近似式｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (2) 微分法ア (エ)「導関数を用いて，いろいろな曲線の接線の方程式を求めたり，いろいろな関数の値の増減，極大・極小，グラフの凹凸などを調べグラフの概形をかいたりすること。」。このノートは、曲線を接線で置きかえて関数の値を 1 次式で近似する方法と、それを使った近似値の計算を扱います。

0. どういうまとまりか

曲線 $y = f (x)$ は、接点のすぐ近くでは接線とほとんど重なります。そこで接点の近くでは、曲線の代わりに接線の式で値を計算してよい、というのが 1 次の近似式です。
点 $(a, f (a))$ における接線は $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ なので、 $x = a + h$ とおくと下の表の 1 行目になります。

使う場面	近似式
$h$ が 0 に近いとき	$f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$
$x$ が 0 に近いとき（上の式で $a = 0$ 、 $h = x$ ）	$f (x) ≒ f (0) + f^{'} (0) x$
$x$ が少しだけ変わるとき（微小変化）	$Δ y ≒ f^{'} (x) Δ x$

分かれ目は次の 3 つ。

近似式が使えるのは、 $h$ や $x$ が 0 に十分近いときだけ。0 から離れるほど、接線と曲線のずれ（誤差）は大きくなる
三角関数の近似式は弧度法の角で使う。 $3 1^{\circ}$ のような度の角は、ラジアンに直してから代入する
基準の点 $a$ は、 $f (a)$ と $f^{'} (a)$ がすぐ分かる値に選ぶ。 $1.02$ なら 1、 $sin 3 1^{\circ}$ なら $3 0^{\circ}$

1. 1 次の近似式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

微分係数の定義 $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ から、 $h$ が 0 に近いとき $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} ≒ f^{'} (a)$ です。これを $f (a + h)$ について解いたものが近似式です。

$h$ が 0 に近いとき、 $f (a + h)$ の 1 次の近似式は？

$f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$

$x = a$ での値 $f (a)$ に、「傾き $f^{'} (a)$ × 横にずれた分 $h$ 」を足す。 $f (x)$ が $x = a$ で微分可能であることが前提。

近似式 $f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$ は、図形的には曲線 $y = f (x)$ を何で置きかえているか？

点 $(a, f (a))$ における接線

接線 $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ に $x = a + h$ を代入すると、右辺の $f (a) + f^{'} (a) h$ になる。接点の近くでは曲線と接線がほとんど重なる。

$x$ が 0 に近いとき、 $f (x)$ の 1 次の近似式は？

$f (x) ≒ f (0) + f^{'} (0) x$

$f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$ で $a = 0$ 、 $h = x$ とおいたもの。 $f (0)$ と $f^{'} (0)$ の 2 つを求めれば作れる。

2. よく使う近似式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

$f (x) ≒ f (0) + f^{'} (0) x$ に関数を当てはめると、次の近似式が得られます。どれも $x$ が 0 に近いときの式です。

$x$ が 0 に近いとき、 $(1 + x)^{p}$ の 1 次の近似式は？（ $p$ は実数の定数）

$(1 + x)^{p} ≒ 1 + p x$

$f (x) = (1 + x)^{p}$ とすると $f (0) = 1$ 、 $f^{'} (x) = p (1 + x)^{p - 1}$ から $f^{'} (0) = p$ 。

$x$ が 0 に近いとき、 $1 + x$ と $\frac{1}{1 + x}$ の 1 次の近似式は？

$1 + x ≒ 1 + \frac{1}{2} x$ 、 $\frac{1}{1 + x} ≒ 1 - x$

$(1 + x)^{p} ≒ 1 + p x$ で、 $p = \frac{1}{2}$ 、 $p = - 1$ としたもの。

$x$ が 0 に近いとき、 $sin x$ の 1 次の近似式は？

$sin x ≒ x$

$f (x) = sin x$ とすると $f (0) = 0$ 、 $f^{'} (0) = cos 0 = 1$ 。 $x$ は弧度法の角。

$x$ が 0 に近いとき、 $cos x$ の 1 次の近似式は？

$cos x ≒ 1$

$f (x) = cos x$ とすると $f (0) = 1$ 、 $f^{'} (0) = - sin 0 = 0$ なので、 $x$ の 1 次の項が消える。

$x$ が 0 に近いとき、 $tan x$ の 1 次の近似式は？

$tan x ≒ x$

$f (x) = tan x$ とすると $f (0) = 0$ 、 $f^{'} (x) = \frac{1}{c o s ^{2} x}$ から $f^{'} (0) = 1$ 。

