曲線の長さ｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (ウ)「定積分を利用して，いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを求めること。」。このノートは、媒介変数で表された曲線と $y = f (x)$ の形の曲線の長さを、定積分で求める方法を扱います。

0. どういうまとまりか

曲線を細かい折れ線で近づけると、1 本の線分の長さは三平方の定理で $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ です。これを足し合わせた極限が曲線の長さで、定積分になります。
式は 2 つありますが、もとは同じものです。計算の山場は公式でなく、根号をどう外すかにあります。

曲線の表し方	長さ $L$
媒介変数表示 $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ （ $α ≦ t ≦ β$ ）	$L = \int_{α}^{β} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$
$y = f (x)$ （ $a ≦ x ≦ b$ ）	$L = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$

分かれ目は次の 3 つ。

根号の中を完全平方の形（何かの 2 乗）に変形する。三角関数なら半角の公式、指数関数なら $1 + (y^{'})^{2}$ が 2 乗にまとまる
$A^{2} = ∣ A ∣$ 。 $A$ とは限らない。積分区間で $A$ の符号を確かめてから絶対値を外す
符号が区間の途中で変わるときは、対称性を使って一部を計算し、何倍かする（アステロイドは $\frac{1}{4}$ を計算して 4 倍）

1. 媒介変数で表された曲線の長さ

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

曲線上の点の座標 $(x, y)$ を 1 つの変数 $t$ の関数として $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ と表すのが媒介変数表示で、 $t$ を媒介変数といいます（数学Cの内容）。長さの公式は、この形がもとになります。

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = x (t)$ 、 $y = y (t)$ （ $α ≦ t ≦ β$ ）の長さ $L$ は？

$L = \int_{α}^{β} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t$

積分区間は $t$ の小さいほうから大きいほうへとる（ $α < β$ ）。

曲線の長さの公式で、根号の中が $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}$ になるのはなぜか？

曲線を折れ線で近づけると、1 本の線分の長さが三平方の定理で $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ になるから

$(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = (\frac{Δ x}{Δ t})^{2} + (\frac{Δ y}{Δ t})^{2} Δ t$ と書き直し、足し合わせて極限をとる。

媒介変数表示の曲線の長さを求めるとき、 $t$ の範囲 $α ≦ t ≦ β$ について確かめることは？

その範囲で、点が曲線の同じ部分を 2 度通らないこと

2 度通ると、その部分の長さが 2 回分数えられる。円 $x = cos t$ 、 $y = sin t$ を $0 ≦ t ≦ 4 π$ で積分すると、円周の 2 倍の $4 π$ になる。

半径 $r$ の円の周の長さ $2 π r$ は、曲線の長さの公式からどう出るか？

$x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ （ $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）とすると、根号の中が $r^{2} sin^{2} θ + r^{2} cos^{2} θ = r^{2}$ になり、 $L = \int_{0}^{2 π} r d θ = 2 π r$

$\frac{d x}{d θ} = - r sin θ$ 、 $\frac{d y}{d θ} = r cos θ$ 。 $r > 0$ なので $r^{2} = r$ 。

2. y=f(x) の形の曲線の長さ

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

$y = f (x)$ の形の曲線は、 $x$ そのものを媒介変数とみれば、前の節の公式がそのまま使えます。

曲線 $y = f (x)$ （ $a ≦ x ≦ b$ ）の長さ $L$ は？

$L = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x = \int_{a}^{b} 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$

根号の中は「1 たす導関数の 2 乗」。 $f (x)$ そのものの 2 乗ではない。

$y = f (x)$ の曲線の長さの公式は、媒介変数表示の公式からどう導けるか？

$x = t$ 、 $y = f (t)$ とおく。 $\frac{d x}{d t} = 1$ 、 $\frac{d y}{d t} = f^{'} (t)$ なので、根号の中が $1 + {f^{'} (t)}^{2}$ になる

公式は 1 つだけ覚えればよい。

曲線 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ の長さを求めるとき、 $1 + (y^{'})^{2}$ はどんな形に変形できるか？

$1 + (y^{'})^{2} = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}$ （完全平方になる）

$y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ から $1 + \frac{e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x}}{4} = \frac{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}}{4}$ 。 $e^{x} + e^{- x} > 0$ なので、根号はそのまま外れて $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ 。

なお、式が簡単な曲線でも、長さの定積分が計算できるとは限りません。たとえば円でない楕円の周の長さや $y = sin x$ の長さは、定積分の式は立てられますが、根号が外れず、高校で学ぶ方法では値を求められません。問題に出るのは、根号がきれいに外れるように作られた曲線です。

3. 根号を外す（サイクロイドとアステロイド）

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ウ)

