不定積分の基本公式｜高校数学Ⅲ

学習指導要領数学Ⅲ (3) 積分法ア (ア)「不定積分及び定積分の基本的な性質についての理解を深め，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。」。このノートは、微分の公式を逆向きに読んで得られる不定積分の基本公式を扱います。

0. どういうまとまりか

不定積分は微分の逆です。微分して $f (x)$ になる関数 $F (x)$ を 1 つ見つければ、 $\int f (x) d x = F (x) + C$ と書けます。
数学Ⅱでは多項式だけでしたが、数学Ⅲでは、微分法で導関数を求めた関数（累乗・三角関数・指数関数・対数関数）の公式を逆向きに読みます。
このフォルダは不定積分だけを扱い、定積分は次のフォルダで扱います。

関数	不定積分	条件・気をつけること
$x^{α}$	$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$	$α$ は実数で $α \neq = - 1$
$\frac{1}{x}$	$lo g ∣ x ∣ + C$	絶対値をつける
$sin x$	$- cos x + C$	マイナスがつく
$cos x$	$sin x + C$	マイナスはつかない
$\frac{1}{c o s ^{2} x}$	$tan x + C$
$\frac{1}{s i n ^{2} x}$	$- \frac{1}{t a n x} + C$	マイナスがつく
$e^{x}$	$e^{x} + C$
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{l o g a} + C$	$a > 0$ 、 $a \neq = 1$ 。 $lo g a$ で割る

分かれ目は次の 3 つ。

$\int \frac{1}{x} d x$ だけは累乗の公式が使えない（ $α = - 1$ では分母が 0 になる）。答えは $lo g ∣ x ∣ + C$ で、絶対値を落とさない
符号と、かけるか割るかは微分の逆。 $(cos x)^{'} = - sin x$ だから $\int sin x d x = - cos x + C$ 、 $(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ だから $\int a^{x} d x$ は $lo g a$ で割る
積や商の形は、そのままでは積分できない。展開する・割る・公式で書きかえるなどして、和・差の形に直してから項ごとに積分する

1. 不定積分と積分定数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

微分して $f (x)$ になる関数を $f (x)$ の原始関数といいます。原始関数は定数の差だけ無数にあるので、まとめて $F (x) + C$ と書きます。

関数 $f (x)$ の不定積分 $\int f (x) d x$ とは？

$F^{'} (x) = f (x)$ となる関数 $F (x)$ （原始関数）を 1 つとって、 $F (x) + C$ と表したもの。 $C$ は積分定数

定数は微分すると 0 になるので、 $F (x)$ に定数を足したものもすべて原始関数になる。 $C$ を落とさない。

求めた不定積分が正しいかどうかは、どうやって確かめるか？

答えを微分して、積分する前の関数 $f (x)$ に戻るかを見る

不定積分は微分の逆なので、公式を忘れても、微分の公式から作り直せる。

2. 累乗と $\frac{1}{x}$

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

数学Ⅲでは $(x^{α})^{'} = α x^{α - 1}$ が実数 $α$ で成り立つので、不定積分の公式も実数の指数まで広がります。 $x$ や $\frac{1}{x ^{2}}$ は、指数の形 $x^{\frac{1}{2}}$ 、 $x^{- 2}$ に直せばこの公式で積分できます（指数が整数でないときは $x > 0$ の範囲で考えます）。

$\int x^{α} d x$ は？（ $α$ は実数）

$\frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ 。ただし $α \neq = - 1$

指数を 1 増やし、増やしたあとの指数で割る。 $α$ が整数でないときは $x > 0$ の範囲で考える。 $\int x d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x x + C$ 、 $\int \frac{1}{x ^{2}} d x = \int x^{- 2} d x = - \frac{1}{x} + C$ 。

$\int \frac{1}{x} d x$ は？

$lo g ∣ x ∣ + C$

$α = - 1$ の場合にあたり、累乗の公式は使えない。対数は自然対数。

$\int \frac{1}{x} d x = lo g ∣ x ∣ + C$ に絶対値がつくのはなぜか？

$\frac{1}{x}$ は $x < 0$ でも定義されるが、 $lo g x$ は真数が正（ $x > 0$ ）でないと定義されないから。 $(lo g ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}$ は $x > 0$ でも $x < 0$ でも成り立つ

$x < 0$ のとき $lo g ∣ x ∣ = lo g (- x)$ で、微分すると $\frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ 。

3. 三角関数と指数関数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

三角関数は、微分の公式 $(sin x)^{'} = cos x$ 、 $(cos x)^{'} = - sin x$ 、 $(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ を逆向きに読みます。角は弧度法で表します。

