漸化式と極限｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (ア)「数列の極限について理解し，数列｛ $r^{n}$ ｝の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。」。このノートは、漸化式で定められた数列の極限を、一般項を求める方法と、不等式ではさむ方法の 2 通りで扱います。

0. どういうまとまりか

漸化式で定められた数列の極限は、一般項が求められるなら、一般項を出してから $r^{n}$ の極限に持ち込みます。
一般項が求められないときは、極限値の見当をつけて $α$ とし、 $∣ a_{n} - α ∣$ が 0 に収束することを不等式で示します。どちらも、最後は数列の極限の基本である $r^{n}$ の収束・発散に帰着します。

漸化式の形	進め方
$a_{n + 1} = p a_{n} + q$	$α = p α + q$ を引いて等比数列にし、一般項を求める
分数の形	問題の誘導（ $b_{n}$ のおき方）に従い、 $b_{n}$ の極限から $a_{n}$ に戻す
一般項が求められない形	$∣ a_{n + 1} - α ∣ ≦ r ∣ a_{n} - α ∣$ （ $0 < r < 1$ ）を作り、はさみうちの原理

分かれ目は次の 3 つ。

$α = p α + q$ を解いて出した $α$ は、極限値の候補にすぎない。収束することは別に示す（発散する数列でも $α$ は求まってしまう）
不等式の $r$ は、 $n$ によらない 1 より小さい定数。 $∣ a_{n + 1} - α ∣ < ∣ a_{n} - α ∣$ だけでは、 $α$ に収束するとはいえない
置きかえた数列 ${b_{n}}$ の極限を求めたら、 $a_{n}$ を $b_{n}$ で表し直して $a_{n}$ の極限に戻す

1. $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の一般項と極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

数学Bで学ぶ漸化式の解き方を使います。初項 $c$ 、公比 $p$ の等比数列の一般項は $c p^{n - 1}$ です。

漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p \neq = 1$ ）を等比数列の形に直すには？

$α = p α + q$ を満たす $α$ を求め、漸化式から辺々引いて $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ とする

数列 ${a_{n} - α}$ が、初項 $a_{1} - α$ 、公比 $p$ の等比数列になる。

漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p \neq = 1$ ）で定められる数列の一般項は？（ $α = p α + q$ の解を $α$ とする）

$a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}$

$a_{n} - α = (a_{1} - α) p^{n - 1}$ の $α$ を移項した形。 $α = \frac{q}{1 - p}$ 。

$a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}$ で $∣ p ∣ < 1$ のとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ は？

$α$

$∣ p ∣ < 1$ のとき $p^{n - 1}$ が 0 に収束するので、 $(a_{1} - α) p^{n - 1}$ の項が消える。初項 $a_{1}$ が何であっても同じ $α$ に収束する。

$a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}$ で $a_{1} \neq = α$ のとき、数列 ${a_{n}}$ が収束するための $p$ の条件は？（ $p \neq = 1$ ）

$∣ p ∣ < 1$

$p > 1$ のときは正または負の無限大に発散し、 $p ≦ - 1$ のときは振動する。 $a_{1} = α$ のときだけは、 $p$ によらずすべての項が $α$ になる。

2. 極限値の候補

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

一般項が求められない漸化式でも、収束すると仮定すれば、極限値が満たす式が作れます。

数列 ${a_{n}}$ が $α$ に収束するとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n + 1}$ は？

$α$

${a_{n + 1}}$ は ${a_{n}}$ の番号を 1 つずらしただけの数列なので、同じ値に収束する。

漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ で定められる数列が $α$ に収束すると仮定すると、 $α$ が満たす式は？

$α = p α + q$

漸化式の両辺で $n \to \infty$ とすると、左辺の $a_{n + 1}$ も右辺の $a_{n}$ も $α$ に収束する。 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ なら $α = α + 2$ というように、ほかの形の漸化式でも同じ考え方で候補が出る。

漸化式の $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を $α$ に置きかえた式を解いて $α$ が出たら、数列 ${a_{n}}$ は $α$ に収束するといえるか？

いえない。 $α$ は「収束するとしたらこの値」という候補で、収束することは別に示す必要がある

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ では $α = 2 α - 1$ から $α = 1$ が出るが、項は $2, 3, 5, 9, \dots$ で正の無限大に発散する。

3. 不等式で収束を示す

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

極限値の候補 $α$ と $a_{n}$ との差が、1 回ごとに一定の割合以下に縮むことを示せば、はさみうちの原理で収束がいえます。

正の定数 $r$ について、すべての $n$ で $∣ a_{n + 1} - α ∣ ≦ r ∣ a_{n} - α ∣$ が成り立つとき、 $∣ a_{n} - α ∣$ を $a_{1}$ を使って上からおさえると？