三角関数で表された曲線は、根号の中を 2 乗の形に直してから外します。外すときに絶対値がつくことを忘れると、答えが 0 や負になります。

曲線の長さの計算で、根号の中が $A^{2}$ の形になった。 $A^{2}$ はどう外すか？

$A^{2} = ∣ A ∣$ 。積分区間で $A ≧ 0$ なら $A$ 、 $A ≦ 0$ なら $- A$ にする

符号が区間の途中で変わるなら、区間を分けるか、対称性を使う。

$2 - 2 cos θ$ の根号は、どう外すか？

半角の公式 $1 - cos θ = 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ を使って、 $2 - 2 cos θ = 4 sin^{2} \frac{θ}{2} = 2 sin \frac{θ}{2}$

$0 ≦ θ ≦ 2 π$ なら $0 ≦ \frac{θ}{2} ≦ π$ で $sin \frac{θ}{2} ≧ 0$ なので、 $2 sin \frac{θ}{2}$ 。

サイクロイド $x = a (θ - sin θ)$ 、 $y = a (1 - cos θ)$ （ $a > 0$ 、 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）の長さは？

$8 a$

根号の中は $a^{2} (1 - cos θ)^{2} + a^{2} sin^{2} θ = a^{2} (2 - 2 cos θ)$ 。 $L = \int_{0}^{2 π} 2 a sin \frac{θ}{2} d θ = [- 4 a cos \frac{θ}{2}]_{0}^{2 π} = 8 a$ 。

アステロイド $x = a cos^{3} θ$ 、 $y = a sin^{3} θ$ （ $a > 0$ 、 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）の全長は？

$6 a$

根号の中は $9 a^{2} sin^{2} θ cos^{2} θ$ 。 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分の長さが $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 a sin θ cos θ d θ = \frac{3}{2} a$ で、その 4 倍。

アステロイドの全長を、 $\int_{0}^{2 π} 3 a sin θ cos θ d θ$ と計算してはいけないのはなぜか？

根号を外すと $3 a ∣ sin θ cos θ ∣$ で、 $sin θ cos θ$ は $0 ≦ θ ≦ 2 π$ の途中で符号が変わるから。絶対値を落として積分すると 0 になる

$sin θ cos θ ≧ 0$ である $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分（全体の $\frac{1}{4}$ ）を計算して 4 倍する。

練習問題

問 1　曲線 $y = \frac{2}{3} x x$ （ $0 ≦ x ≦ 3$ ）の長さを求めよ。

$\frac{14}{3}$

方針　 $y = f (x)$ の形なので、 $L = \int 1 + (y^{'})^{2} d x$ を使う。 $y^{'}$ を求めて $1 + (y^{'})^{2}$ を作ると、根号の中が $x$ の 1 次式になる。

$x x = x^{\frac{3}{2}}$ なので、 $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
微分する。 $y^{'} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = x$
$1 + (y^{'})^{2} = 1 + x$
長さは $L = \int_{0}^{3} 1 + x d x$
$L = [\frac{2}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$
$x = 3$ のとき $4^{\frac{3}{2}} = 8$ 、 $x = 0$ のとき $1^{\frac{3}{2}} = 1$ なので、 $L = \frac{2}{3} \times (8 - 1) = \frac{14}{3}$

問 2　曲線 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ （ $- 1 ≦ x ≦ 1$ ）の長さを求めよ。

$e - \frac{1}{e}$

方針　 $L = \int 1 + (y^{'})^{2} d x$ を使う。この曲線は $1 + (y^{'})^{2}$ が完全平方になるので、根号がそのまま外れる。

微分する。 $y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$
2 乗する。 $e^{x} \times e^{- x} = 1$ なので、 $(y^{'})^{2} = \frac{e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x}}{4}$
1 を足す。 $1 + (y^{'})^{2} = \frac{4 + e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x}}{4} = \frac{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}}{4}$
分子は $(e^{x} + e^{- x})^{2}$ なので、 $1 + (y^{'})^{2} = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}$
$e^{x} + e^{- x} > 0$ なので、 $1 + (y^{'})^{2} = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$
長さは $L = \int_{- 1}^{1} \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = [\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}]_{- 1}^{1}$
$x = 1$ での値は $\frac{e - e ^{- 1}}{2}$ 、 $x = - 1$ での値は $\frac{e ^{- 1} - e}{2}$
差をとると、 $L = \frac{e - e ^{- 1}}{2} - \frac{e ^{- 1} - e}{2} = e - e^{- 1} = e - \frac{1}{e}$

ここで間違えやすい　手順 2 で中央の項を $+ 2$ にしない。 $(e^{x} - e^{- x})^{2}$ の中央は $- 2$ で、1 を足して初めて $+ 2$ に変わり、和の 2 乗にまとまる。

問 3　曲線 $x = e^{t} cos t$ 、 $y = e^{t} sin t$ （ $0 ≦ t ≦ π$ ）の長さを求めよ。

$2 (e^{π} - 1)$

方針　媒介変数表示なので、 $\frac{d x}{d t}$ と $\frac{d y}{d t}$ を積の微分で求め、2 乗の和を作る。 $sin t cos t$ の項が打ち消し合って、根号の中が簡単になる。

