無限等比数列｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (ア)「数列の極限について理解し，数列｛ $r^{n}$ ｝の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。」。このノートは、数列 ${r^{n}}$ の極限が $r$ の値でどう分かれるかと、それを使った $r^{n}$ を含む式の極限を扱います。

0. どういうまとまりか

項が限りなく続く等比数列を無限等比数列といいます。その基本になる数列 ${r^{n}}$ の極限は、公比 $r$ の値によって 4 通りに分かれます。
数列の極限の計算では、 $\frac{1}{n ^{k}}$ が 0 に収束することと並んで、 $∣ r ∣ < 1$ のとき $r^{n}$ が 0 に収束することが土台になります。

$r$ の値	数列 ${r^{n}}$ の極限	収束・発散
$r > 1$	$lim_{n \to \infty} r^{n} = \infty$	発散（正の無限大）
$r = 1$	$lim_{n \to \infty} r^{n} = 1$	収束
$- 1 < r < 1$	$lim_{n \to \infty} r^{n} = 0$	収束
$r ≦ - 1$	極限はない	発散（振動）

分かれ目は次の 3 つ。

収束する条件は $- 1 < r ≦ 1$ 。右端の $r = 1$ は入り、左端の $r = - 1$ は入らない
$r < - 1$ は「負の無限大に発散」ではなく振動。符号が交互に変わるので、どちらの無限大にも向かわない
$r$ が文字のときは、 $∣ r ∣ < 1$ 、 $r = 1$ 、 $r = - 1$ 、 $∣ r ∣ > 1$ に分ける。 $∣ r ∣ > 1$ のときは $r^{n}$ で割って $\frac{1}{r ^{n}}$ を作る

1. 数列 ${r^{n}}$ の極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

$r$ の $n$ 乗が、 $n$ を大きくするとどうなるかを、 $r$ と $\pm 1$ との大小で分けて覚えます。

数列 ${r^{n}}$ の極限は、 $r$ の値によってどう分かれるか？（4 つの場合）

$r > 1$ のとき正の無限大に発散、 $r = 1$ のとき 1 に収束、 $- 1 < r < 1$ のとき 0 に収束、 $r ≦ - 1$ のとき振動（極限はない）

$2^{n}$ は限りなく大きくなり、 $(\frac{1}{2})^{n}$ は 0 に近づき、 $(- 2)^{n}$ は $- 2, 4, - 8, \dots$ と振動する。

数列 ${r^{n}}$ が収束するための $r$ の条件は？

$- 1 < r ≦ 1$

$r = 1$ のときは $1, 1, 1, \dots$ で 1 に収束する。 $r = - 1$ のときは $- 1, 1, - 1, \dots$ で振動するので入らない。

数列 ${r^{n}}$ が 0 に収束するための $r$ の条件は？

$∣ r ∣ < 1$ （ $- 1 < r < 1$ ）

$r = 1$ のときは収束するが、極限値は 1 で 0 ではない。

$r = - 1$ のときと $r < - 1$ のときで、数列 ${r^{n}}$ の振動のしかたはどう違うか？

$r = - 1$ のときは $- 1$ と 1 を交互にとる。 $r < - 1$ のときは符号が交互に変わりながら、絶対値が限りなく大きくなる

どちらも振動で、極限はない。 $r < - 1$ を「負の無限大に発散」としない。

$r > 1$ のとき $lim_{n \to \infty} r^{n} = \infty$ となることは、どう示すか？

$r = 1 + h$ （ $h > 0$ ）とおくと、二項定理から $(1 + h)^{n} ≧ 1 + nh$ 。右辺が正の無限大に発散するので、 $r^{n}$ も正の無限大に発散する（追い出しの原理）

二項定理の展開 $(1 + h)^{n} = 1 + nh + \dots$ で、残りの項はすべて 0 以上。

$∣ r ∣ > 1$ のとき、 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{r ^{n}}$ の値は？

$\frac{1}{r ^{n}} = (\frac{1}{r})^{n}$ で、 $\frac{1}{r} < 1$ だから。 $r^{n}$ が発散するときは、 $r^{n}$ で割ってこの形を作る。

2. $r^{n}$ を含む式の極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

$2^{n}$ や $3^{n}$ が混じった分数式は、 $n$ の多項式の分数式と同じ考え方で、いちばん速く大きくなる項で割ります。

$\frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n} - 2 ^{n}}$ のように、 $n$ 乗の項を含む分数式の極限は、どう変形して求めるか？