$\int sin x d x$ は？

$- cos x + C$

$(cos x)^{'} = - sin x$ なので、マイナスをつけて打ち消す。 $(- cos x)^{'} = sin x$ 。

$\int cos x d x$ は？

$sin x + C$

$(sin x)^{'} = cos x$ をそのまま逆に読む。マイナスはつかない。

$\int \frac{1}{c o s ^{2} x} d x$ は？

$tan x + C$

$(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ を逆に読む。

$\int \frac{1}{s i n ^{2} x} d x$ は？

$- \frac{1}{t a n x} + C$

$(\frac{1}{t a n x})^{'} = (\frac{c o s x}{s i n x})^{'} = - \frac{1}{s i n ^{2} x}$ なので、マイナスがつく。

$\int a^{x} d x$ は？（ $a > 0$ 、 $a \neq = 1$ ）

$\frac{a ^{x}}{l o g a} + C$

$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ なので、 $lo g a$ で割って打ち消す。 $a = e$ のときは $lo g e = 1$ だから $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ 。

4. 定数倍・和・差と $f (a x + b)$

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

不定積分は、定数倍と和・差については項ごとに計算できます。また、 $x$ のところが 1 次式 $a x + b$ に変わっただけの関数は、公式の結果を $a$ で割れば積分できます。

関数の定数倍・和・差の不定積分の性質は？（ $k$ 、 $l$ は定数）

$\int {k f (x) + l g (x)} d x = k \int f (x) d x + l \int g (x) d x$

項ごとに積分し、積分定数は最後に 1 つだけつける。積 $f (x) g (x)$ や商 $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ には、これにあたる性質は無い。

$F^{'} (x) = f (x)$ のとき、 $\int f (a x + b) d x$ は？（ $a \neq = 0$ ）

$\frac{1}{a} F (a x + b) + C$

${F (a x + b)}^{'} = a F^{'} (a x + b)$ で $a$ が出てくるので、 $a$ で割って打ち消す。 $\int sin 3 x d x = - \frac{1}{3} cos 3 x + C$ 、 $\int \frac{1}{2 x + 1} d x = \frac{1}{2} lo g ∣ 2 x + 1 ∣ + C$ 。

5. 積分する前に式を変形する

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(3)-ア-(ア)

積や商の形は、和・差の形に直してから積分します。たとえば $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x}$ は、分子を展開して各項を $x$ で割ると $x + 2 + \frac{1}{x}$ になるので、
$\int \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + lo g ∣ x ∣ + C$ です。根号は指数に直し、三角関数は公式で書きかえます。

$\int tan^{2} x d x$ を求めるとき、 $tan^{2} x$ をどう書きかえるか？

$tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x} - 1$

$1 + tan^{2} x = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ から。 $\int tan^{2} x d x = \int (\frac{1}{c o s ^{2} x} - 1) d x = tan x - x + C$ 。

練習問題

問 1　不定積分 $\int (3 x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}}) d x$ を求めよ。

$x^{3} - 2 lo g ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + C$

方針　和・差の形なので項ごとに積分する。 $\frac{1}{x}$ は対数の公式、 $\frac{1}{x ^{2}}$ は $x^{- 2}$ と直して累乗の公式を使う。同じ分数の形でも使う公式が違う。

$3 x^{2}$ を積分する。 $\int 3 x^{2} d x = x^{3}$
$\frac{2}{x}$ を積分する。 $\int \frac{2}{x} d x = 2 lo g ∣ x ∣$
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ と直して積分する。指数を 1 増やして $- 1$ 、その $- 1$ で割るので、 $\int x^{- 2} d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{x}$
合わせて積分定数をつける。 $x^{3} - 2 lo g ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + C$
確かめる。微分すると $3 x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}}$ に戻る

ここで間違えやすい　 $\int \frac{1}{x ^{2}} d x$ を $lo g x^{2}$ としない。対数になるのは $\frac{1}{x}$ （指数が $- 1$ ）のときだけ。

問 2　不定積分 $\int \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x} d x$ を求めよ。

$x + 4 x + lo g x + C$

方針　商の形のままでは積分できないので、分子を展開して各項を $x$ で割り、和の形に直す。 $x$ は $x^{\frac{1}{2}}$ と指数に直して累乗の公式を使う。

