分数関数｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (ウ)「簡単な分数関数と無理関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること。」。このノートは、分母が一次式の分数関数のグラフを、漸近線と平行移動で読むことを扱います。

0. どういうまとまりか

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ のように、 $x$ の分数式で表される関数が分数関数です。ここで扱うのは分母が一次式のものです。
どれも割り算をすると $y = \frac{k}{x - p} + q$ の形に直せるので、反比例のグラフ $y = \frac{k}{x}$ を平行移動したものとして読めます。
グラフが限りなく近づいていく直線を漸近線といい、これを先にかくとグラフが決まります。

式	グラフ	漸近線	定義域	値域
$y = \frac{k}{x}$	原点に関して対称な双曲線	$x = 0$ （ $y$ 軸）、 $y = 0$ （ $x$ 軸）	$x \neq = 0$	$y \neq = 0$
$y = \frac{k}{x - p} + q$	上のグラフを $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動	$x = p$ 、 $y = q$	$x \neq = p$	$y \neq = q$

分かれ目は次の 3 つ。

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ は、まず割り算で $y = \frac{k}{x - p} + q$ に直す。漸近線が $x = p$ 、 $y = q$ と分かってからグラフをかく
グラフと直線の共有点は分母をはらって求めるが、分母を 0 にする解は捨てる
分数不等式で両辺に分母をかけるなら、分母の符号で場合分けする（負の数をかけると不等号の向きが変わる）。グラフの上下で読むほうが落としにくい

1. $y = \frac{k}{x}$ のグラフ

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ウ)

中学で学んだ反比例のグラフが出発点です。 $k$ の符号でグラフのある場所が変わります。

分数関数とはどんな関数か？

$x$ の分数式で表される関数。 $y = \frac{2}{x}$ 、 $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ など

定義域は、分母を 0 にする $x$ を除いた実数全体。数学Ⅲでは分母が一次式のものを扱う。

$y = \frac{k}{x}$ のグラフは、 $k$ の符号によってどの象限にあるか？

$k > 0$ のとき第 1 象限と第 3 象限、 $k < 0$ のとき第 2 象限と第 4 象限

$k > 0$ なら $x$ と $y$ は同じ符号、 $k < 0$ なら異なる符号になるから。グラフは原点に関して対称な双曲線。

$y = \frac{k}{x}$ のグラフの漸近線は？

$x$ 軸（直線 $y = 0$ ）と $y$ 軸（直線 $x = 0$ ）

漸近線は、グラフが限りなく近づいていく直線。 $∣ x ∣$ を大きくすると $y$ は 0 に近づき、 $x$ を 0 に近づけると $∣ y ∣$ は限りなく大きくなる。

$y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）は「定義域全体で減少する」と言えるか？

言えない。 $x < 0$ の範囲と $x > 0$ の範囲の、それぞれの中で減少する

$y = \frac{1}{x}$ で $x = - 1$ のとき $y = - 1$ 、 $x = 1$ のとき $y = 1$ 。 $x = 0$ をまたぐと $y$ は増えている。値域を調べるときは、定義域が $x = 0$ （漸近線）をまたぐかどうかを先に見る。

2. 平行移動と漸近線

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ウ)

$y = \frac{k}{x - p} + q$ の形になれば、漸近線もグラフの位置もすぐ読めます。 $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ は、分子を分母で割ってこの形に直します。

$y = \frac{k}{x - p} + q$ のグラフは、 $y = \frac{k}{x}$ のグラフをどう移動したものか？

$x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したもの

$y = \frac{2}{x - 1} + 3$ なら、 $y = \frac{2}{x}$ を $x$ 軸方向に 1、 $y$ 軸方向に 3。 $y = \frac{2}{x + 1}$ は $x$ 軸方向に $- 1$ （符号に注意）。

$y = \frac{k}{x - p} + q$ のグラフの漸近線は？

2 直線 $x = p$ 、 $y = q$

$y = \frac{k}{x}$ の漸近線 $x = 0$ 、 $y = 0$ も、グラフと一緒に平行移動する。グラフをかくときは、漸近線を先にかく。

$y = \frac{k}{x - p} + q$ （ $k \neq = 0$ ）の定義域と値域は？

定義域は $x \neq = p$ 、値域は $y \neq = q$

$\frac{k}{x - p}$ は 0 以外のすべての値をとるので、 $y$ は $q$ 以外のすべての値をとる。定義域が区間に制限されているときは、端の値と漸近線の位置から値域を読む。

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ を $y = \frac{k}{x - p} + q$ の形に直すには、どうするか？

分子を分母で割る（分子の中に分母の形を作る）

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ なら、 $2 x + 1 = 2 (x - 1) + 3$ なので $y = \frac{2 ( x - 1 ) + 3}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + 2$ 。

