数列の極限｜高校数学Ⅲ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅲ (1) 極限ア (ア)「数列の極限について理解し，数列｛ $r^{n}$ ｝の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。」。このノートは、収束と発散のことばの意味と、収束する数列どうしで使える極限値の性質を扱います。

0. どういうまとまりか

項が限りなく続く数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ で、 $n$ を限りなく大きくしたときに $a_{n}$ がどうなっていくかを調べるのが数列の極限です。
ある 1 つの値に限りなく近づくなら収束、そうでなければ発散といい、発散はさらに 3 つに分かれます。

分類	書き方	例（一般項）
収束する	$lim_{n \to \infty} a_{n} = α$	$\frac{1}{n}$ （極限値 0）
正の無限大に発散する	$lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$	$n^{2}$
負の無限大に発散する	$lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$	$- 2 n$
振動する	極限はない	$(- 1)^{n}$

分かれ目は次の 3 つ。

$\infty$ は数ではない。 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ と書いても収束ではなく発散で、 $\infty$ を極限値とはいわない
極限値の性質（和・差・積・商）は、どちらの数列も収束するときにだけ使える。 $\infty - \infty$ や $\infty \times 0$ の形には使えない
$a_{n} < b_{n}$ でも、極限値は $α < β$ とは限らない（ $α = β$ になることがある）

1. 収束と極限値

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

「限りなく近づく」が収束の意味です。途中の項が何であっても、 $n$ を大きくした先だけを見ます。

数列 ${a_{n}}$ が $α$ に収束するとは、どういうことか？

$n$ を限りなく大きくするとき、 $a_{n}$ が一定の値 $α$ に限りなく近づくこと。この $α$ を数列 ${a_{n}}$ の極限値という

$a_{n}$ が $α$ に一致する必要はない。 $a_{n} = \frac{1}{n}$ はどの項も 0 でないが、0 に収束する。

数列 ${a_{n}}$ が $α$ に収束することを、記号で 2 通りに書くと？

$lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ 、または「 $n \to \infty$ のとき $a_{n} \to α$ 」

$lim$ は極限（limit）の記号。 $n \to \infty$ は「 $n$ を限りなく大きくする」と読む。

すべての項が同じ値 $c$ である数列 $c, c, c, \dots$ の極限は？

$c$ に収束する（ $lim_{n \to \infty} c = c$ ）

近づいていく途中がなくても、収束という。

2. 発散

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

収束しない数列は、すべて発散するといいます。発散のしかたは 3 通りです。

数列が発散するとは？

収束しないこと

「限りなく大きくなる」ことだけを指すのではない。振動も発散に入る。

数列の発散の 3 つの場合は？

正の無限大に発散する・負の無限大に発散する・振動する

正の無限大に発散は $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ 、負の無限大に発散は $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ と書く。

数列が振動するとは？

収束せず、正の無限大にも負の無限大にも発散しないこと。このとき極限はない

$- 1, 1, - 1, 1, \dots$ （一般項 $(- 1)^{n}$ ）や、 $- 1, 2, - 3, 4, \dots$ （一般項 $(- 1)^{n} n$ ）が例。

$lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ のとき、数列 ${a_{n}}$ は収束するといえるか？

いえない。正の無限大に発散する

$\infty$ は数ではないので、極限値とはいわない。「極限は $\infty$ 」とはいうが、「極限値は $\infty$ 」「 $\infty$ に収束する」とはいわない。

3. 極限値の性質

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

収束する数列どうしなら、極限をとってから計算しても、計算してから極限をとっても同じです。以下では $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = β$ とします。

数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ がそれぞれ $α$ 、 $β$ に収束するとき、 $lim_{n \to \infty} (k a_{n} + l b_{n})$ は？（ $k$ 、 $l$ は定数）

$k α + l β$

定数倍・和・差は、極限値どうしの定数倍・和・差になる。 $lim_{n \to \infty} k a_{n} = k α$ 、 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = α - β$ もこの形に含まれる。

数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ がそれぞれ $α$ 、 $β$ に収束するとき、積 $a_{n} b_{n}$ と商 $\frac{a _{n}}{b _{n}}$ の極限は？

$lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = α β$ 、 $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{α}{β}$ （商は $β \neq = 0$ のとき）