$∣ a_{n} - α ∣ ≦ r^{n - 1} ∣ a_{1} - α ∣$

不等式をくり返し使う。 $∣ a_{n} - α ∣ ≦ r ∣ a_{n - 1} - α ∣ ≦ r^{2} ∣ a_{n - 2} - α ∣ ≦ \dots$ と $n - 1$ 回使うと $a_{1}$ に届く。

$∣ a_{n} - α ∣ ≦ r^{n - 1} ∣ a_{1} - α ∣$ （ $0 < r < 1$ ）から、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ をどう示すか？

$0 ≦ ∣ a_{n} - α ∣ ≦ r^{n - 1} ∣ a_{1} - α ∣$ で、 $0 < r < 1$ から右辺は 0 に収束する。はさみうちの原理から $∣ a_{n} - α ∣$ が 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$

左側の「 $0 ≦$ 」を書き落とさない。両側からはさんで初めて、はさみうちの原理が使える。

すべての $n$ で $∣ a_{n + 1} - α ∣ < ∣ a_{n} - α ∣$ が成り立てば、数列 ${a_{n}}$ は $α$ に収束するといえるか？

いえない。 $n$ によらない定数 $r$ （ $0 < r < 1$ ）で $∣ a_{n + 1} - α ∣ ≦ r ∣ a_{n} - α ∣$ とおさえる必要がある

$a_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ 、 $α = 0$ とすると、 $∣ a_{n} ∣$ は減り続けるが、極限値は 1 で 0 ではない。差が縮むだけでは足りない。

$a_{n + 1} = a_{n} + 2$ のとき、 $a_{n + 1} - 2$ を $a_{n} - 2$ を使って表すには、どう変形するか？

分子を有理化する。 $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 - 2 = \frac{a _{n} - 2}{a _{n} + 2 + 2}$

分子は $(a_{n} + 2) - 4 = a_{n} - 2$ 。分母が 2 より大きいことから、 $∣ a_{n + 1} - 2 ∣ ≦ \frac{1}{2} ∣ a_{n} - 2 ∣$ が出る。

4. 分数の形の漸化式

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

$a_{n + 1} = \frac{p a _{n} + q}{r a _{n} + s}$ の形は、そのままでは等比数列になりません。入試では置きかえ方が問題文に示されます。

分数の形の漸化式 $a_{n + 1} = \frac{p a _{n} + q}{r a _{n} + s}$ で定められる数列の極限は、ふつうどう進めるか？

問題の誘導に従って $b_{n} = \frac{1}{a _{n} - α}$ や $b_{n} = \frac{a _{n} - β}{a _{n} - α}$ などとおき、 ${b_{n}}$ の漸化式に直して一般項を求め、 $a_{n}$ を $b_{n}$ で表し直して極限をとる

$α$ 、 $β$ は、 $x = \frac{p x + q}{r x + s}$ の解。置きかえると、 ${b_{n}}$ は等比数列や等差数列など、一般項が求められる形になる。

$a_{n} = \frac{2 b _{n} - 1}{b _{n} - 1}$ で $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ のとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ はどう求めるか？

分母と分子を $b_{n}$ で割って $\frac{2 - \frac{1}{b _{n}}}{1 - \frac{1}{b _{n}}}$ とし、 $\frac{1}{b _{n}}$ が 0 に収束することを使う。極限値は 2

$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、そのまま極限をとれない。 $n$ の分数式と同じ扱い。

練習問題

問 1　 $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 3$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項と、極限 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

$a_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n - 1}$ 、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 6$

方針　 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形なので、 $α = \frac{1}{2} α + 3$ を満たす $α$ を引いて等比数列に直す。一般項が出れば、 $(\frac{1}{2})^{n - 1}$ が 0 に収束することから極限が分かる。

$α = \frac{1}{2} α + 3$ を解く。 $\frac{1}{2} α = 3$ から、 $α = 6$
漸化式から $6 = \frac{1}{2} \times 6 + 3$ を辺々引いて、 $a_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} (a_{n} - 6)$
数列 ${a_{n} - 6}$ は、初項 $a_{1} - 6 = - 5$ 、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列。よって $a_{n} - 6 = - 5 (\frac{1}{2})^{n - 1}$
6 を移項して、 $a_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n - 1}$
$\frac{1}{2} < 1$ なので、 $(\frac{1}{2})^{n - 1}$ は 0 に収束する。よって $lim_{n \to \infty} a_{n} = 6 - 5 \times 0 = 6$