分子を展開する。 $(x + 1)^{2} = x + 2 x + 1$
各項を $x$ で割る。 $\frac{x + 2 x + 1}{x} = 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x}$
指数に直す。 $\frac{2}{x} = 2 x^{- \frac{1}{2}}$
$\int 1 d x = x$
$\int 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$ は、指数を 1 増やして $\frac{1}{2}$ 、その $\frac{1}{2}$ で割るので、 $2 \times 2 x^{\frac{1}{2}} = 4 x$
$\int \frac{1}{x} d x = lo g ∣ x ∣$ 。 $x$ が分母にあるので $x > 0$ であり、 $lo g ∣ x ∣ = lo g x$
合わせて、 $x + 4 x + lo g x + C$

問 3　不定積分 $\int \frac{2 - c o s ^{3} x}{c o s ^{2} x} d x$ を求めよ。

$2 tan x - sin x + C$

方針　分子の各項を分母で割って、差の形に直す。すると $\frac{1}{c o s ^{2} x}$ と $cos x$ の公式がそのまま使える。

各項を $cos^{2} x$ で割る。 $\frac{2 - c o s ^{3} x}{c o s ^{2} x} = \frac{2}{c o s ^{2} x} - cos x$
$\int \frac{2}{c o s ^{2} x} d x = 2 tan x$
$\int cos x d x = sin x$
合わせて、 $2 tan x - sin x + C$

問 4　不定積分 $\int (e^{2 x} + 2^{x}) d x$ を求めよ。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{2 ^{x}}{l o g 2} + C$

方針　 $e^{2 x}$ は $e^{x}$ の $x$ が $2 x$ に変わった形なので、 $f (a x + b)$ の公式で $2$ で割る。 $2^{x}$ は $a^{x}$ の公式で $lo g 2$ で割る。

$\int e^{x} d x = e^{x}$ で、 $x$ が $2 x$ に変わっているので $2$ で割る。 $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}$
$a^{x}$ の公式で $a = 2$ とする。 $\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{l o g 2}$
合わせて、 $\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{2 ^{x}}{l o g 2} + C$
確かめる。 $(\frac{1}{2} e^{2 x})^{'} = e^{2 x}$ 、 $(\frac{2 ^{x}}{l o g 2})^{'} = \frac{2 ^{x} l o g 2}{l o g 2} = 2^{x}$

ここで間違えやすい　 $\int 2^{x} d x$ を $2^{x} lo g 2 + C$ としない。 $lo g 2$ をかけるのは微分のとき。積分では割る。

問 5　不定積分 $\int (2 x + 1 + \frac{1}{3 x - 2}) d x$ を求めよ。

$\frac{1}{3} (2 x + 1) 2 x + 1 + \frac{1}{3} lo g ∣ 3 x - 2 ∣ + C$

方針　どちらの項も、基本の関数の $x$ が 1 次式に変わった形。 $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ を使い、 $x$ の係数で割る。

$2 x + 1 = (2 x + 1)^{\frac{1}{2}}$ と直す
$\int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ なので、 $x$ を $2 x + 1$ にかえて $2$ で割る。 $\int (2 x + 1)^{\frac{1}{2}} d x = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}}$
$(2 x + 1)^{\frac{3}{2}} = (2 x + 1) 2 x + 1$ と書き直す
$\int \frac{1}{x} d x = lo g ∣ x ∣$ なので、 $x$ を $3 x - 2$ にかえて $3$ で割る。 $\int \frac{1}{3 x - 2} d x = \frac{1}{3} lo g ∣ 3 x - 2 ∣$
合わせて、 $\frac{1}{3} (2 x + 1) 2 x + 1 + \frac{1}{3} lo g ∣ 3 x - 2 ∣ + C$

問 6　 $F^{'} (x) = e^{x} + cos x$ 、 $F (0) = 3$ を満たす関数 $F (x)$ を求めよ。

$F (x) = e^{x} + sin x + 2$

方針　 $F (x)$ は $e^{x} + cos x$ の原始関数の 1 つなので、まず不定積分を求める。積分定数 $C$ は、条件 $F (0) = 3$ から決まる。

不定積分を求める。 $F (x) = \int (e^{x} + cos x) d x = e^{x} + sin x + C$
$x = 0$ を代入する。 $e^{0} = 1$ 、 $sin 0 = 0$ なので、 $F (0) = 1 + 0 + C = 1 + C$
$F (0) = 3$ から、 $1 + C = 3$
よって $C = 2$
$F (x) = e^{x} + sin x + 2$

不定積分の基本公式

0. どういうまとまりか

1. 不定積分と積分定数

2. 累乗と x1​

3. 三角関数と指数関数

4. 定数倍・和・差と f(ax+b)

5. 積分する前に式を変形する

練習問題

2. 累乗と $\frac{1}{x}$

4. 定数倍・和・差と $f (a x + b)$