商の性質は、分母の極限値 $β$ が 0 でないときにだけ使える。

$lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ のとき、 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n})$ は 0 と決まるか？

決まらない。数列によって結果が変わる

$a_{n} = n + 1$ 、 $b_{n} = n$ なら差は 1 に収束し、 $a_{n} = 2 n$ 、 $b_{n} = n$ なら差は正の無限大に発散する。極限値の性質は、どちらも収束するときにしか使えない。

$k$ を正の整数とするとき、 $lim_{n \to \infty} n^{k}$ と $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{k}}$ は？

$lim_{n \to \infty} n^{k} = \infty$ 、 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{k}} = 0$

$n$ も正の無限大に発散し、 $\frac{1}{n}$ は 0 に収束する。極限の計算は、最後にこの形に持ち込む。

4. 大小関係と極限

根拠: 学習指導要領数学Ⅲ-(1)-ア-(ア)

項の大小は極限値に引き継がれますが、等号が付くことに注意します。

すべての $n$ で $a_{n} ≦ b_{n}$ で、 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ がそれぞれ $α$ 、 $β$ に収束するとき、 $α$ と $β$ の大小は？

$α ≦ β$

収束することが前提。小さいほうの数列の極限値が、大きいほうの極限値を超えることはない。

すべての $n$ で $a_{n} < b_{n}$ （等号なし）のとき、極限値も $α < β$ といえるか？

いえない。 $α = β$ になることがある（いえるのは $α ≦ β$ まで）

$a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ 、 $b_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ はつねに $a_{n} < b_{n}$ だが、どちらも 1 に収束する。

練習問題

問 1　一般項が次の式で表される数列の収束、発散を調べよ。(1) $\frac{1}{n ^{2}}$ 　(2) $- 2 n + 1$ 　(3) $(- 1)^{n} n$

(1) 0 に収束する　(2) 負の無限大に発散する　(3) 振動する（極限はない）

方針　 $n$ に大きな数を入れたとき、項がどこへ向かうかを見る。1 つの値に近づけば収束、限りなく大きく（小さく）なれば正（負）の無限大に発散、どちらでもなければ振動。

(1) は、 $n$ を大きくすると分母 $n^{2}$ が限りなく大きくなるので、 $\frac{1}{n ^{2}}$ は 0 に限りなく近づく。0 に収束する
(2) は、項を並べると $- 1, - 3, - 5, - 7, \dots$ 。負の値のまま絶対値が限りなく大きくなるので、負の無限大に発散する
(3) は、項を並べると $- 1, 2, - 3, 4, \dots$ 。符号が交互に変わるので、1 つの値に近づかず、正の無限大にも負の無限大にも発散しない。振動する

ここで間違えやすい　(3) を「絶対値が大きくなるから正の無限大に発散」としない。奇数番目の項は負なので、正の無限大に発散するとはいえない。

問 2　 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 2$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = - 3$ のとき、次の極限を求めよ。(1) $lim_{n \to \infty} (3 a_{n} - 2 b_{n})$ 　(2) $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n}$ 　(3) $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}}$

(1) 12　(2) $- 6$ 　(3) $- \frac{2}{3}$

方針　 ${a_{n}}$ も ${b_{n}}$ も収束するので、極限値の性質がそのまま使える。 $a_{n}$ を 2 に、 $b_{n}$ を $- 3$ に置きかえて計算する。

(1) は定数倍と差の性質から、 $3 \times 2 - 2 \times (- 3) = 6 + 6 = 12$
(2) は積の性質から、 $2 \times (- 3) = - 6$
(3) は分母の極限値 $- 3$ が 0 でないので、商の性質が使える。 $\frac{2}{- 3} = - \frac{2}{3}$

問 3　 $lim_{n \to \infty} (3 + \frac{1}{n}) (2 - \frac{5}{n ^{2}})$ を求めよ。

方針　 $\frac{1}{n}$ と $\frac{1}{n ^{2}}$ はどちらも 0 に収束する。2 つのかっこの中がそれぞれ収束するので、和・差の性質でかっこごとに極限を求め、積の性質でかけ合わせる。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ なので、 $lim_{n \to \infty} (3 + \frac{1}{n}) = 3 + 0 = 3$
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}} = 0$ なので、 $lim_{n \to \infty} (2 - \frac{5}{n ^{2}}) = 2 - 5 \times 0 = 2$
どちらも収束するので、積の極限は極限値の積になる。 $3 \times 2 = 6$

