複素数｜高校数学Ⅱ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅱ (1) いろいろな式ア (ウ)「数を複素数まで拡張する意義を理解し，複素数の四則計算をすること。」。

0. どういうまとまりか

実数の範囲では $x^{2} = - 1$ を満たす数がありません。そこで 2 乗して $- 1$ になる新しい数 $i$ を考え、 $a + bi$ の形の数（複素数）まで数を広げます。
こうすると、どんな二次方程式にも解があるようになります。計算は $i$ を文字のように扱い、 $i^{2}$ が出たら $- 1$ に置きかえるだけです。

複素数 $a + bi$ （ $a$ 、 $b$ は実数）	条件	例
実数	$b = 0$	$3$ 、 $- \frac{1}{2}$
虚数	$b \neq = 0$	$2 + 3 i$ 、 $- i$
純虚数（虚数の一部）	$a = 0$ かつ $b \neq = 0$	$5 i$ 、 $- 2 i$

分かれ目は次の 3 つ。

$i^{2} = - 1$ を使うのは計算の最後ではなく、出てくるたび。 $i^{3} = - i$ 、 $i^{4} = 1$ と 4 つごとにくり返す
割り算は分母の共役複素数を分子・分母に掛けて、分母を実数にする
負の数の平方根は、先に $- a = a i$ と直してから計算する。 $- 2 - 3$ は $6$ ではない

1. 虚数単位と複素数

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(ウ)

2 乗すると $- 1$ になる数を 1 つ考えて $i$ で表し、虚数単位といいます。

虚数単位 $i$ とは？

2 乗すると $- 1$ になる数。 $i^{2} = - 1$

実数は 2 乗すると 0 以上になるので、 $i$ は実数ではない。

数を複素数まで拡張する意義は？

実数の範囲では解のない $x^{2} = - 1$ のような二次方程式も、複素数の範囲ではかならず解をもつようになる

実数の四則計算の規則はそのまま使える。一方で、複素数には大小関係（不等号）が定められない。

複素数・実部・虚部・虚数とは？

$a$ 、 $b$ を実数として $a + bi$ の形の数が複素数。 $a$ が実部、 $b$ が虚部。 $b \neq = 0$ のものが虚数

$b = 0$ なら実数、 $a = 0$ かつ $b \neq = 0$ なら純虚数。虚部は $bi$ ではなく $b$ 。

2 つの複素数 $a + bi$ 、 $c + d i$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ は実数）が等しい条件は？

$a = c$ かつ $b = d$ （実部どうし、虚部どうしが等しい）

特に $a + bi = 0 ⟺ a = 0$ かつ $b = 0$ 。「 $a$ 、 $b$ は実数」の条件がないと使えない。

2. 複素数の四則計算

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(ウ)

足し算・引き算・掛け算は、 $i$ を文字とみて多項式と同じように計算し、 $i^{2}$ を $- 1$ に置きかえます。

$(2 + 3 i) (1 - 2 i)$ を計算すると？

$8 - i$

$2 - 4 i + 3 i - 6 i^{2}$ で、 $i^{2} = - 1$ から $- 6 i^{2} = 6$ 。実部 $2 + 6 = 8$ 、虚部 $- 4 + 3 = - 1$ 。

$i^{3}$ 、 $i^{4}$ は？ $i$ の累乗にはどんな規則があるか？

$i^{3} = - i$ 、 $i^{4} = 1$ 。 $i$ 、 $- 1$ 、 $- i$ 、1 の 4 つをくり返す

$i^{4} = 1$ なので、指数を 4 で割った余りだけを見ればよい。 $i^{23} = i^{20} \cdot i^{3} = - i$ 。

複素数 $a + bi$ の共役複素数とは？もとの数との和と積は？

$a - bi$ （虚部の符号を変えた数）。和は $2 a$ 、積は $a^{2} + b^{2}$ で、どちらも実数

$(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。 $z$ の共役複素数を $z$ と書く。

複素数の割り算 $\frac{1 + 2 i}{1 - i}$ はどう計算するか？結果は？

分母の共役複素数 $1 + i$ を分子と分母に掛けて分母を実数にする。 $\frac{- 1 + 3 i}{2}$

分子 $(1 + 2 i) (1 + i) = 1 + 3 i + 2 i^{2} = - 1 + 3 i$ 、分母 $(1 - i) (1 + i) = 2$ 。

