極限の計算｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (ア)「数列の極限について理解し，数列｛ $r^{n}$ ｝の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。」。このノートは、そのままでは極限が決まらない不定形の式を変形して求める方法と、不等式ではさんで求める方法を扱います。

0. どういうまとまりか

数列の極限を求めるとき、分子も分母も正の無限大に発散する式や、正の無限大に発散するものどうしの差は、見かけだけでは収束するか発散するかが決まりません。これを不定形といいます。
不定形は、極限値の性質が使える形（ $\frac{1}{n ^{k}}$ が 0 に収束する形）に変形してから極限をとります。式の変形で届かないときは、不等式ではさみます。

式の形	変形のしかた
分数式で $\frac{\infty}{\infty}$	分母の最高次の項で、分母と分子を割る
多項式で $\infty - \infty$	最高次の項でくくる
根号を含む $\infty - \infty$	有理化する（分母を 1 とみて、分子を有理化する）
$sin$ 、 $cos$ 、 $(- 1)^{n}$ を含む	不等式ではさむ（はさみうちの原理）

分かれ目は次の 3 つ。

$\frac{\infty}{\infty}$ を「約分して 1」、 $\infty - \infty$ を「ひいて 0」としない。 $\infty$ は数ではない
はさみうちの原理は、両側の数列が同じ値に収束するときにだけ使える。両側の極限値が違えば、何も決まらない
$sin n θ$ そのものは収束するとは限らない（ $θ = \frac{π}{2}$ なら $1, 0, - 1, 0, \dots$ と振動する）。使えるのは $- 1 ≦ sin n θ ≦ 1$ という範囲だけ

1. 不定形

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

極限値の性質は、収束する数列どうしでしか使えません。発散する数列が混じる式は、まず形を見分けます。

極限の計算でいう不定形とは？

$\frac{\infty}{\infty}$ 、 $\infty - \infty$ 、 $\infty \times 0$ 、 $\frac{0}{0}$ のように、見かけの形だけでは極限が決まらない式の形

同じ $\infty - \infty$ の形でも、式によって収束することも発散することもある。変形して不定形でない形に直してから極限をとる。

$\infty + \infty$ と $\infty \times \infty$ の形は不定形か？

不定形ではない。どちらも正の無限大に発散する

$lim_{n \to \infty} (n^{2} + n) = \infty$ 、 $lim_{n \to \infty} n^{2} n = \infty$ 。変形しなくても決まる。

2. 分数式の極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

分子も分母も $n$ の多項式である分数式は、分母の最高次の項で割ると、 $\frac{1}{n ^{k}}$ の形が現れて極限値の性質が使えます。

分子と分母がどちらも正の無限大に発散する分数式（ $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形）の極限は、どう変形して求めるか？

分母の最高次の項で、分母と分子を割る

$\frac{3 n ^{2} + 1}{n ^{2} + 2 n}$ なら $n^{2}$ で割って $\frac{3 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{2}{n}}$ 。分母が 0 でない値に収束する形になる。

分子と分母が $n$ の多項式である分数式の極限は、分子と分母の次数の大小でどう分かれるか？

分子の次数が小さければ 0 に収束、次数が等しければ最高次の係数の比に収束、分子の次数が大きければ正または負の無限大に発散する

答えの見当をつけるのに使う。答案では、分母の最高次の項で割った式を書く。

根号を含む分数式 $\frac{n ^{2} + 1}{n}$ を $n$ で割るとき、根号の中はどうするか？

根号の中は $n^{2}$ で割る（ $\frac{n ^{2} + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n ^{2}}$ ）

$n > 0$ のとき $n = n^{2}$ だから。根号の外で $n$ で割ることは、根号の中で $n^{2}$ で割ることにあたる。

3. 差の形の不定形

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

$\infty - \infty$ の形は、積の形に直すか、有理化して分数の形に直します。

$n$ の多項式で $\infty - \infty$ の不定形になるとき（ $n^{3} - 5 n^{2}$ など）、どう変形するか？

最高次の項でくくる

$n^{3} - 5 n^{2} = n^{3} (1 - \frac{5}{n})$ 。 $n^{3}$ は正の無限大に発散し、かっこの中は 1 に収束するので、正の無限大に発散する。

根号を含む $\infty - \infty$ の不定形（ $n^{2} + n - n$ など）は、どう変形するか？

分母を 1 とみて、分子を有理化する（ $A + B$ を分母と分子にかける）

$(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ で分子の根号が消える。 $\frac{\infty}{\infty}$ の形が残ったら、分母の最高次の項で割る。