$x$ が 0 に近いとき、 $e^{x}$ の 1 次の近似式は？

$e^{x} ≒ 1 + x$

$f (x) = e^{x}$ とすると $f (0) = 1$ 、 $f^{'} (0) = e^{0} = 1$ 。右辺は、曲線 $y = e^{x}$ の点 $(0, 1)$ における接線の式。

$x$ が 0 に近いとき、 $lo g (1 + x)$ の 1 次の近似式は？

$lo g (1 + x) ≒ x$

$f (x) = lo g (1 + x)$ とすると $f (0) = lo g 1 = 0$ 、 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x}$ から $f^{'} (0) = 1$ 。

3. 近似値の計算

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

近似式に具体的な数を入れると、根号や三角関数の値のおよその値が手で計算できます。値がすぐ分かる点を基準にして、そこからのずれを $h$ や $x$ とします。

$sin 3 1^{\circ}$ の近似値を 1 次の近似式で求めるとき、角をどう扱うか？

弧度法に直し、 $3 1^{\circ} = \frac{π}{6} + \frac{π}{180}$ として、 $a = \frac{π}{6}$ 、 $h = \frac{π}{180}$ で $f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$ を使う

$(sin x)^{'} = cos x$ は弧度法でだけ成り立つ。 $h = 1$ （度のまま）としない。 $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ ラジアン。

$1.02$ の近似値を 1 次の近似式で求めると？

1.01

$1 + x ≒ 1 + \frac{1}{2} x$ で $x = 0.02$ とする。 $1.02 ≒ 1 + \frac{1}{2} \times 0.02 = 1.01$ 。

4. 微小変化

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(2)-ア-(エ)

$x$ が少しだけ変わったとき、 $y = f (x)$ がどれだけ変わるかも、同じ近似式で見積もれます。 $x$ の変化を $Δ x$ 、それに応じた $y$ の変化を $Δ y$ と書きます。

$y = f (x)$ で、 $x$ の変化 $Δ x$ が 0 に近いとき、 $y$ の変化 $Δ y$ の近似式は？

$Δ y ≒ f^{'} (x) Δ x$

$Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ に $f (x + Δ x) ≒ f (x) + f^{'} (x) Δ x$ を使ったもの。「導関数の値 × $x$ の変化」で $y$ の変化を見積もる。

練習問題

問 1　 $x$ が 0 に近いとき、関数 $\frac{1}{1 + x}$ の 1 次の近似式を作れ。

$\frac{1}{1 + x} ≒ 1 - \frac{1}{2} x$

方針　 $x$ が 0 に近いときの近似式は $f (x) ≒ f (0) + f^{'} (0) x$ 。 $f (0)$ と $f^{'} (0)$ を求めて代入する。 $\frac{1}{1 + x}$ は $(1 + x)^{- \frac{1}{2}}$ と書くと微分しやすい。

$f (x) = \frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{- \frac{1}{2}}$ とおく
$f (0) = 1$
微分する。 $f^{'} (x) = - \frac{1}{2} (1 + x)^{- \frac{3}{2}}$
$f^{'} (0) = - \frac{1}{2}$
$f (x) ≒ f (0) + f^{'} (0) x$ に代入して、 $\frac{1}{1 + x} ≒ 1 - \frac{1}{2} x$

$(1 + x)^{p} ≒ 1 + p x$ で $p = - \frac{1}{2}$ としても同じ式になる。

問 2　 $0.98$ の近似値を、1 次の近似式を用いて求めよ。

0.99

方針　 $0.98 = 1 + (- 0.02)$ で、 $- 0.02$ は 0 に近い。 $x$ が 0 に近いときの近似式 $1 + x ≒ 1 + \frac{1}{2} x$ は $x$ が負でも使えるので、 $x = - 0.02$ を代入する。

$f (x) = 1 + x$ とおくと、 $f (0) = 1$
微分する。 $f^{'} (x) = \frac{1}{2 1 + x}$ なので、 $f^{'} (0) = \frac{1}{2}$
よって $x$ が 0 に近いとき、 $1 + x ≒ 1 + \frac{1}{2} x$
$x = - 0.02$ を代入する。 $0.98 ≒ 1 + \frac{1}{2} \times (- 0.02) = 1 - 0.01 = 0.99$

実際の値は $0.98994 \dots$ で、近似値とのずれは 0.0001 より小さい。

問 3　 $3 1.006$ の近似値を、1 次の近似式を用いて求めよ。

1.002

方針　 $1.006 = 1 + 0.006$ で、0.006 は 0 に近い。3 乗根は $\frac{1}{3}$ 乗なので、 $(1 + x)^{p} ≒ 1 + p x$ で $p = \frac{1}{3}$ とした式に $x = 0.006$ を代入する。

