無限級数｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (イ)「無限級数の収束，発散について理解し，無限等比級数などの簡単な無限級数の和を求めること。」。このノートは、限りなく続く和の意味を部分和の極限として定め、収束・発散の判定と、部分分数に分けて求める和を扱います。

0. どういうまとまりか

無限数列の項を順にたしていった式 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ を無限級数といいます。限りなくたし続けることはできないので、
第 $n$ 項までの和（部分和） $S_{n}$ を作り、数列 ${S_{n}}$ の極限で「和」を定めます。無限級数の収束・発散は、部分和の数列の収束・発散のことです。

部分和の数列 ${S_{n}}$	無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$
$S$ に収束する	収束する。和は $S$
発散する	発散する。和はない

分かれ目は次の 3 つ。

調べるのは項 $a_{n}$ の極限ではなく、部分和 $S_{n}$ の極限。 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を和と取り違えない
「 $\sum a_{n}$ が収束するならば $a_{n}$ は 0 に収束する」は正しいが、逆は成り立たない。 $a_{n}$ が 0 に収束しても、無限級数が収束するとは限らない
項を勝手にまとめたり、順序を入れかえたりしない。かっこのない無限級数は、項を 1 つずつたした部分和で調べる

1. 無限級数と部分和

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

「限りなく続く和」を、数列の極限のことばに言いかえます。

無限級数とは？

無限数列 ${a_{n}}$ の各項を、順に $+$ でつないだ式 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} + \dots$

記号では $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ と書く。 $a_{1}$ を初項、 $a_{n}$ を第 $n$ 項という。

無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ の部分和 $S_{n}$ とは？

初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

$S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots$ は 1 つの数列になる。無限級数は、この数列 ${S_{n}}$ の極限で調べる。

無限級数が収束するとは？また、その和とは？

部分和の数列 ${S_{n}}$ が収束すること。その極限値 $S$ を無限級数の和という

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S$ と書く。和は「全部たした結果」ではなく、部分和の極限値として定める。

無限級数が発散するとは？

部分和の数列 ${S_{n}}$ が発散すること

${S_{n}}$ が正の無限大・負の無限大に発散するときも、振動するときも、無限級数は発散するという。発散する無限級数に和はない。

2. 部分分数に分けて求める和

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

部分和 $S_{n}$ を $n$ の式で表せれば、あとは数列の極限です。分数の積の形は、差の形に分けると途中の項が消えます。

$\frac{1}{k ( k + 1 )}$ を、2 つの分数の差に分けると？

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

右辺を通分すると $\frac{( k + 1 ) - k}{k ( k + 1 )}$ で、左辺に戻る。 $\frac{1}{k ( k + 2 )}$ のように分母の 2 数の差が 2 のときは、 $\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ と係数が付く。

無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ( n + 1 )}$ の和は？

部分和は $S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}$ 。これが 1 に収束する。

無限級数の和を求めるとき、計算の順序は？

まず部分和 $S_{n}$ を $n$ の式で表し、そのあとで $lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求める

部分和は有限個の和なので、項を消したりまとめたりしてよい。極限をとるのは、 $S_{n}$ が $n$ の式になってから。

3. 収束と項の極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

無限級数が収束するなら、たしていく項はしだいに 0 に近づかなければなりません。これは発散の判定に使えます。

無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が収束するとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ は？

$n ≧ 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 。和を $S$ とすると、 $S_{n}$ も $S_{n - 1}$ も $S$ に収束するので、 $a_{n}$ は $S - S = 0$ に収束する。

数列 ${a_{n}}$ が 0 に収束しないとき、無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ は収束するか、発散するか？

発散する

「収束するならば $a_{n}$ は 0 に収束する」の対偶。部分和を求めなくても発散がいえる。

「 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ならば、無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ は収束する」は正しいか？

正しくない。 $a_{n}$ が 0 に収束しても、発散する無限級数がある

$a_{n} = n + 1 - n$ は 0 に収束するが、部分和は $S_{n} = n + 1 - 1$ で正の無限大に発散する。 $a_{n}$ が 0 に収束することは、収束のための必要条件で、十分条件ではない。

4. 無限級数の性質

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

収束する無限級数どうしは、和や定数倍をふつうの数のように計算できます。収束が分かっていないものには使えません。

無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 、 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ が収束して、和がそれぞれ $S$ 、 $T$ のとき、 $\sum_{n = 1}^{\infty} (k a_{n} + l b_{n})$ は？（ $k$ 、 $l$ は定数）

