無限等比級数｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (イ)「無限級数の収束，発散について理解し，無限等比級数などの簡単な無限級数の和を求めること。」。このノートは、等比数列から作る無限級数の収束条件と和の公式、それを使う循環小数と図形の問題を扱います。

0. どういうまとまりか

初項 $a$ 、公比 $r$ の無限等比数列から作った無限級数 $a + a r + a r^{2} + \dots$ を無限等比級数といいます。
部分和が等比数列の和の公式で $n$ の式に表せるので、収束・発散と和が $a$ と $r$ だけで決まります。

初項 $a$ と公比 $r$	無限等比級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$
$a = 0$	収束する。和は 0
$a \neq = 0$ 、 $∣ r ∣ < 1$	収束する。和は $\frac{a}{1 - r}$
$a \neq = 0$ 、 $∣ r ∣ ≧ 1$	発散する

分かれ目は次の 3 つ。

収束条件は「 $a = 0$ または $∣ r ∣ < 1$ 」。無限等比数列の収束条件 $- 1 < r ≦ 1$ と違い、 $r = 1$ は入らない
和の公式 $\frac{a}{1 - r}$ は、収束することを確かめてから使う。 $∣ r ∣ ≧ 1$ でも式の値は出てしまう
公式の $a$ は初項。 $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{n}$ の初項は $r$ で、1 ではない

1. 収束条件と和

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

初項 $a$ 、公比 $r$ （ $r \neq = 1$ ）の等比数列の、初項から第 $n$ 項までの和は $\frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ です（数学B）。これが部分和になります。

無限等比級数とは？

初項 $a$ 、公比 $r$ の無限等比数列から作った無限級数 $a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots$

記号では $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$ 。

無限等比級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$ が収束するための条件は？

$a = 0$ または $∣ r ∣ < 1$

$a = 0$ のときは、すべての項が 0 なので、 $r$ が何であっても収束する（和は 0）。

$a \neq = 0$ 、 $∣ r ∣ < 1$ のとき、無限等比級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$ の和は？

$\frac{a}{1 - r}$

「初項 ÷（1 − 公比）」。 $a = 0$ のときの和 0 も、この式に $a = 0$ を入れた値と一致する。

$a \neq = 0$ 、 $∣ r ∣ ≧ 1$ のとき、無限等比級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$ は収束するか、発散するか？

発散する

このとき第 $n$ 項 $a r^{n - 1}$ の絶対値は $∣ a ∣$ 以上で、項が 0 に収束しない。

無限等比級数の和の公式 $\frac{a}{1 - r}$ は、部分和からどう導かれるか？

$r \neq = 1$ のとき部分和は $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ 。 $∣ r ∣ < 1$ なら $r^{n}$ が 0 に収束するので、 $S_{n}$ は $\frac{a}{1 - r}$ に収束する

無限級数の和は、部分和の極限値。公式は、等比数列の和の公式で $r^{n}$ を 0 に置きかえた形になっている。

公比が $r = 1$ のとき、無限等比数列 ${a r^{n - 1}}$ と無限等比級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a r^{n - 1}$ の収束・発散はどう違うか？（ $a \neq = 0$ ）

数列は $a$ に収束するが、無限等比級数は発散する

数列は $a, a, a, \dots$ 。無限等比級数の部分和は $S_{n} = na$ で、正または負の無限大に発散する。数列の収束条件は $- 1 < r ≦ 1$ 、無限等比級数の収束条件は $- 1 < r < 1$ （どちらも $a \neq = 0$ のとき）。

$∣ r ∣ < 1$ のとき、 $\sum_{n = 1}^{\infty} r^{n}$ の和は？

$\frac{r}{1 - r}$

初項は $n = 1$ を入れた $r$ で、1 ではない。和の公式の $a$ には、必ず第 1 項を入れる。

2. 循環小数

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

同じ数字の並びをくり返す循環小数は、無限等比級数の和として分数に直せます。

循環小数 $0.333 \dots$ を無限等比級数とみると、初項と公比は？また、和は？

初項 $\frac{3}{10}$ 、公比 $\frac{1}{10}$ 。和は $\frac{1}{3}$

$0.3 + 0.03 + 0.003 + \dots$ とみる。公比の絶対値が 1 より小さいので収束し、和は $\frac{3}{10} \div (1 - \frac{1}{10})$ で $\frac{1}{3}$ 。

くり返す部分（循環節）が 2 桁の循環小数を無限等比級数とみると、公比は？

$\frac{1}{100}$

$0.272727 \dots$ は $0.27 + 0.0027 + 0.000027 + \dots$ 。循環節が $k$ 桁なら、公比は $\frac{1}{1 0 ^{k}}$ 。

3. 収束する範囲と応用

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(イ)

