置換積分法｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (イ)「置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合について，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、変数を置きかえて基本公式が使える形に直す置換積分法を、不定積分について扱います。

0. どういうまとまりか

置換積分法は、合成関数の微分法を逆向きに使う方法です。式の中の「かたまり」を 1 つの文字に置きかえると、基本公式で積分できる形になります。
置きかえ方は 2 通りあります。 $x$ を別の文字の式で表す置きかえ（ $x = g (t)$ ）と、 $x$ の式のかたまりを 1 文字にする置きかえ（ $g (x) = u$ ）で、どちらも同じ公式を左右逆に読んだものです。

式の形	置きかえ方	例
$a x + b$ の累乗と $x$ の積	$a x + b = t$	$x (2 x - 1)^{3}$
$a x + b$ を含む	$a x + b = t$	$x x + 1$
$f (g (x)) g^{'} (x)$ （かたまりとその微分）	$g (x) = u$	$sin^{2} x cos x$ 、 $x e^{x^{2}}$
$\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ （分子が分母の微分）	公式で $lo g ∣ g (x)∣ + C$	$tan x$ 、 $\frac{x}{x ^{2} + 1}$

分かれ目は次の 3 つ。

$d x$ も置きかえる。被積分関数だけを $t$ の式にして $d x$ を $d t$ に書きかえただけでは誤り。 $\frac{d x}{d t}$ を求めて $d x = g^{'} (t) d t$ とする
不定積分では、最後に必ずもとの変数 $x$ に戻す
$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = lo g ∣ g (x)∣ + C$ の絶対値は、 $g (x)$ が常に正と分かるときだけ外せる

1. 置換積分法の公式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

$F^{'} (x) = f (x)$ とし、 $x = g (t)$ とおくと、合成関数の微分法から $\frac{d}{d t} F (g (t)) = f (g (t)) g^{'} (t)$ です。これを $t$ で積分した式が置換積分法の公式です。

置換積分法の公式は？（ $x = g (t)$ とおく。 $g (t)$ は微分可能）

$\int f (x) d x = \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$

$x$ を $g (t)$ に、 $d x$ を $g^{'} (t) d t$ に置きかえる。合成関数の微分法の逆。

$x = g (t)$ とおく置換で、 $d x$ は何に置きかわるか？

$d x = g^{'} (t) d t$

$\frac{d x}{d t} = g^{'} (t)$ を求め、分数のように扱って $d x = g^{'} (t) d t$ と書く。 $d x$ をそのまま $d t$ にしない。

置換して $t$ の式で不定積分を求めたあと、最後に何をするか？

$t$ をもとの $x$ の式に戻す

不定積分は $x$ の関数なので、 $t$ のままでは答えにならない。

2. $a x + b = t$ 、 $a x + b = t$ とおく

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

1 次式 $a x + b$ の累乗や根号が、ほかの $x$ の式とかけ合わされているときは、1 次式や根号をまるごと $t$ とおきます。展開せずに済み、根号も消えます。

$a x + b = t$ とおくとき、 $x$ と $d x$ は $t$ でどう表されるか？（ $a \neq = 0$ ）

$x = \frac{t - b}{a}$ 、 $d x = \frac{1}{a} d t$

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{a}$ から。 $\int (2 x + 1)^{4} d x$ なら $2 x + 1 = t$ 、 $d x = \frac{1}{2} d t$ で $\frac{1}{2} \int t^{4} d t = \frac{t ^{5}}{10} + C = \frac{( 2 x + 1 ) ^{5}}{10} + C$ 。

$a x + b = t$ とおくとき、 $x$ と $d x$ は $t$ でどう表されるか？（ $a \neq = 0$ ）

$x = \frac{t ^{2} - b}{a}$ 、 $d x = \frac{2 t}{a} d t$

両辺を 2 乗して $a x + b = t^{2}$ とし、 $x$ について解いてから $t$ で微分する。根号が消えて $t$ の多項式になる。

3. かたまりとその微分を見つける

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

置換積分法の公式を右から左に読み、文字を入れかえると、 $g (x) = u$ とおく形になります。式の中に「かたまり $g (x)$ 」と「その微分 $g^{'} (x)$ 」が並んでいるときに使います。

$g (x) = u$ とおくと、 $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ はどう書けるか？

$\int f (u) d u$

$\frac{d u}{d x} = g^{'} (x)$ から $g^{'} (x) d x = d u$ 。 $g^{'} (x) d x$ をまとめて $d u$ に置きかえる。