3. 負の数の平方根

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(ウ)

複素数の範囲では、負の数にも平方根があります。

$a > 0$ のとき、 $- a$ は何と決めるか？また、 $- a$ の平方根は？

$- a = a i$ 。 $- a$ の平方根は $\pm a i$

$(a i)^{2} = a \cdot i^{2} = - a$ 。例えば $- 4$ の平方根は $\pm 2 i$ で、 $- 4 = 2 i$ 。

$- 2 \times - 3$ を計算すると？よくある誤りは？

$- 2 \times - 3 = 2 i \times 3 i = 6 i^{2} = - 6$ 。 $(- 2) (- 3) = 6$ とするのが誤り

$a b = ab$ は、 $a$ 、 $b$ がともに負のときには成り立たない。負の数の根号は、先に $i$ を使った形に直してから計算する。

練習問題

問 1　次の計算をせよ。(1) $(3 - 2 i)^{2}$ 　(2) $(1 + i)^{3}$

(1) $5 - 12 i$ 　(2) $- 2 + 2 i$

方針　 $i$ をふつうの文字と同じように扱って展開し、 $i^{2}$ が出たら $- 1$ に置きかえる。(2) の 3 乗は、先に 2 乗を計算してからもう 1 回掛けると楽になる。

(1) $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ の $a$ に 3、 $b$ に $2 i$ を入れて展開する。 $(3 - 2 i)^{2} = 9 - 12 i + 4 i^{2}$
$i^{2} = - 1$ なので $4 i^{2} = - 4$ 。 $9 - 12 i - 4 = 5 - 12 i$
(2) まず 2 乗する。 $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2}$ 。 $i^{2} = - 1$ なので 1 と打ち消し合い、 $(1 + i)^{2} = 2 i$
もう 1 回 $1 + i$ を掛ける。 $(1 + i)^{3} = (1 + i)^{2} (1 + i) = 2 i (1 + i) = 2 i + 2 i^{2}$
$2 i^{2} = - 2$ なので、 $2 i + 2 i^{2} = - 2 + 2 i$

ここで間違えやすい　 $(2 i)^{2}$ を $2 i^{2}$ としないこと。2 も 2 乗して $(2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ 。

問 2　 $\frac{3 + i}{2 - i}$ を $a + bi$ （ $a$ 、 $b$ は実数）の形で表せ。

$1 + i$

方針　分母に $i$ があると $a + bi$ の形にならない。分母 $2 - i$ の共役複素数 $2 + i$ を分子と分母に掛けると、分母が $(2 - i) (2 + i) = 2^{2} - i^{2}$ となって実数になる。

分子と分母に $2 + i$ を掛ける。 $\frac{3 + i}{2 - i} = \frac{( 3 + i ) ( 2 + i )}{( 2 - i ) ( 2 + i )}$
分子を展開する。 $(3 + i) (2 + i) = 6 + 3 i + 2 i + i^{2} = 6 + 5 i + i^{2}$
$i^{2} = - 1$ なので、分子は $6 + 5 i - 1 = 5 + 5 i$
分母を展開する。 $(2 - i) (2 + i) = 4 - i^{2}$ 。 $i^{2} = - 1$ なので、分母は $4 + 1 = 5$
よって $\frac{5 + 5 i}{5} = 1 + i$

問 3　 $(x + 3 i) (2 - i) = 7 + y i$ を満たす実数 $x$ 、 $y$ の値を求めよ。

$x = 2$ 、 $y = 4$

方針　複素数の等式は「実部どうし・虚部どうしが等しい」で 2 つの式に分けられる。左辺を展開して「実部 + 虚部 × $i$ 」の形に整理し、右辺 $7 + y i$ と比べる。