初項や公比が $x$ の式のときは、収束条件を $x$ の条件に直します。図形の問題では、相似比が公比になります。

初項や公比が $x$ の式で表された無限等比級数が収束するような $x$ の範囲は、どう求めるか？

「初項 $= 0$ 」となる $x$ と、「公比の絶対値 $< 1$ 」を満たす $x$ を求め、合わせる

初項が 0 になる $x$ を落としやすい。和は、初項が 0 のとき 0、そうでないとき $\frac{a}{1 - r}$ と分けて答える。

相似な図形を、相似比 $k$ （ $0 < k < 1$ ）で次々に作っていくとき、長さの和と面積の和は、それぞれ公比がいくつの無限等比級数になるか？

長さの和は公比 $k$ 、面積の和は公比 $k^{2}$

面積比は相似比の 2 乗。となり合う 2 つの図形の関係から $k$ を求めれば、あとは初項と公比で和が出る。

$\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + b_{n})$ を $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ と分けて計算してよいのは、どんなときか？

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ と $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ がどちらも収束するとき

2 つの無限等比級数の和なら、それぞれの公比の絶対値が 1 より小さいことを確かめてから分ける。

練習問題

問 1　無限等比級数 $6 - 2 + \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \dots$ の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

収束して、和は $\frac{9}{2}$

方針　無限等比級数は、初項と公比が分かれば収束・発散と和が決まる。となり合う項の比から公比を求め、絶対値が 1 より小さいことを確かめてから和の公式を使う。

初項は $a = 6$
公比は、第 2 項を初項で割って $r = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{3} < 1$ なので、収束する
分母は $1 - (- \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$
和は $6 \div \frac{4}{3} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2}$

ここで間違えやすい　公比が負のとき、分母を $1 - \frac{1}{3}$ としない。 $1 - r$ の $r$ に $- \frac{1}{3}$ を入れるので、分母は $1 + \frac{1}{3}$ になる。

問 2　循環小数 $0.4181818 \dots$ （小数第 2 位から 18 をくり返す）を分数で表せ。

$\frac{23}{55}$

方針　くり返さない部分 $0.4$ と、くり返す部分 $0.018 + 0.00018 + \dots$ に分ける。くり返す部分は、循環節が 2 桁なので公比 $\frac{1}{100}$ の無限等比級数になる。

分ける。 $0.4181818 \dots = 0.4 + (0.018 + 0.00018 + 0.0000018 + \dots)$
かっこの中は、初項 $\frac{18}{1000}$ 、公比 $\frac{1}{100}$ の無限等比級数。公比の絶対値が 1 より小さいので収束する
かっこの中の和は、 $\frac{18}{1000} \div (1 - \frac{1}{100}) = \frac{18}{1000} \times \frac{100}{99} = \frac{18}{990} = \frac{1}{55}$
$0.4 = \frac{2}{5} = \frac{22}{55}$ とたして、 $\frac{22}{55} + \frac{1}{55} = \frac{23}{55}$

問 3　無限等比級数 $x + x (1 - x) + x (1 - x)^{2} + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。また、そのときの和を求めよ。

$0 ≦ x < 2$ 。和は、 $x = 0$ のとき 0、 $0 < x < 2$ のとき 1

方針　初項 $x$ 、公比 $1 - x$ の無限等比級数。収束条件は「初項 $= 0$ 」または「公比の絶対値 $< 1$ 」なので、両方の $x$ を求めて合わせる。和は、初項が 0 のときと、そうでないときに分ける。

初項が 0 になるのは $x = 0$ 。このときすべての項が 0 なので収束し、和は 0
公比の条件は $∣ 1 - x ∣ < 1$ 。絶対値をはずして、 $- 1 < 1 - x < 1$
各辺から 1 をひいて、 $- 2 < - x < 0$
各辺に $- 1$ をかけると不等号の向きが変わり、 $0 < x < 2$
手順 1 と手順 4 を合わせて、収束する範囲は $0 ≦ x < 2$
$0 < x < 2$ のときの和は、 $\frac{x}{1 - ( 1 - x )} = \frac{x}{x} = 1$

ここで間違えやすい　2 か所ある。公比の条件だけで $0 < x < 2$ と答えると、 $x = 0$ が抜ける（ $x = 0$ のとき公比は 1 だが、初項が 0 なので収束する）。また、和を「1」とだけ答えると、 $x = 0$ のときの和 0 が抜ける。