収束して、和は $k S + l T$

2 つの無限級数がどちらも収束するときに限る。発散するものが混じるときは、分けて計算できない。

無限級数 $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ は収束するか、発散するか？

発散する

部分和は $1, 0, 1, 0, \dots$ で振動する。 $(1 - 1) + (1 - 1) + \dots$ とまとめて「和は 0」としてはいけない。項が 0 に収束しないことからも、発散が分かる。

かっこのない無限級数 $a_{1} - b_{1} + a_{2} - b_{2} + \dots$ の収束・発散は、部分和をどう調べるか？

偶数番目までの部分和 $S_{2 n}$ と、奇数番目までの部分和 $S_{2 n - 1}$ の両方の極限を調べる。両方が同じ値 $S$ に収束すれば、無限級数は収束して和は $S$ 。どちらかが収束しないか、極限値が一致しなければ発散

$S_{2 n}$ だけを調べるのは、項を 2 つずつかっこでまとめた別の無限級数を調べたことになる。

【発展】 $\frac{1}{n}$ は 0 に収束するのに、 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散する

無限級数 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$ は、項が 0 に収束するのに発散する。項を次のようにまとめて、 $\frac{1}{2}$ 以上のかたまりを作ると分かる。

1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \dots

1 つ目のかっこは、2 つの項がどちらも $\frac{1}{4}$ 以上なので、合わせて $\frac{1}{2}$ 以上。2 つ目のかっこは、4 つの項がどれも $\frac{1}{8}$ 以上なので、やはり $\frac{1}{2}$ 以上。
その次のかっこは 8 つの項がどれも $\frac{1}{16}$ 以上で、これも $\frac{1}{2}$ 以上になる。これがいくらでも続くので、第 $2^{m}$ 項までの部分和は

S_{2^{m}} ≧ 1 + \frac{m}{2}

を満たす。右辺は $m$ を大きくすると正の無限大に発散し、部分和は項が正なので増え続ける。よって部分和は正の無限大に発散する。
ここでのまとめ方は、有限個の和である部分和 $S_{2^{m}}$ の中での計算なので、項を勝手にまとめたことにはならない。

練習問題

問 1　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

収束して、和は $\frac{1}{2}$

方針　無限級数の収束・発散は、部分和 $S_{n}$ の極限で決まる。項が分数の積の形なので、2 つの分数の差に分けると、部分和の途中の項が消えて $S_{n}$ が $n$ の式で表せる。

分母の 2 数の差は $(2 k + 1) - (2 k - 1) = 2$ なので、 $\frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})$
$k = 1$ から $k = n$ まで並べてたす。 $S_{n} = \frac{1}{2} {(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1})}$
となり合うかっこの $- \frac{1}{3}$ と $\frac{1}{3}$ 、 $- \frac{1}{5}$ と $\frac{1}{5}$ などが消えて、最初と最後だけが残る。 $S_{n} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1})$
$\frac{1}{2 n + 1}$ は 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{2} \times (1 - 0) = \frac{1}{2}$
部分和が収束するので、無限級数は収束し、和は $\frac{1}{2}$

ここで間違えやすい　手順 1 の係数 $\frac{1}{2}$ を落とさない。 $\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1}$ を通分すると分子は 2 になるので、 $\frac{1}{2}$ をかけて元に戻す。

問 2　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2 n + 1}$ の収束、発散を調べよ。

発散する

方針　部分和を $n$ の式で表すのは難しい。先に項 $a_{n}$ の極限を見る。 $a_{n}$ が 0 に収束しなければ、無限級数は発散する。

第 $n$ 項は $a_{n} = \frac{n}{2 n + 1}$ 。分母と分子を $n$ で割って、 $a_{n} = \frac{1}{2 + \frac{1}{n}}$
$\frac{1}{n}$ は 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{1}{2}$
$a_{n}$ が 0 に収束しないので、この無限級数は発散する

ここで間違えやすい　「 $a_{n}$ が $\frac{1}{2}$ に収束するから、無限級数は収束して和は $\frac{1}{2}$ 」としない。和は部分和の極限で、項の極限ではない。 $\frac{1}{2}$ に近い数をたし続ければ、部分和は限りなく大きくなる。