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ （ $c \neq = 0$ 、 $a d - b c \neq = 0$ ）の漸近線は？

2 直線 $x = - \frac{d}{c}$ 、 $y = \frac{a}{c}$

縦の漸近線は分母が 0 になる $x$ 、横の漸近線は $x$ の係数の比。 $a d - b c = 0$ のときは約分されて定数になり、分数関数にならない。

3. グラフと直線の共有点

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ウ)

共有点の $x$ 座標は、2 つの式を等しいとおいた方程式の実数解です。分母をはらうと二次方程式になります。

分数関数 $y = \frac{k}{x - p} + q$ のグラフと直線 $y = m x + n$ の共有点の $x$ 座標は、どう求めるか？

$\frac{k}{x - p} + q = m x + n$ とおき、両辺に $x - p$ をかけて分母をはらい、できた方程式を解く

$m \neq = 0$ なら二次方程式になる。共有点の個数は、その実数解の個数（判別式）で調べられる。

分数方程式の分母をはらって得た解のうち、捨てなければならないのはどんな解か？

もとの式の分母を 0 にする解

分母をはらう（両辺に $x - p$ をかける）変形は $x \neq = p$ のときだけ正しい。 $x = p$ が解に出てきたら、それはもとの方程式の解ではない。

4. 分数不等式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ウ)

分数式を含む不等式は、グラフの上下で読むのが確実です。式だけで解くときは、分母の符号に気をつけます。

不等式 $\frac{k}{x - p} + q > m x + n$ をグラフで解くには、どうするか？

曲線 $y = \frac{k}{x - p} + q$ が直線 $y = m x + n$ より上側にある $x$ の値の範囲を読む

先に共有点の $x$ 座標を求める。範囲の区切りになるのは、共有点の $x$ 座標と、漸近線の $x = p$ 。 $x = p$ は定義域に入らないので、答えに含めない。

分数不等式の両辺に分母 $x - p$ をかけるとき、何に注意するか？

$x - p$ の符号で場合分けする。 $x - p > 0$ のとき不等号の向きはそのまま、 $x - p < 0$ のとき向きが逆になる

場合分けを避けるなら、必ず正である $(x - p)^{2}$ を両辺にかける方法もある（不等号の向きは変わらない）。

練習問題

問 1　関数 $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ のグラフの漸近線と、この関数の定義域、値域を求めよ。

漸近線は 2 直線 $x = 1$ 、 $y = 2$ 。定義域は $x \neq = 1$ 、値域は $y \neq = 2$

方針　分子を分母で割って $y = \frac{k}{x - p} + q$ の形に直す。この形になれば、漸近線は $x = p$ 、 $y = q$ と読める。

分子の中に分母 $x - 1$ を作る。 $2 x + 1 = 2 (x - 1) + 2 + 1 = 2 (x - 1) + 3$
分けて書く。 $y = \frac{2 ( x - 1 ) + 3}{x - 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$
$y = \frac{3}{x - 1} + 2$ は、 $y = \frac{3}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に 1、 $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動したもの
よって漸近線は $x = 1$ と $y = 2$
分母が 0 になる $x = 1$ を除くので、定義域は $x \neq = 1$
$\frac{3}{x - 1}$ は 0 以外のすべての値をとるので、値域は $y \neq = 2$

問 2　関数 $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ （ $0 ≦ x ≦ 3$ ）の値域を求めよ。

$\frac{3}{2} ≦ y ≦ 3$

方針　 $y = \frac{k}{x - p} + q$ の形に直してグラフの位置をつかむ。定義域が漸近線 $x = p$ をまたいでいなければ、その範囲で増加か減少かのどちらかなので、両端の値を調べればよい。

分子の中に分母 $x + 1$ を作る。 $x + 3 = (x + 1) + 2$
$y = \frac{( x + 1 ) + 2}{x + 1} = 1 + \frac{2}{x + 1}$
漸近線は $x = - 1$ と $y = 1$ 。定義域 $0 ≦ x ≦ 3$ は $x > - 1$ の側にあり、漸近線 $x = - 1$ をまたがない
$x > - 1$ では、 $x$ が増えると $x + 1$ が正のまま大きくなり、 $\frac{2}{x + 1}$ は小さくなる。よってこの範囲で $y$ は減少する
$x = 0$ のとき $y = \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$
$x = 3$ のとき $y = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
減少するので、値域は $\frac{3}{2} ≦ y ≦ 3$

問 3　関数 $y = \frac{2}{x - 1}$ のグラフと直線 $y = x$ の共有点の座標を求めよ。

$(- 1, - 1)$ と $(2, 2)$

方針　共有点の $x$ 座標は、2 つの式を等しいとおいた方程式 $\frac{2}{x - 1} = x$ の解。分母をはらって二次方程式にし、出た解が分母を 0 にしないことを確かめる。