問 2　 $a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の極限を調べよ。

正の無限大に発散する（ $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ ）

方針　 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形なので、 $α = 3 α - 2$ を満たす $α$ を引いて一般項を求める。公比が 3 で 1 より大きいので、収束するかどうかは一般項を見て決める。

$α = 3 α - 2$ を解く。 $2 α = 2$ から、 $α = 1$
漸化式から $1 = 3 \times 1 - 2$ を辺々引いて、 $a_{n + 1} - 1 = 3 (a_{n} - 1)$
数列 ${a_{n} - 1}$ は、初項 $a_{1} - 1 = 1$ 、公比 3 の等比数列。よって $a_{n} - 1 = 3^{n - 1}$
1 を移項して、 $a_{n} = 1 + 3^{n - 1}$
$3 > 1$ なので $3^{n - 1}$ は正の無限大に発散する。よって ${a_{n}}$ も正の無限大に発散する

ここで間違えやすい　手順 1 で出た $α = 1$ を極限値と答えない。項は $2, 4, 10, 28, \dots$ と増えていく。 $α$ が極限値になるのは、公比の絶対値が 1 より小さいとき。

問 3　 $a_{1} = 3$ 、 $a_{n + 1} = \frac{4 a _{n} - 2}{a _{n} + 1}$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、 $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} - 2}$ とおく。(1) $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表せ。(2) $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

(1) $b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n}$ 　(2) $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$

方針　 $b_{n + 1}$ の分子 $a_{n + 1} - 1$ と分母 $a_{n + 1} - 2$ を、漸化式を使ってそれぞれ $a_{n}$ の式に直す。すると ${b_{n}}$ が等比数列になるので一般項が出る。最後に $a_{n}$ を $b_{n}$ で表し直して極限をとる。 $b_{n}$ の分母 $a_{n} - 2$ が 0 にならないことは、はじめに確かめておく。

$b_{n + 1}$ の分母を計算する。 $a_{n + 1} - 2 = \frac{4 a _{n} - 2}{a _{n} + 1} - 2 = \frac{( 4 a _{n} - 2 ) - 2 ( a _{n} + 1 )}{a _{n} + 1} = \frac{2 ( a _{n} - 2 )}{a _{n} + 1}$
$a_{1} = 3 > 2$ で、 $a_{n} > 2$ ならば手順 1 の右辺は分母も分子も正なので $a_{n + 1} > 2$ 。よって、すべての $n$ で $a_{n} > 2$ で、 $b_{n}$ の分母 $a_{n} - 2$ は 0 にならない
$b_{n + 1}$ の分子を計算する。 $a_{n + 1} - 1 = \frac{4 a _{n} - 2}{a _{n} + 1} - 1 = \frac{( 4 a _{n} - 2 ) - ( a _{n} + 1 )}{a _{n} + 1} = \frac{3 ( a _{n} - 1 )}{a _{n} + 1}$
割り算する。 $b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1} - 1}{a _{n + 1} - 2} = \frac{3 ( a _{n} - 1 )}{2 ( a _{n} - 2 )} = \frac{3}{2} b_{n}$ （(1) の答え）
初項は $b_{1} = \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2$ 。数列 ${b_{n}}$ は初項 2、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列なので、 $b_{n} = 2 (\frac{3}{2})^{n - 1}$
$a_{n}$ を $b_{n}$ で表す。 $b_{n} (a_{n} - 2) = a_{n} - 1$ を展開して $a_{n}$ を左辺に集めると、 $a_{n} (b_{n} - 1) = 2 b_{n} - 1$
$b_{n} ≧ 2$ なので $b_{n} - 1$ は 0 でない。両辺を割って、 $a_{n} = \frac{2 b _{n} - 1}{b _{n} - 1}$
$\frac{3}{2} > 1$ なので、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ 。このままでは不定形なので、分母と分子を $b_{n}$ で割って $a_{n} = \frac{2 - \frac{1}{b _{n}}}{1 - \frac{1}{b _{n}}}$
$\frac{1}{b _{n}}$ は 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{2 - 0}{1 - 0} = 2$

問 4　 $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、(1) $∣ a_{n + 1} - 2 ∣ ≦ \frac{1}{2} ∣ a_{n} - 2 ∣$ を示せ。(2) $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

(1) 下の手順 1〜4 のとおり　(2) $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$

方針　一般項が求められない形。収束すると仮定すれば $α = α + 2$ から $α = 2$ が候補になるので、 $a_{n}$ と 2 との差が 1 回ごとに半分以下になることを示し、はさみうちの原理で収束をいう。 $a_{n + 1} - 2$ は根号を含む差なので、有理化して $a_{n} - 2$ を取り出す。