問 4　数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ について、 $lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = 5$ 、 $lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = 1$ のとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n}$ 、 $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n}$ を求めよ。

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 3$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = 2$ 、 $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 6$

方針　収束すると分かっているのは $a_{n} + b_{n}$ と $a_{n} - b_{n}$ の 2 つ。 $a_{n}$ と $b_{n}$ を、この 2 つの和・差・定数倍で表せば、極限値の性質が使える。

$p_{n} = a_{n} + b_{n}$ 、 $q_{n} = a_{n} - b_{n}$ とおく。 $lim_{n \to \infty} p_{n} = 5$ 、 $lim_{n \to \infty} q_{n} = 1$
2 つをたすと $p_{n} + q_{n} = 2 a_{n}$ なので、 $a_{n} = \frac{p _{n} + q _{n}}{2}$
2 つをひくと $p_{n} - q_{n} = 2 b_{n}$ なので、 $b_{n} = \frac{p _{n} - q _{n}}{2}$
${p_{n}}$ 、 ${q_{n}}$ は収束するので、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{5 + 1}{2} = 3$
同じように、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ がどちらも収束すると分かったので、積の性質から $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 3 \times 2 = 6$

ここで間違えやすい　いきなり「 $lim a_{n} = α$ 、 $lim b_{n} = β$ とおくと $α + β = 5$ 、 $α - β = 1$ 」と始めない。それは ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ が収束することを先に仮定している。手順 2・3 のように、収束する数列で表してから極限をとる。

問 5　数列 ${a_{n}}$ について、 $lim_{n \to \infty} \frac{3 a _{n} - 2}{a _{n} + 1} = 2$ のとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

方針　収束すると分かっているのは $\frac{3 a _{n} - 2}{a _{n} + 1}$ のほうで、 ${a_{n}}$ が収束するかどうかはまだ分からない。そこで $b_{n} = \frac{3 a _{n} - 2}{a _{n} + 1}$ とおき、 $a_{n}$ を $b_{n}$ の式で表してから、極限値の性質を使う。

$b_{n} = \frac{3 a _{n} - 2}{a _{n} + 1}$ とおくと、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = 2$
分母をはらう。 $b_{n} (a_{n} + 1) = 3 a_{n} - 2$
展開して $a_{n}$ を含む項を右辺に集める。 $b_{n} + 2 = 3 a_{n} - a_{n} b_{n}$
$a_{n}$ でくくる。 $b_{n} + 2 = a_{n} (3 - b_{n})$
$b_{n}$ は 2 に収束するので、 $n$ が十分大きければ $3 - b_{n}$ は 0 でない。両辺を $3 - b_{n}$ で割って、 $a_{n} = \frac{b _{n} + 2}{3 - b _{n}}$
分子は $2 + 2 = 4$ に、分母は $3 - 2 = 1$ に収束する。分母の極限値が 0 でないので商の性質が使えて、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{4}{1} = 4$

問 6　次の (1)、(2) は正しいか。正しくなければ反例をあげよ。(1) $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ ならば $lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = 0$ 　(2) $lim_{n \to \infty} a_{n} = \infty$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ ならば $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = 0$

どちらも正しくない。反例は、(1) $a_{n} = 2 n$ 、 $b_{n} = n$ 　(2) $a_{n} = n$ 、 $b_{n} = \frac{1}{n}$ （反例はほかにもある）

方針　極限値の性質は、どちらの数列も収束するときにしか使えない。 $\infty - \infty$ や $\infty \times 0$ の形は、 $\infty$ を数のように計算できないので、具体的な数列で結果が変わることを見せる。

(1) の反例として $a_{n} = 2 n$ 、 $b_{n} = n$ をとる。どちらも正の無限大に発散する
このとき $a_{n} - b_{n} = 2 n - n = n$ で、正の無限大に発散する。0 に収束しないので、(1) は正しくない
(2) の反例として $a_{n} = n$ 、 $b_{n} = \frac{1}{n}$ をとる。 ${a_{n}}$ は正の無限大に発散し、 ${b_{n}}$ は 0 に収束する
このとき $a_{n} b_{n} = n \times \frac{1}{n} = 1$ で、1 に収束する。0 に収束しないので、(2) も正しくない