$\frac{2}{x - 1} = x$ とおく
両辺に $x - 1$ をかける。 $2 = x (x - 1)$
展開して整理する。 $2 = x^{2} - x$ から、 $x^{2} - x - 2 = 0$
因数分解する。 $(x + 1) (x - 2) = 0$
よって $x = - 1, 2$ 。どちらも分母 $x - 1$ を 0 にしないので、解として適する
直線 $y = x$ 上の点なので、 $x = - 1$ のとき $y = - 1$ 、 $x = 2$ のとき $y = 2$
共有点は $(- 1, - 1)$ と $(2, 2)$

問 4　不等式 $\frac{2}{x - 1} > x$ を解け。

$x < - 1$ 、 $1 < x < 2$

方針　曲線 $y = \frac{2}{x - 1}$ が直線 $y = x$ より上側にある $x$ の範囲を、グラフから読む。区切りになるのは、共有点の $x$ 座標と漸近線 $x = 1$ 。

共有点を求める。 $\frac{2}{x - 1} = x$ の両辺に $x - 1$ をかけて $2 = x^{2} - x$
$x^{2} - x - 2 = 0$ から $(x + 1) (x - 2) = 0$ なので、 $x = - 1, 2$
曲線の漸近線は $x = 1$ と $y = 0$ 。区切りは $x = - 1$ 、 $x = 1$ 、 $x = 2$ の 3 つで、数直線が 4 つの範囲に分かれる
$x < - 1$ の範囲。 $x = - 2$ で比べると、曲線は $\frac{2}{- 3} = - \frac{2}{3}$ 、直線は $- 2$ 。曲線が上
$- 1 < x < 1$ の範囲。 $x = 0$ で比べると、曲線は $\frac{2}{- 1} = - 2$ 、直線は $0$ 。曲線が下
$1 < x < 2$ の範囲。 $x = \frac{3}{2}$ で比べると、曲線は $2 \div \frac{1}{2} = 4$ 、直線は $\frac{3}{2}$ 。曲線が上
$x > 2$ の範囲。 $x = 3$ で比べると、曲線は $\frac{2}{2} = 1$ 、直線は $3$ 。曲線が下
曲線が上にあるのは、 $x < - 1$ と $1 < x < 2$

ここで間違えやすい　両辺にそのまま $x - 1$ をかけて $2 > x (x - 1)$ とし、 $- 1 < x < 2$ と答えてしまう。 $x < 1$ のときは $x - 1$ が負なので、不等号の向きが逆になる。

問 5　関数 $y = \frac{a x + b}{x + c}$ のグラフが、2 直線 $x = 2$ 、 $y = 3$ を漸近線とし、点 $(3, 5)$ を通る。定数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めよ。

$a = 3$ 、 $b = - 4$ 、 $c = - 2$

方針　漸近線が $x = 2$ 、 $y = 3$ である分数関数は $y = \frac{k}{x - 2} + 3$ と書ける。残る $k$ を、通る点から決める。最後に通分して、与えられた形と係数を比べる。

漸近線から、求める関数を $y = \frac{k}{x - 2} + 3$ とおく
点 $(3, 5)$ を通るので、 $5 = \frac{k}{3 - 2} + 3$
$5 = k + 3$ から、 $k = 2$
よって $y = \frac{2}{x - 2} + 3$
通分する。 $y = \frac{2 + 3 ( x - 2 )}{x - 2} = \frac{3 x - 4}{x - 2}$
$y = \frac{a x + b}{x + c}$ と比べて、 $a = 3$ 、 $b = - 4$ 、 $c = - 2$

問 6　曲線 $y = \frac{1}{x}$ と直線 $y = - x + k$ が共有点をもたないような、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$- 2 < k < 2$

方針　共有点の個数は、方程式 $\frac{1}{x} = - x + k$ の実数解の個数に等しい。分母をはらって二次方程式にし、判別式で実数解をもたない条件を出す。分母をはらうときは、分母を 0 にする $x$ が解に混じらないことを確かめる。

$\frac{1}{x} = - x + k$ とおく
両辺に $x$ をかける。 $1 = - x^{2} + k x$
整理する。 $x^{2} - k x + 1 = 0$
この方程式に $x = 0$ を代入すると左辺は $1$ で、0 にならない。 $x = 0$ は解でないので、この二次方程式の実数解の個数が、そのまま共有点の個数になる
判別式を $D$ とすると、 $D = k^{2} - 4$
共有点をもたない条件は $D < 0$ なので、 $k^{2} - 4 < 0$
$(k + 2) (k - 2) < 0$ から、 $- 2 < k < 2$

分数関数

0. どういうまとまりか

1. y=xk​ のグラフ

2. 平行移動と漸近線

3. グラフと直線の共有点

4. 分数不等式

練習問題

1. $y = \frac{k}{x}$ のグラフ