$a_{1} = 1 > 0$ で、 $a_{n} > 0$ ならば $a_{n + 1} = a_{n} + 2 > 0$ 。よって、すべての $n$ で $a_{n} > 0$
分子を有理化する。 $a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 - 2 = \frac{( a _{n} + 2 ) - 4}{a _{n} + 2 + 2} = \frac{a _{n} - 2}{a _{n} + 2 + 2}$
$a_{n} + 2 > 0$ なので、分母は $a_{n} + 2 + 2 > 2$ 。よって $\frac{1}{a _{n} + 2 + 2} < \frac{1}{2}$
手順 2 の両辺の絶対値をとると、 $∣ a_{n + 1} - 2 ∣ = \frac{∣ a _{n} - 2 ∣}{a _{n} + 2 + 2} ≦ \frac{1}{2} ∣ a_{n} - 2 ∣$ （(1) が示せた）
(1) の不等式をくり返し使うと、 $∣ a_{n} - 2 ∣ ≦ (\frac{1}{2})^{n - 1} ∣ a_{1} - 2 ∣$
$a_{1} = 1$ なので $∣ a_{1} - 2 ∣$ は 1。よって $0 ≦ ∣ a_{n} - 2 ∣ ≦ (\frac{1}{2})^{n - 1}$
$(\frac{1}{2})^{n - 1}$ は 0 に収束するので、はさみうちの原理から $∣ a_{n} - 2 ∣$ は 0 に収束する。よって $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$

ここで間違えやすい　「 $α = α + 2$ を解いて $α = 2$ 、よって極限値は 2」で終わらせない。それは収束すると仮定したときの候補で、手順 5〜7 のはさみうちが収束の証明になる。

問 5　 $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n} + 2}{a _{n} + 1}$ で定められる数列 ${a_{n}}$ について、(1) $∣ a_{n + 1} - 2 ∣ ≦ (2 - 1) ∣ a_{n} - 2 ∣$ を示せ。(2) $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

(1) 下の手順 1〜5 のとおり　(2) $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$

方針　収束すると仮定すれば $α = \frac{α + 2}{α + 1}$ 、つまり $α^{2} = 2$ から、正の $α = 2$ が候補になる。 $a_{n + 1} - 2$ を通分して $a_{n} - 2$ をくくり出し、残った係数の絶対値が 1 より小さい定数でおさえられることを示す。

$a_{1} = 1 > 0$ で、 $a_{n} > 0$ ならば $a_{n + 1} = \frac{a _{n} + 2}{a _{n} + 1} > 0$ 。よって、すべての $n$ で $a_{n} > 0$
通分する。 $a_{n + 1} - 2 = \frac{a _{n} + 2 - 2 ( a _{n} + 1 )}{a _{n} + 1} = \frac{( 1 - 2 ) a _{n} + 2 - 2}{a _{n} + 1}$
$2 - 2 = 2 (2 - 1) = - 2 (1 - 2)$ なので、分子は $(1 - 2) (a_{n} - 2)$ とくくれる。よって $a_{n + 1} - 2 = \frac{( 1 - 2 ) ( a _{n} - 2 )}{a _{n} + 1}$
両辺の絶対値をとる。 $∣ 1 - 2 ∣ = 2 - 1$ なので、 $∣ a_{n + 1} - 2 ∣ = \frac{2 - 1}{a _{n} + 1} ∣ a_{n} - 2 ∣$
$a_{n} > 0$ から $a_{n} + 1 > 1$ なので、 $\frac{1}{a _{n} + 1} < 1$ 。よって $∣ a_{n + 1} - 2 ∣ ≦ (2 - 1) ∣ a_{n} - 2 ∣$ （(1) が示せた）
(1) の不等式をくり返し使うと、 $0 ≦ ∣ a_{n} - 2 ∣ ≦ (2 - 1)^{n - 1} ∣ a_{1} - 2 ∣$
$2 - 1$ は約 0.41 で、 $0 < 2 - 1 < 1$ 。よって $(2 - 1)^{n - 1}$ は 0 に収束する
はさみうちの原理から $∣ a_{n} - 2 ∣$ は 0 に収束するので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$

漸化式と極限

0. どういうまとまりか

1. an+1​=pan​+q の一般項と極限

2. 極限値の候補

3. 不等式で収束を示す

4. 分数の形の漸化式

練習問題

1. $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の一般項と極限