$lim_{n \to \infty} (n + 1 - n)$ の値は？

有理化すると $\frac{( n + 1 ) - n}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n}$ 。分母が正の無限大に発散するので 0 に収束する。

4. はさみうちの原理

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

式の変形で極限が出せない数列は、極限の分かる 2 つの数列ではさみます。

はさみうちの原理とは？

すべての $n$ で $a_{n} ≦ c_{n} ≦ b_{n}$ が成り立ち、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = α$ ならば、数列 ${c_{n}}$ も収束して $lim_{n \to \infty} c_{n} = α$

条件は 2 つ。両側からはさむ不等式があることと、両側の数列が同じ値 $α$ に収束すること。

すべての $n$ で $a_{n} ≦ b_{n}$ が成り立ち、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ のとき、 ${b_{n}}$ の極限は？

$lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ （追い出しの原理）

正の無限大に発散する数列より大きい数列は、正の無限大に発散する。片側の不等式だけでよい。同じように、 $a_{n} ≦ b_{n}$ で $lim_{n \to \infty} b_{n} = - \infty$ なら $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ 。

$lim_{n \to \infty} \frac{s i n n θ}{n}$ の値と、その求め方は？

0。 $- 1 ≦ sin n θ ≦ 1$ の各辺を $n$ で割って $- \frac{1}{n} ≦ \frac{s i n n θ}{n} ≦ \frac{1}{n}$ とし、はさみうちの原理を使う

両側の $- \frac{1}{n}$ と $\frac{1}{n}$ がどちらも 0 に収束する。 $cos n θ$ や $(- 1)^{n}$ でも同じ形ではさめる。

$0 ≦ ∣ c_{n} ∣ ≦ b_{n}$ で $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ のとき、 ${c_{n}}$ の極限は？

$lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$

はさみうちの原理から $∣ c_{n} ∣$ が 0 に収束し、 $- ∣ c_{n} ∣ ≦ c_{n} ≦ ∣ c_{n} ∣$ なので $c_{n}$ も 0 に収束する。符号が変わる数列は、絶対値をとって上からおさえると楽。

練習問題

問 1　 $lim_{n \to \infty} \frac{3 n ^{2} - n + 2}{n ^{2} + 4 n}$ を求めよ。

方針　分子も分母も正の無限大に発散する $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形。分母の最高次の項 $n^{2}$ で分母と分子を割ると、 $\frac{1}{n}$ 、 $\frac{1}{n ^{2}}$ の形だけが残り、極限値の性質が使える。

分母と分子を $n^{2}$ で割る。 $\frac{3 n ^{2} - n + 2}{n ^{2} + 4 n} = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n ^{2}}}{1 + \frac{4}{n}}$
$\frac{1}{n}$ 、 $\frac{2}{n ^{2}}$ 、 $\frac{4}{n}$ はどれも 0 に収束する
分子は $3 - 0 + 0 = 3$ に、分母は $1 + 0 = 1$ に収束する
分母の極限値が 0 でないので、極限値は $\frac{3}{1} = 3$

問 2　 $lim_{n \to \infty} (4 n^{2} - n^{3})$ を求めよ。

$- \infty$ （負の無限大に発散する）

方針　 $4 n^{2}$ も $n^{3}$ も正の無限大に発散するので、 $\infty - \infty$ の不定形。最高次の項 $n^{3}$ でくくって積の形にすると、それぞれの因数の極限が分かる。

$n^{3}$ でくくる。 $4 n^{2} - n^{3} = n^{3} (\frac{4}{n} - 1)$
$n^{3}$ は正の無限大に発散する
$\frac{4}{n}$ は 0 に収束するので、かっこの中は $0 - 1 = - 1$ に収束する
限りなく大きくなる正の数に、 $- 1$ に近い数をかけるので、負の無限大に発散する

ここで間違えやすい　係数の大きい $4 n^{2}$ のほうが強いとみて正の無限大としない。 $n$ が大きくなれば、次数の高い $n^{3}$ のほうがはるかに大きい（ $n = 100$ で $4 n^{2}$ は 4 万、 $n^{3}$ は 100 万）。

問 3　 $lim_{n \to \infty} (n^{2} + 3 n - n)$ を求めよ。

$\frac{3}{2}$

方針　 $n^{2} + 3 n$ も $n$ も正の無限大に発散する $\infty - \infty$ の不定形で、根号を含む。分母を 1 とみて分子を有理化し、分数式に直してから、分母の最高次の項で割る。