問 3　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ( n + 2 )}$ の和を求めよ。

$\frac{3}{4}$

方針　項を 2 つの分数の差に分けて、部分和の途中の項を消す。分母の 2 数が 2 だけ離れているので、消えるのは 1 つとばしの項どうしで、最初の 2 つと最後の 2 つが残る。

分母の 2 数の差は 2 なので、 $\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$
$k = 1$ から $k = n$ まで並べてたす。 $S_{n} = \frac{1}{2} {(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})}$
たすほうは $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$ 、ひくほうは $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n + 2}$ 。共通する $\frac{1}{3}$ から $\frac{1}{n}$ までが消える
残るのは、たすほうの最初の 2 つと、ひくほうの最後の 2 つ。 $S_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$
$\frac{1}{n + 1}$ と $\frac{1}{n + 2}$ は 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

ここで間違えやすい　残る項を「最初の 1 つと最後の 1 つ」と決めつけて $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n + 2})$ としない。1 つとばしで消えるときは、前と後ろに 2 つずつ残る。 $n = 3$ くらいで実際に書き並べて確かめる。

問 4　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} lo g (1 + \frac{1}{n})$ の収束、発散を調べよ。

発散する（部分和が正の無限大に発散する）

方針　項は $lo g 1 = 0$ に収束するので、項の極限からは何もいえない。部分和を求める。 $1 + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n}$ と通分すれば、対数の性質で差の形になり、途中の項が消える。

通分する。 $1 + \frac{1}{k} = \frac{k + 1}{k}$
対数の性質から、 $lo g \frac{k + 1}{k} = lo g (k + 1) - lo g k$
$k = 1$ から $k = n$ まで並べてたす。 $S_{n} = (lo g 2 - lo g 1) + (lo g 3 - lo g 2) + \dots + (lo g (n + 1) - lo g n)$
途中の項が消えて、 $S_{n} = lo g (n + 1) - lo g 1 = lo g (n + 1)$
$n$ を大きくすると $lo g (n + 1)$ は限りなく大きくなるので、 $lim_{n \to \infty} S_{n} = \infty$ 。よって無限級数は発散する

問 5　無限級数 $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

収束して、和は 1

方針　かっこのない無限級数なので、項を 1 つずつたした部分和で調べる。奇数番目までの部分和 $S_{2 n - 1}$ と偶数番目までの部分和 $S_{2 n}$ を別々に求め、両方が同じ値に収束するかを見る。

項の並びを確かめる。奇数番目（第 $2 n - 1$ 項）は $\frac{1}{n}$ 、偶数番目（第 $2 n$ 項）は $- \frac{1}{n + 1}$
偶数番目までの部分和は、2 つずつ組にできる。 $S_{2 n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}$
よって $lim_{n \to \infty} S_{2 n} = 1 - 0 = 1$
奇数番目までの部分和は、 $S_{2 n}$ から第 $2 n$ 項をひいたもの。 $S_{2 n - 1} = S_{2 n} - (- \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} = 1$
よって $lim_{n \to \infty} S_{2 n - 1} = 1$
$S_{2 n}$ も $S_{2 n - 1}$ も 1 に収束するので、部分和の数列は 1 に収束する。無限級数は収束して、和は 1

ここで間違えやすい　手順 2・3 だけで終わらせない。 $S_{2 n}$ が収束しても、 $S_{2 n - 1}$ が別の値に収束すれば発散になる（ $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ は $S_{2 n} = 0$ 、 $S_{2 n - 1} = 1$ ）。

問 6　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + n}$ の和を求めよ。

方針　分母は 1 から $n$ までの自然数の和で、 $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ と書ける（数学B）。すると項が分数の積の形になるので、2 つの分数の差に分けて部分和を求める。

$1 + 2 + \dots + k = \frac{k ( k + 1 )}{2}$ なので、第 $k$ 項は $\frac{2}{k ( k + 1 )}$
差に分ける。 $\frac{2}{k ( k + 1 )} = 2 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$
$k = 1$ から $k = n$ まで並べてたす。 $S_{n} = 2 {(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})}$
途中の項が消えて、 $S_{n} = 2 (1 - \frac{1}{n + 1})$
$\frac{1}{n + 1}$ は 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} S_{n} = 2 \times (1 - 0) = 2$