分母の項のうち、底の絶対値がいちばん大きいものの $n$ 乗（この式なら $3^{n}$ ）で、分母と分子を割る

割ると $(\frac{2}{3})^{n}$ のように、底の絶対値が 1 より小さい $n$ 乗が現れ、0 に収束する。

$3^{n + 1}$ や $2^{2 n}$ のように、指数が $n$ そのものでない項は、極限を求める前にどうするか？

指数を $n$ にそろえる（ $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}$ 、 $2^{2 n} = 4^{n}$ ）

底と係数がはっきりしてから、いちばん大きい底の $n$ 乗で割る。

$r$ が文字のとき、 $r^{n}$ を含む式の極限は、 $r$ をどう場合分けして求めるか？

$∣ r ∣ < 1$ 、 $r = 1$ 、 $r = - 1$ 、 $∣ r ∣ > 1$ の 4 つに分ける

$∣ r ∣ < 1$ のときは $r^{n}$ が 0 に収束する。 $∣ r ∣ > 1$ のときは分母と分子を $r^{n}$ で割り、 $\frac{1}{r ^{n}}$ が 0 に収束することを使う。 $r = \pm 1$ は値を代入して調べる。

3. 無限等比数列が収束する条件

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列の一般項は $a r^{n - 1}$ です（数学B）。 ${r^{n}}$ との違いは、初項が 0 の場合があることです。

無限等比数列 ${a r^{n - 1}}$ が収束するための条件は？

$a = 0$ または $- 1 < r ≦ 1$

$a = 0$ のときは、すべての項が 0 なので、 $r$ が何であっても 0 に収束する。

無限等比数列 ${a r^{n - 1}}$ が収束するとき、その極限値は？

$a = 0$ または $∣ r ∣ < 1$ のとき 0、 $r = 1$ のとき $a$

$r = 1$ のときは、すべての項が $a$ 。

初項や公比が $x$ の式で表された無限等比数列が収束するような $x$ の範囲は、どう求めるか？

「 $- 1 <$ 公比 $≦ 1$ 」を $x$ の不等式として解き、それに「初項 $= 0$ 」となる $x$ を合わせる

公比の不等式は、 $- 1 <$ 公比と公比 $≦ 1$ の連立不等式。左は等号なし、右は等号ありで解く。

練習問題

問 1　 $lim_{n \to \infty} \frac{3 ^{n + 1} - 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}}$ を求めよ。

方針　分母も分子も正の無限大に発散する不定形。分母の中で底がいちばん大きい $3^{n}$ で分母と分子を割ると、 $(\frac{2}{3})^{n}$ が現れ、これは 0 に収束する。

指数をそろえる。 $3^{n + 1} = 3 \cdot 3^{n}$
分母と分子を $3^{n}$ で割る。 $\frac{3 \cdot 3 ^{n} - 2 ^{n}}{3 ^{n} + 2 ^{n}} = \frac{3 - ( \frac{2}{3} ) ^{n}}{1 + ( \frac{2}{3} ) ^{n}}$
$\frac{2}{3} < 1$ なので、 $(\frac{2}{3})^{n}$ は 0 に収束する
分子は $3 - 0 = 3$ に、分母は $1 + 0 = 1$ に収束するので、極限値は $\frac{3}{1} = 3$

問 2　 $lim_{n \to \infty} (2^{n} - 5^{n})$ を求めよ。

$- \infty$ （負の無限大に発散する）

方針　 $2^{n}$ も $5^{n}$ も正の無限大に発散するので、 $\infty - \infty$ の不定形。底の大きい $5^{n}$ でくくって積の形にする。

$5^{n}$ でくくる。 $2^{n} - 5^{n} = 5^{n} {(\frac{2}{5})^{n} - 1}$
$5 > 1$ なので、 $5^{n}$ は正の無限大に発散する
$\frac{2}{5} < 1$ なので $(\frac{2}{5})^{n}$ は 0 に収束し、中かっこの中は $0 - 1 = - 1$ に収束する
限りなく大きくなる正の数に、 $- 1$ に近い数をかけるので、負の無限大に発散する

問 3　数列 ${(2 x - 1)^{n}}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。

$0 < x ≦ 1$ 。極限値は、 $0 < x < 1$ のとき 0、 $x = 1$ のとき 1

方針　 $r = 2 x - 1$ とみれば数列 ${r^{n}}$ なので、収束する条件は $- 1 < r ≦ 1$ 。これを $x$ の不等式として解く。極限値は、 $∣ r ∣ < 1$ のときと $r = 1$ のときで違うので、分けて答える。