問 4　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}}$ の和を求めよ。

$\frac{3}{2}$

方針　項を 2 つの分数に分けると、それぞれが等比数列の項になる。2 つの無限等比級数がどちらも収束することを確かめれば、和を別々に求めてたせる。

項を分ける。 $\frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}} = (\frac{2}{6})^{n} + (\frac{3}{6})^{n} = (\frac{1}{3})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n}$ は、初項 $\frac{1}{3}$ 、公比 $\frac{1}{3}$ の無限等比級数。公比の絶対値が 1 より小さいので収束し、和は $\frac{1}{3} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$
$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n}$ は、初項 $\frac{1}{2}$ 、公比 $\frac{1}{2}$ の無限等比級数。これも収束し、和は $\frac{1}{2} \div \frac{1}{2} = 1$
どちらも収束するので、和は別々に求めてたしてよい。 $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

ここで間違えやすい　初項を 1 としない。 $n$ は 1 から始まるので、初項は $n = 1$ を入れた $\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{2}$ 。初項を 1 とすると、2 つの和が $\frac{3}{2}$ と 2 になり、合計が $\frac{7}{2}$ になってしまう。

問 5　1 辺の長さが 2 の正方形 $A_{1}$ がある。 $A_{1}$ の各辺の中点を結んで正方形 $A_{2}$ を作り、 $A_{2}$ の各辺の中点を結んで正方形 $A_{3}$ を作る。これを限りなく続けるとき、(1) すべての正方形の面積の総和　(2) すべての正方形の周の長さの総和　を求めよ。

(1) 8　(2) $16 + 82$

方針　となり合う正方形 $A_{n}$ と $A_{n + 1}$ の 1 辺の長さの比（相似比）を求める。正方形はすべて相似なので、周の長さは相似比を公比とする等比数列に、面積は相似比の 2 乗を公比とする等比数列になる。

$A_{n}$ の 1 辺の長さを $l_{n}$ とする。 $A_{n + 1}$ の 1 辺は、 $A_{n}$ のかどにできる直角二等辺三角形（直角をはさむ辺が $\frac{l _{n}}{2}$ ）の斜辺にあたる
直角二等辺三角形の斜辺は、直角をはさむ辺の $2$ 倍なので、 $l_{n + 1} = \frac{l _{n}}{2} \times 2 = \frac{l _{n}}{2}$ 。相似比は $\frac{1}{2}$
(1) 面積の公比は、相似比の 2 乗で $\frac{1}{2}$ 。初項は $A_{1}$ の面積 4
公比の絶対値が 1 より小さいので収束し、面積の総和は $4 \div (1 - \frac{1}{2}) = 8$
(2) 周の長さの公比は、相似比と同じ $\frac{1}{2}$ 。初項は $A_{1}$ の周の長さ 8
$\frac{1}{2}$ は約 0.71 で、絶対値が 1 より小さいので収束する。総和は $8 \div (1 - \frac{1}{2})$
分母は $1 - \frac{1}{2} = \frac{2 - 1}{2}$ なので、総和は $\frac{8 2}{2 - 1}$
分母と分子に $2 + 1$ をかけて有理化する。分母は $2 - 1 = 1$ になるので、総和は $82 (2 + 1) = 16 + 82$

問 6　座標平面上で、点 P が原点を出発し、 $x$ 軸の正の向きに 1、次に $y$ 軸の正の向きに $\frac{1}{2}$ 、次に $x$ 軸の負の向きに $\frac{1}{4}$ 、次に $y$ 軸の負の向きに $\frac{1}{8}$ 進む。以下同じように、向きを右、上、左、下の順にくり返しながら、進む長さを毎回 $\frac{1}{2}$ 倍にして進み続ける。点 P が限りなく近づく点の座標を求めよ。

$(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$

方針　 $x$ 座標と $y$ 座標を別々に考える。 $x$ 座標が変わるのは 1 回目、3 回目、5 回目……の移動で、向きが交互に変わる。 $y$ 座標も同じ。それぞれが無限等比級数になるので、公比を求めて和を出す。

$x$ 座標の変化を順に並べる。 $1, - \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, - \frac{1}{64}, \dots$
これは初項 1、公比 $- \frac{1}{4}$ の等比数列（長さは 2 回ぶんで $\frac{1}{4}$ 倍、向きは逆になる）
公比の絶対値が 1 より小さいので収束する。和は $1 \div (1 + \frac{1}{4}) = 1 \div \frac{5}{4} = \frac{4}{5}$
$y$ 座標の変化を順に並べる。 $\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{1}{32}, \dots$
これは初項 $\frac{1}{2}$ 、公比 $- \frac{1}{4}$ の等比数列で、同じく収束する。和は $\frac{1}{2} \div \frac{5}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$
よって、点 P は点 $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$ に限りなく近づく

ここで間違えやすい　公比を $\frac{1}{2}$ や $\frac{1}{4}$ としない。 $x$ 座標だけを取り出すと、移動は 1 つとばしなので長さは $\frac{1}{4}$ 倍、しかも向きが逆なので、公比は $- \frac{1}{4}$ 。