$3 1 + x = (1 + x)^{\frac{1}{3}}$ と書く
$(1 + x)^{p} ≒ 1 + p x$ で $p = \frac{1}{3}$ とすると、 $3 1 + x ≒ 1 + \frac{1}{3} x$
$x = 0.006$ を代入する。 $3 1.006 ≒ 1 + \frac{1}{3} \times 0.006 = 1.002$

実際の値は $1.001996 \dots$ で、近似値とのずれは 0.00001 より小さい。

問 4　 $sin 3 1^{\circ}$ の近似値を、1 次の近似式を用いて小数第 3 位まで求めよ。ただし、 $π = 3.142$ 、 $3 = 1.732$ とする。

0.515

方針　値が分かる $3 0^{\circ}$ を基準にして、そこから $1^{\circ}$ ずれたとみる。 $f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$ を $f (x) = sin x$ で使うが、 $(sin x)^{'} = cos x$ は弧度法の式なので、角をラジアンに直してから代入する。

弧度法に直す。 $3 0^{\circ} = \frac{π}{6}$ 、 $1^{\circ} = \frac{π}{180}$ なので、 $3 1^{\circ} = \frac{π}{6} + \frac{π}{180}$
$f (x) = sin x$ とおくと $f^{'} (x) = cos x$ 。 $a = \frac{π}{6}$ 、 $h = \frac{π}{180}$ とする
$f (a) = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ 、 $f^{'} (a) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
近似式に代入する。 $sin 3 1^{\circ} ≒ \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{180} = \frac{1}{2} + \frac{3 π}{360}$
$3 π$ を計算する。 $1.732 \times 3.142 = 5.441944$
360 で割る。 $5.441944 \div 360 ≒ 0.0151$
よって $sin 3 1^{\circ} ≒ 0.5 + 0.0151 = 0.5151$ 。小数第 3 位までで 0.515

ここで間違えやすい　 $h = 1$ として $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times 1$ としない。ずれは $1^{\circ}$ だが、近似式に入れる $h$ はラジアンの $\frac{π}{180}$ （約 0.0175）。

問 5　1 辺の長さが 10 cm の立方体の各辺が、0.03 cm ずつ長くなった。体積はおよそ何 cm³ 増えたか。微小変化の近似式を用いて求めよ。

約 9 cm³

方針　1 辺の長さを $x$ 、体積を $V$ とすると $V = x^{3}$ 。 $x$ の変化 $Δ x = 0.03$ は 10 に比べて十分小さいので、 $Δ V ≒ V^{'} Δ x$ で体積の変化を見積もる。

1 辺の長さを $x$ cm、体積を $V$ cm³ とすると、 $V = x^{3}$
微分する。 $\frac{d V}{d x} = 3 x^{2}$
微小変化の近似式から、 $Δ V ≒ 3 x^{2} Δ x$
$x = 10$ のとき $3 x^{2}$ の値は $3 \times 1 0^{2} = 300$
$Δ x = 0.03$ を代入する。 $Δ V ≒ 300 \times 0.03 = 9$

実際の増加は $10.0 3^{3} - 1 0^{3} = 9.027027$ cm³ で、近似値とのずれは 0.03 cm³ ほど。

問 6　球の半径が 1 % 増えると、体積はおよそ何 % 増えるか。微小変化の近似式を用いて求めよ。

約 3 %

方針　何 % 増えるかは、変化の量を元の量で割った比 $\frac{Δ V}{V}$ で表される。 $Δ V ≒ \frac{d V}{d r} Δ r$ で体積の変化を求め、それを $V$ で割って、半径の変化の比 $\frac{Δ r}{r}$ で表す。

半径を $r$ 、体積を $V$ とすると、 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$
微分する。 $\frac{d V}{d r} = 4 π r^{2}$
微小変化の近似式から、 $Δ V ≒ 4 π r^{2} Δ r$
両辺を $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ で割る。 $\frac{Δ V}{V} ≒ \frac{4 π r ^{2} Δ r}{\frac{4}{3} π r ^{3}} = 3 \cdot \frac{Δ r}{r}$
半径が 1 % 増えるので $\frac{Δ r}{r} = 0.01$ 。よって $\frac{Δ V}{V} ≒ 3 \times 0.01 = 0.03$
体積は約 3 % 増える

実際の増加の比は $1.0 1^{3} - 1 = 0.030301$ で、約 3.03 %。