$\int sin^{2} x cos x d x$ は、何を $u$ とおくか？また、結果は？

$sin x = u$ とおく。 $\frac{1}{3} sin^{3} x + C$

$cos x d x = d u$ なので $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3} + C$ 。 $cos x$ が $sin x$ の微分になっていることに気づく。

$\int x e^{x^{2}} d x$ は、何を $u$ とおくか？また、結果は？

$x^{2} = u$ とおく。 $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

$2 x d x = d u$ から $x d x = \frac{1}{2} d u$ なので、 $\frac{1}{2} \int e^{u} d u$ 。かたまりの微分が定数倍だけずれていても、定数で調整すれば使える。

4. $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ の形

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(イ)

分子が分母の微分になっている分数は、 $g (x) = u$ とおくと $\int \frac{1}{u} d u$ になります。よく出るので公式として覚えます。

$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x$ は？

$lo g ∣ g (x)∣ + C$

$g (x) = u$ とおくと $g^{'} (x) d x = d u$ なので、 $\int \frac{1}{u} d u = lo g ∣ u ∣ + C$ 。絶対値を落とさない。

$\int tan x d x$ は？

$- lo g ∣ cos x ∣ + C$

$tan x = \frac{s i n x}{c o s x} = - \frac{( c o s x ) ^{'}}{c o s x}$ とみる。 $(cos x)^{'} = - sin x$ なので、マイナスがつく。

$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ は？

$\frac{1}{2} lo g (x^{2} + 1) + C$

$(x^{2} + 1)^{'} = 2 x$ なので、 $\frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{x ^{2} + 1}$ とみる。分子を分母の微分に合わせるための $\frac{1}{2}$ を忘れない。

$\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = lo g ∣ g (x)∣ + C$ の絶対値を外してよいのは、どんなときか？

$g (x)$ が常に正のとき

$x^{2} + 1 > 0$ 、 $e^{x} + 1 > 0$ なので、 $\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x = lo g (e^{x} + 1) + C$ と書ける。 $cos x$ や $lo g x$ は負にもなるので外せない。

練習問題

問 1　不定積分 $\int x (2 x - 1)^{3} d x$ を求めよ。

$\frac{( 2 x - 1 ) ^{4} ( 8 x + 1 )}{80} + C$

方針　 $(2 x - 1)^{3}$ を展開すると手間がかかる。 $2 x - 1 = t$ とおけば、累乗の中身が 1 文字になり、 $t$ の多項式の積分になる。 $x$ と $d x$ も $t$ で表す。

$2 x - 1 = t$ とおくと、 $x = \frac{t + 1}{2}$
$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2}$ なので、 $d x = \frac{1}{2} d t$
置きかえる。 $\int x (2 x - 1)^{3} d x = \int \frac{t + 1}{2} \cdot t^{3} \cdot \frac{1}{2} d t = \frac{1}{4} \int (t^{4} + t^{3}) d t$
積分する。 $\frac{1}{4} (\frac{t ^{5}}{5} + \frac{t ^{4}}{4}) + C = \frac{t ^{5}}{20} + \frac{t ^{4}}{16} + C$
通分して $t^{4}$ でくくる。 $\frac{4 t ^{5} + 5 t ^{4}}{80} + C = \frac{t ^{4} ( 4 t + 5 )}{80} + C$
$t = 2 x - 1$ を戻す。 $4 t + 5 = 4 (2 x - 1) + 5 = 8 x + 1$ なので、 $\frac{( 2 x - 1 ) ^{4} ( 8 x + 1 )}{80} + C$

問 2　不定積分 $\int x x + 1 d x$ を求めよ。

$\frac{2}{15} (3 x - 2) (x + 1) x + 1 + C$

方針　根号があると積の形のままでは積分できない。 $x + 1 = t$ とおいて根号を消し、 $t$ の多項式にする。

$x + 1 = t$ とおき、両辺を 2 乗する。 $x + 1 = t^{2}$ から、 $x = t^{2} - 1$
$\frac{d x}{d t} = 2 t$ なので、 $d x = 2 t d t$
置きかえる。 $\int x x + 1 d x = \int (t^{2} - 1) \cdot t \cdot 2 t d t = 2 \int (t^{4} - t^{2}) d t$
積分する。 $2 (\frac{t ^{5}}{5} - \frac{t ^{3}}{3}) + C = \frac{2}{5} t^{5} - \frac{2}{3} t^{3} + C$
通分して $t^{3}$ でくくる。 $\frac{6 t ^{5} - 10 t ^{3}}{15} + C = \frac{2}{15} t^{3} (3 t^{2} - 5) + C$
$x$ に戻す。 $t^{2} = x + 1$ なので $3 t^{2} - 5 = 3 (x + 1) - 5 = 3 x - 2$ 、 $t^{3} = t^{2} \cdot t = (x + 1) x + 1$
よって、 $\frac{2}{15} (3 x - 2) (x + 1) x + 1 + C$

