^2}$ なので、弦の長さは $2\sqrt{1-x^2}$
3. 1 辺が $p$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}{p}^2$
4. $p=2\sqrt{1-x^2}$ を入れると、$S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 4(1-x^2)=\sqrt{3}(1-x^2)$
5. 体積は $V={\int }_{-1}^1\sqrt{3}(1-x^2)dx$
6. $1-x^2$ は偶関数なので、$V=2\sqrt{3}{\int }_0^1(1-x^2)dx=2\sqrt{3}[x-\frac{x^3}{3}{]}_0^1$
7. $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ なので、$V=2\sqrt{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$\frac{20}{3}\pi$

方針　図形が $x$ 軸をまたぐので、$x$ 軸の下側の部分を上側に折り返してから回す。各 $x$ で $x$ 軸から遠いほうが外側の半径になるので、折り返した放物線 $y=1-x^2$ と直線 $y=x+1$ の上下を調べて区間を分ける。

1. 共有点を求める。$x^2-1=x+1$ から $x^2-x-2=0$、$(x+1)(x-2)=0$ で $x=-1,2$。$x=0$ のとき直線の $y$ 座標は 1、放物線の $y$ 座標は $-1$ なので、この間では直線が上、放物線が下
2. 放物線は $-1<x<1$ で $x$ 軸の下側、$1<x<2$ で上側にある。直線は $-1\leqq x\leqq 2$ で $x$ 軸の上側（$x+1\geqq 0$）
3. $-1\leqq x\leqq 1$ では図形が $x$ 軸をまたぐ。放物線を折り返すと $y=1-x^2$
4. 折り返した放物線と直線を比べる。$(1-x^2)-(x+1)=-x(x+1)$ なので、$-1\leqq x\leqq 0$ では折り返した放物線が上、$0\leqq x\leqq 1$ では直線が上
5. $-1\leqq x\leqq 0$ の部分。図形は $x$ 軸に届いているので断面は半径 $1-x^2$ の円。${\int }_{-1}^0(1-x^2{)}^{2}dx={\int }_{-1}^0(1-2x^2+x^4)dx=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}$
6. $0\leqq x\leqq 1$ の部分。断面は半径 $x+1$ の円。${\int }_0^1(x+1{)}^{2}dx=[\frac{(x+1{)}^3}{3}{]}_0^1=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
7. $1\leqq x\leqq 2$ の部分。図形は $x$ 軸の上側だけにあり、断面は外側の半径 $x+1$、内側の半径 $x^2-1$ の輪。${\int }_1^2(x+1{)}^{2}dx=\frac{27}{3}-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}$
8. ${\int }_1^2(x^2-1{)}^{2}dx={\int }_1^2(x^4-2x^2+1)dx=\frac{31}{5}-\frac{14}{3}+1=\frac{38}{15}$
9. 手順 7 と 8 の差は $\frac{19}{3}-\frac{38}{15}=\frac{57}{15}$
10. 3 つの部分を足す。$\frac{8}{15}+\frac{7}{3}+\frac{57}{15}=\frac{100}{15}=\frac{20}{3}$
11. よって $V=\frac{20}{3}\pi$

ここで間違えやすい　全区間で $\pi {\int }_{-1}^2\left\{(x+1{)}^2-(x^2-1{)}^2\right\}dx$ としない。$-1\leqq x\leqq 1$ では図形が $x$ 軸に届いているので、くり抜く部分は無い。

$\frac{32}{105}\pi$

方針　曲線は $x$ 軸についても $y$ 軸についても対称なので、$x\geqq 0$、$y\geqq 0$ の部分（$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$）を回転させた体積を 2 倍する。$\pi \int y^{2}dx$ の $dx$ を $\frac{dx}{d\theta }d\theta$ に置きかえて $\theta$ の積分に直す。

1. $\theta$ を $-\theta$ に変えると $y$ の符号だけが、$\pi -\theta$ に変えると $x$ の符号だけが変わるので、曲線は $x$ 軸、$y$ 軸について対称
2. $0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$ の部分は $x\geqq 0$、$y\geqq 0$ にあり、$x=0$ に $\theta =\frac{\pi }{2}$、$x=1$ に $\theta =0$ が対応する
3. $x\geqq 0$ の部分の回転体の体積は $\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx$ で、全体はその 2 倍なので、$V=2\pi {\int }_0^1{y}^{2}dx$
4. $\frac{dx}{d\theta }=-3{\cos }^2\theta \sin \theta$ なので、$V=2\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\sin }^6\theta \times (-3{\cos }^2\theta \sin \theta )d\theta$
5. 負の符号で上端と下端を入れかえると、$V=6\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^7\theta {\cos }^2\theta d\theta$
6. $\cos \theta =u$ とおく。$-\sin \theta d\theta =du$ で、$\theta$ が 0 から $\frac{\pi }{2}$ まで動くとき $u$ は 1 から 0 まで動く
7. ${\sin }^6\theta =(1-{\cos }^2\theta {)}^3=(1-u^2{)}^3$ なので、${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^7\theta {\cos }^2\theta d\theta ={\int }_1^0(1-u^2{)}^3{u}^2\times (-1)du={\int }_0^1(1-u^2{)}^3{u}^{2}du$
8. 展開する。$(1-u^2{)}^3{u}^2=u^2-3u^4+3u^6-u^8$
9. 積分すると $\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9}=\frac{105-189+135-35}{315}=\frac{16}{315}$
10. よって $V=6\pi \times \frac{16}{315}=\frac{96}{315}\pi =\frac{32}{105}\pi$

ここで間違えやすい　$\theta$ の積分区間を 0 から $\frac{\pi }{2}$ のまま書かない。$x$ が 0 から 1 まで増えるとき、$\theta$ は $\frac{\pi }{2}$ から 0 へ減る。向きを逆にすると符号が反対になり、体積が負になる。