左辺を展開する。 $(x + 3 i) (2 - i) = 2 x - x i + 6 i - 3 i^{2}$
$i^{2} = - 1$ なので $- 3 i^{2} = 3$ 。 $i$ のない項と $i$ のつく項に分けて、 $(2 x + 3) + (6 - x) i$
$x$ 、 $y$ は実数なので、 $2 x + 3$ 、 $6 - x$ 、 $y$ も実数。実部と虚部を比べて $2 x + 3 = 7$ 、 $6 - x = y$
$2 x + 3 = 7$ から $2 x = 4$ なので、 $x = 2$
$6 - x = y$ に $x = 2$ を代入して、 $y = 4$

ここで間違えやすい　実部と虚部を比べられるのは、 $x$ 、 $y$ が実数だから。この条件がないと $2 x + 3$ や $6 - x$ が実数とは限らず、比べられない。

問 4　次の計算をせよ。(1) $- 3 \times - 12$ 　(2) $\frac{- 8}{2}$ 　(3) $\frac{12}{- 3}$

(1) $- 6$ 　(2) $2 i$ 　(3) $- 2 i$

方針　負の数の根号は、計算を始める前に $- a = a i$ （ $a > 0$ ）で $i$ を使った形に直す。 $a b = ab$ や $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ は、負の数が混ざるとそのままでは使えないからである。

(1) 根号の中の負の符号を $i$ にして外に出す。 $- 3 = 3 i$ 、 $- 12 = 12 i = 23 i$
掛ける。 $3 \times 23 = 6$ 、 $i \times i = i^{2}$ なので、 $3 i \times 23 i = 6 i^{2} = - 6$
(2) 分子を直す。 $- 8 = 8 i = 22 i$
$\frac{2 2 i}{2}$ を $2$ で約分して、 $2 i$
(3) 分子は $12 = 23$ 、分母は $- 3 = 3 i$ と直す。 $\frac{2 3}{3 i}$ を $3$ で約分して、 $\frac{2}{i}$
分母の $i$ を払うために、分子と分母に $i$ を掛ける。 $\frac{2}{i} = \frac{2 i}{i ^{2}}$ 。 $i^{2} = - 1$ なので、 $- 2 i$

ここで間違えやすい　(1) を、根号の中どうしを掛けて $36 = 6$ とするのは誤り。(3) を、根号の中どうしを割って $- 4 = 2 i$ とするのも誤りで、符号が逆になる。

問 5　 $1 + i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{10}$ を計算せよ。

$i$

方針　 $i$ の累乗は $i$ 、 $- 1$ 、 $- i$ 、1 の 4 つをくり返す（ $i^{4} = 1$ ）。連続する 4 つの和は 0 になるので、4 つずつ組にして消し、残った項だけを計算する。

$i^{2} = - 1$ 、 $i^{3} = - i$ なので、最初の 4 項の和は $1 + i + i^{2} + i^{3} = 1 + i + (- 1) + (- i) = 0$
$i^{4} = 1$ なので、次の 4 項 $i^{4}$ 、 $i^{5}$ 、 $i^{6}$ 、 $i^{7}$ も順に 1、 $i$ 、 $- 1$ 、 $- i$ となり、和は 0
項は 1（ $i$ の 0 乗）から $i^{10}$ まで全部で 11 個。8 個が消えて、残るのは $i^{8} + i^{9} + i^{10}$ の 3 個
$i^{8} = (i^{4})^{2} = 1$ なので、 $i^{9} = i^{8} \cdot i = i$ 、 $i^{10} = i^{8} \cdot i^{2} = - 1$
よって $i^{8} + i^{9} + i^{10} = 1 + i - 1 = i$

ここで間違えやすい　項の数は 10 個ではなく 11 個（先頭の 1 も 1 項と数える）。