問 3　不定積分 $\int \frac{( l o g x ) ^{2}}{x} d x$ を求めよ。

$\frac{1}{3} (lo g x)^{3} + C$

方針　 $\frac{1}{x}$ は $lo g x$ の微分。「かたまり $lo g x$ とその微分 $\frac{1}{x}$ 」が並んでいるので、 $lo g x = u$ とおく。

$lo g x = u$ とおくと、 $\frac{d u}{d x} = \frac{1}{x}$ なので、 $\frac{1}{x} d x = d u$
置きかえる。 $\int (lo g x)^{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \int u^{2} d u$
積分する。 $\frac{u ^{3}}{3} + C$
$u = lo g x$ を戻す。 $\frac{1}{3} (lo g x)^{3} + C$

問 4　不定積分 $\int x x^{2} + 1 d x$ を求めよ。

$\frac{1}{3} (x^{2} + 1) x^{2} + 1 + C$

方針　根号の中身 $x^{2} + 1$ の微分は $2 x$ で、根号の外の $x$ と定数倍しか違わない。 $x^{2} + 1 = u$ とおけば、 $x d x$ がまとめて $d u$ の定数倍になる。

$x^{2} + 1 = u$ とおくと、 $\frac{d u}{d x} = 2 x$ なので、 $x d x = \frac{1}{2} d u$
置きかえる。 $\int x^{2} + 1 \cdot x d x = \int u \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$
積分する。 $\int u^{\frac{1}{2}} d u = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ なので、 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$
$u^{\frac{3}{2}} = u u$ と書き、 $u = x^{2} + 1$ を戻す。 $\frac{1}{3} (x^{2} + 1) x^{2} + 1 + C$

問 5　不定積分 $\int \frac{1}{x l o g x} d x$ を求めよ。

$lo g ∣ lo g x ∣ + C$

方針　 $\frac{1}{x l o g x} = \frac{\frac{1}{x}}{l o g x}$ と書くと、分子が分母 $lo g x$ の微分になっている。 $\int \frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )} d x = lo g ∣ g (x)∣ + C$ が使える。

$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ なので、 $\frac{1}{x l o g x} = \frac{( l o g x ) ^{'}}{l o g x}$
公式で $g (x) = lo g x$ とする。 $\int \frac{( l o g x ) ^{'}}{l o g x} d x = lo g ∣ lo g x ∣ + C$

ここで間違えやすい　外側の絶対値を外して $lo g (lo g x) + C$ としない。 $lo g x$ は $0 < x < 1$ で負になる。内側は、もとの式に $lo g x$ があるので $x > 0$ であり、絶対値は要らない。

問 6　不定積分 $\int \frac{1}{e ^{x} + 1} d x$ を求めよ。

$x - lo g (e^{x} + 1) + C$

方針　分子が分母の微分 $e^{x}$ になっていれば $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ の形が使える。分子の 1 を $(e^{x} + 1) - e^{x}$ と書きかえて、その形を作り出す。

分子を書きかえる。 $1 = (e^{x} + 1) - e^{x}$
2 つの分数に分ける。 $\frac{1}{e ^{x} + 1} = \frac{( e ^{x} + 1 ) - e ^{x}}{e ^{x} + 1} = 1 - \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$
$\int 1 d x = x$
$(e^{x} + 1)^{'} = e^{x}$ なので、 $\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x = lo g ∣ e^{x} + 1 ∣$
$e^{x} + 1 > 0$ なので絶対値は外せて、 $lo g (e^{x} + 1)$
合わせて、 $x - lo g (e^{x} + 1) + C$

置換積分法

0. どういうまとまりか

1. 置換積分法の公式

2. ax+b=t、ax+b​=t とおく

3. かたまりとその微分を見つける

4. g(x)g′(x)​ の形

練習問題

2. $a x + b = t$ 、 $a x + b = t$ とおく

4. $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ の形