分母と分子に $n^{2} + 3 n + n$ をかける。 $n^{2} + 3 n - n = \frac{( n ^{2} + 3 n - n ) ( n ^{2} + 3 n + n )}{n ^{2} + 3 n + n}$
分子を計算する。 $(n^{2} + 3 n) - n^{2} = 3 n$ なので、 $\frac{3 n}{n ^{2} + 3 n + n}$
分母と分子を $n$ で割る。根号の中は $n^{2}$ で割るので、 $\frac{3}{1 + \frac{3}{n} + 1}$
$\frac{3}{n}$ は 0 に収束するので、分母は $1 + 1 = 2$ に収束する
よって極限値は $\frac{3}{2}$

ここで間違えやすい　「 $n$ が大きいとき $n^{2} + 3 n$ はほぼ $n$ だから、差は 0」としない。 $n = 100$ で $10300$ は約 101.49 で、差は 1.5 に近い。

問 4　 $θ$ を定数とするとき、 $lim_{n \to \infty} \frac{2 n + c o s n θ}{n + 1}$ を求めよ。

方針　 $cos n θ$ は収束するとは限らないので、極限値の性質をそのまま使えない。式を「極限の分かる部分」と「 $cos n θ$ を含む部分」に分け、後者を $- 1 ≦ cos n θ ≦ 1$ ではさむ。

2 つの分数に分ける。 $\frac{2 n + c o s n θ}{n + 1} = \frac{2 n}{n + 1} + \frac{c o s n θ}{n + 1}$
1 つ目は分母と分子を $n$ で割って $\frac{2}{1 + \frac{1}{n}}$ 。これは $\frac{2}{1} = 2$ に収束する
2 つ目をはさむ。 $- 1 ≦ cos n θ ≦ 1$ の各辺を正の数 $n + 1$ で割って、 $- \frac{1}{n + 1} ≦ \frac{c o s n θ}{n + 1} ≦ \frac{1}{n + 1}$
$- \frac{1}{n + 1}$ と $\frac{1}{n + 1}$ はどちらも 0 に収束するので、はさみうちの原理から $lim_{n \to \infty} \frac{c o s n θ}{n + 1} = 0$
2 つの部分がどちらも収束するので、和の性質から極限値は $2 + 0 = 2$

問 5　 $lim_{n \to \infty} (n - n sin n)$ を求めよ。

$\infty$ （正の無限大に発散する）

方針　 $sin n$ の値は決まった形で書けないが、 $sin n ≦ 1$ という範囲は分かる。これで元の式より小さい数列を作り、それが正の無限大に発散することを示せば、元の数列も正の無限大に発散する（追い出しの原理）。

$sin n ≦ 1$ の両辺に正の数 $n$ をかけて、 $n sin n ≦ n$
両辺に $- 1$ をかけると不等号の向きが変わり、 $- n sin n ≧ - n$
両辺に $n$ をたして、 $n - n sin n ≧ n - n$
右辺を $n$ でくくる。 $n - n = n (n - 1)$
$n$ も $n - 1$ も正の無限大に発散するので、 $lim_{n \to \infty} (n - n) = \infty$
正の無限大に発散する数列より大きいので、 $lim_{n \to \infty} (n - n sin n) = \infty$

問 6　 $n ≧ 2$ のとき $2^{n} ≧ \frac{n ( n - 1 )}{2}$ が成り立つことを二項定理を使って示し、 $lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 ^{n}}$ を求めよ。

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 ^{n}} = 0$

方針　 $\frac{n}{2 ^{n}}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形だが、 $n$ で割っても $2^{n}$ で割っても不定形のまま。そこで $2^{n}$ を下から $n$ の 2 次式でおさえる。分母が $n^{2}$ の大きさなら、分子の $n$ より速く大きくなるので、はさみうちの原理が使える。

二項定理で $(1 + 1)^{n}$ を展開する。 $2^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{n}$
右辺の項はすべて正なので、 $n ≧ 2$ のとき、 $_{n} C_{2}$ の項だけを残すと右辺は小さくなる。 $2^{n} ≧_{n} C_{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$
両辺は正なので、逆数をとると不等号の向きが変わる。 $\frac{1}{2 ^{n}} ≦ \frac{2}{n ( n - 1 )}$
両辺に正の数 $n$ をかけて、 $\frac{n}{2 ^{n}} ≦ \frac{2}{n - 1}$
$\frac{n}{2 ^{n}} > 0$ と合わせて、 $0 < \frac{n}{2 ^{n}} ≦ \frac{2}{n - 1}$ （ $n ≧ 2$ ）
極限は $n$ を大きくした先だけで決まるので、はさむ不等式は $n ≧ 2$ で成り立てば足りる。 $lim_{n \to \infty} \frac{2}{n - 1} = 0$ なので、はさみうちの原理から $lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 ^{n}} = 0$