収束する条件は、 $- 1 < 2 x - 1 ≦ 1$
各辺に 1 をたして、 $0 < 2 x ≦ 2$
各辺を 2 で割って、 $0 < x ≦ 1$
$0 < x < 1$ のときは $- 1 < 2 x - 1 < 1$ なので、極限値は 0
$x = 1$ のときは $2 x - 1 = 1$ なので、すべての項が 1 で、極限値は 1

ここで間違えやすい　左端の $x = 0$ を入れない。 $x = 0$ のとき公比は $- 1$ で、 $- 1, 1, - 1, \dots$ と振動する。

問 4　 $r \neq = - 1$ のとき、 $lim_{n \to \infty} \frac{r ^{n + 1} - 1}{r ^{n} + 1}$ を求めよ。

$∣ r ∣ < 1$ のとき $- 1$ 、 $r = 1$ のとき 0、 $∣ r ∣ > 1$ のとき $r$

方針　 $r^{n}$ の極限は $r$ の値で変わるので、 $∣ r ∣$ と 1 の大小で場合を分ける。 $∣ r ∣ < 1$ なら $r^{n}$ は 0 に収束するのでそのまま極限をとり、 $∣ r ∣ > 1$ なら $r^{n}$ で割って $\frac{1}{r ^{n}}$ が 0 に収束する形に直す。

$∣ r ∣ < 1$ のとき、 $r^{n}$ も $r^{n + 1}$ も 0 に収束する。極限値は $\frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1$
$r = 1$ のとき、 $r^{n} = 1$ 、 $r^{n + 1} = 1$ なので、どの項も $\frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$ 。極限値は 0
$∣ r ∣ > 1$ のとき、分母と分子を $r^{n}$ で割る。 $\frac{r ^{n + 1} - 1}{r ^{n} + 1} = \frac{r - \frac{1}{r ^{n}}}{1 + \frac{1}{r ^{n}}}$
$\frac{1}{r} < 1$ なので、 $\frac{1}{r ^{n}}$ は 0 に収束する。極限値は $\frac{r - 0}{1 + 0} = r$

ここで間違えやすい　 $∣ r ∣ > 1$ には $r < - 1$ も含まれる。 $r < - 1$ のとき $r^{n}$ そのものは振動するが、 $\frac{1}{r ^{n}}$ は 0 に収束するので、手順 3・4 はそのまま通る。 $r > 1$ だけを書いて $r < - 1$ を落とさない。

問 5　無限等比数列 ${x (x^{2} - x - 1)^{n - 1}}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。また、そのときの極限値を求めよ。

$- 1 ≦ x ≦ 0$ 、 $1 < x ≦ 2$ 。極限値は、 $x = - 1$ のとき $- 1$ 、 $x = 2$ のとき 2、それ以外のとき 0

方針　初項 $x$ 、公比 $x^{2} - x - 1$ の無限等比数列。収束する条件は「初項 $= 0$ 」または「 $- 1 <$ 公比 $≦ 1$ 」なので、公比の連立不等式を解き、それに初項が 0 になる $x$ を合わせる。

初項が 0 になるのは $x = 0$ 。このときすべての項が 0 で、0 に収束する
公比の条件は $- 1 < x^{2} - x - 1 ≦ 1$ 。これを 2 つの不等式に分ける
左の不等式 $- 1 < x^{2} - x - 1$ は、 $x^{2} - x > 0$ 。 $x (x - 1) > 0$ から、 $x < 0$ 、 $1 < x$
右の不等式 $x^{2} - x - 1 ≦ 1$ は、 $x^{2} - x - 2 ≦ 0$ 。 $(x + 1) (x - 2) ≦ 0$ から、 $- 1 ≦ x ≦ 2$
手順 3 と手順 4 の共通範囲は、 $- 1 ≦ x < 0$ 、 $1 < x ≦ 2$
これに手順 1 の $x = 0$ を合わせて、 $- 1 ≦ x ≦ 0$ 、 $1 < x ≦ 2$
極限値を求める。公比が 1 になるのは、手順 4 の等号が成り立つ $x = - 1$ と $x = 2$ のとき。このとき、すべての項が初項 $x$ に等しいので、極限値はそれぞれ $- 1$ と 2
それ以外の $x$ では、初項が 0 か、公比の絶対値が 1 より小さいので、極限値は 0

ここで間違えやすい　公比の条件だけで答えると $x = 0$ が抜ける。 $x = 0$ のとき公比は $- 1$ だが、初項が 0 なのですべての項が 0 になり、収束する。

無限等比数列

0. どういうまとまりか

1. 数列 {rn} の極限

2. rn を含む式の極限

3. 無限等比数列が収束する条件

練習問題

1. 数列 ${r^{n}}$ の極限

2. $r^{n}$ を含む式の極限