積の微分で、 $\frac{d x}{d t} = e^{t} cos t - e^{t} sin t = e^{t} (cos t - sin t)$
同じく、 $\frac{d y}{d t} = e^{t} sin t + e^{t} cos t = e^{t} (sin t + cos t)$
$(cos t - sin t)^{2} = 1 - 2 sin t cos t$ 、 $(sin t + cos t)^{2} = 1 + 2 sin t cos t$ なので、2 つの和は 2
よって $(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = 2 e^{2 t}$
$e^{t} > 0$ なので、 $2 e^{2 t} = 2 e^{t}$
長さは $L = \int_{0}^{π} 2 e^{t} d t = 2 [e^{t}]_{0}^{π}$
$e^{0} = 1$ なので、 $L = 2 (e^{π} - 1)$

問 4　サイクロイド $x = 2 (θ - sin θ)$ 、 $y = 2 (1 - cos θ)$ （ $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）の長さを求めよ。

方針　2 乗の和を作ると $2 - 2 cos θ$ が出てくる。半角の公式で $sin^{2} \frac{θ}{2}$ の形に直せば根号が外れる。外すときに $sin \frac{θ}{2}$ の符号を確かめる。

$\frac{d x}{d θ} = 2 (1 - cos θ)$ 、 $\frac{d y}{d θ} = 2 sin θ$
2 乗の和は $4 (1 - cos θ)^{2} + 4 sin^{2} θ = 4 (1 - 2 cos θ + cos^{2} θ + sin^{2} θ)$
$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ なので、 $4 (2 - 2 cos θ) = 8 (1 - cos θ)$
半角の公式 $1 - cos θ = 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ から、 $8 (1 - cos θ) = 16 sin^{2} \frac{θ}{2}$
根号を外すと $16 sin^{2} \frac{θ}{2} = 4 sin \frac{θ}{2}$
$0 ≦ θ ≦ 2 π$ のとき $0 ≦ \frac{θ}{2} ≦ π$ で $sin \frac{θ}{2} ≧ 0$ なので、絶対値はそのまま外れて $4 sin \frac{θ}{2}$
長さは $L = \int_{0}^{2 π} 4 sin \frac{θ}{2} d θ = [- 8 cos \frac{θ}{2}]_{0}^{2 π}$
$θ = 2 π$ での値は $- 8 cos π = 8$ 、 $θ = 0$ での値は $- 8 cos 0 = - 8$
よって $L = 8 - (- 8) = 16$

問 5　アステロイド $x = cos^{3} θ$ 、 $y = sin^{3} θ$ （ $0 ≦ θ ≦ 2 π$ ）の全長を求めよ。

方針　2 乗の和が $9 sin^{2} θ cos^{2} θ$ にまとまるので根号は外れるが、絶対値がつく。 $sin θ cos θ$ は途中で符号が変わるので、符号が一定の $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分（全体の $\frac{1}{4}$ ）を計算して 4 倍する。

$\frac{d x}{d θ} = - 3 cos^{2} θ sin θ$ 、 $\frac{d y}{d θ} = 3 sin^{2} θ cos θ$
2 乗の和は $9 cos^{4} θ sin^{2} θ + 9 sin^{4} θ cos^{2} θ = 9 sin^{2} θ cos^{2} θ (cos^{2} θ + sin^{2} θ)$
$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ なので、 $9 sin^{2} θ cos^{2} θ$
根号を外すと $3 ∣ sin θ cos θ ∣$
曲線は $x$ 軸、 $y$ 軸について対称なので、全長は $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分の 4 倍
$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $sin θ ≧ 0$ 、 $cos θ ≧ 0$ なので、 $3 ∣ sin θ cos θ ∣ = 3 sin θ cos θ$
この部分の長さは $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 sin θ cos θ d θ = [\frac{3}{2} sin^{2} θ]_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{3}{2}$
全長は $L = 4 \times \frac{3}{2} = 6$

問 6　曲線 $y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} lo g x$ （ $1 ≦ x ≦ e$ ）の長さを求めよ。

$\frac{e ^{2} + 1}{4}$

方針　 $L = \int 1 + (y^{'})^{2} d x$ を使う。 $y^{'}$ が「差」の形のとき、2 乗して 1 を足すと中央の項の符号が変わって「和」の 2 乗にまとまる。これをねらう。

微分する。 $y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$
2 乗する。 $2 \times \frac{x}{2} \times \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$ なので、 $(y^{'})^{2} = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}}$
1 を足す。 $1 + (y^{'})^{2} = \frac{x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}}$
これは $(\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2}$ に等しい
$1 ≦ x ≦ e$ では $\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x} > 0$ なので、 $1 + (y^{'})^{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}$
長さは $L = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{1}{2} lo g x]_{1}^{e}$
$x = e$ での値は $\frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{2}$ 、 $x = 1$ での値は $\frac{1}{4}$ （ $lo g 1 = 0$ ）
よって $L = \frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4}$