二次方程式の解と判別式｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (1) いろいろな式ア (エ)「二次方程式の解の種類の判別及び解と係数の関係について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

複素数まで考えると、係数が実数の二次方程式はいつも 2 つの解（重解は 2 つと数える）をもちます。
解の公式の根号の中、判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ の符号で、解が実数か虚数かの解の種類の判別ができます。
また、2 つの解の和と積は係数だけで表せます（解と係数の関係）。解そのものを求めなくても、解の式の値が分かります。

判別式 $D = b^{2} - 4 a c$	解の種類
$D > 0$	異なる 2 つの実数解
$D = 0$	重解（実数）
$D < 0$	異なる 2 つの虚数解（互いに共役）

$a x^{2} + b x + c = 0$ の 2 つの解 $α$ 、 $β$	式
和	$α + β = - \frac{b}{a}$
積	$α β = \frac{c}{a}$
2 数 $α$ 、 $β$ を解とする二次方程式	$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

分かれ目は次の 3 つ。

和の符号はマイナス。 $α + β = - \frac{b}{a}$ 、 $α β = \frac{c}{a}$ で、和だけ符号が反転する
数学Ⅰの「実数解をもたない」は、数学Ⅱでは「虚数解をもつ」。どちらも条件は $D < 0$
$α^{2} + β^{2}$ などの対称式は、 $α + β$ と $α β$ で書き直してから値を入れる

1. 解の種類の判別

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(エ)

解の公式は複素数の範囲でも使えます。根号の中が負なら、負の数の平方根として $i$ を使って表します。

二次方程式 $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ を解くと？

$x = - 1 \pm 2 i$

解の公式で $x = - 1 \pm 1 - 5 = - 1 \pm - 4$ 。 $- 4 = 2 i$ なので虚数解になる。

判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ による、二次方程式の解の種類の判別は？

$D > 0$ なら異なる 2 つの実数解、 $D = 0$ なら重解、 $D < 0$ なら異なる 2 つの虚数解

係数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ が実数のときの判別。 $x$ の係数が $2 b^{'}$ なら $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ で判別してよい。「実数解をもつ」条件は $D ≧ 0$ 。

係数が実数の二次方程式が虚数解をもつとき、2 つの解はどんな関係にあるか？

互いに共役な複素数になる（ $p + q i$ と $p - q i$ ）

解の公式の $\pm D$ で、 $D < 0$ なら $\pm - D i$ となり、虚部の符号だけが違う 2 つになる。

2. 解と係数の関係

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(エ)

解の公式で出した 2 つの解を足したり掛けたりすると、根号の部分が消えて係数だけが残ります。

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の 2 つの解を $α$ 、 $β$ とするとき、解と係数の関係は？

$α + β = - \frac{b}{a}$ 、 $α β = \frac{c}{a}$

虚数解や重解のときも成り立つ。和は符号が反転し、積はそのまま。

$α^{2} + β^{2}$ と $α^{3} + β^{3}$ を、 $α + β$ と $α β$ で表すと？

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ 、 $α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$

$α$ と $β$ を入れかえても変わらない式（対称式）は、すべて和と積で表せる。

$(α - β)^{2}$ と $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ を、 $α + β$ と $α β$ で表すと？

$(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$ 、 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$

$(α - β)^{2}$ は 2 つの解の差の 2 乗。二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ では $\frac{b ^{2} - 4 a c}{a ^{2}}$ になり、判別式が現れる。

二次方程式 $2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$ の 2 つの解を $α$ 、 $β$ とするとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値は？

$α + β = 2$ 、 $α β = \frac{3}{2}$ なので、 $α^{2} + β^{2} = 2^{2} - 2 \cdot \frac{3}{2} = 1$ 。解は虚数だが、式の値は実数になる。

3. 2 数を解とする方程式と因数分解

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(エ)

解と係数の関係を逆に使うと、和と積から二次方程式が作れます。また、解が分かれば二次式を複素数の範囲で因数分解できます。

2 数 $α$ 、 $β$ を解とする二次方程式は？

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

$(x - α) (x - β) = 0$ を展開した形。例えば $2 + i$ 、 $2 - i$ を解とする方程式は、和 4・積 5 から $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 。

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の 2 つの解を $α$ 、 $β$ とするとき、 $a x^{2} + b x + c$ はどう因数分解されるか？

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$

先頭の $a$ を忘れない。複素数の範囲まで考えれば、どんな二次式も一次式の積に因数分解できる。例えば $x^{2} + 4 = (x + 2 i) (x - 2 i)$ 。

係数が実数の二次方程式が、異なる 2 つの正の解をもつ条件は？

$D > 0$ かつ $α + β > 0$ かつ $α β > 0$

和と積がともに正なら 2 つとも正。 $D > 0$ を忘れると、虚数解の場合まで含んでしまう（虚数には正・負がない）。

練習問題

問 1　次の二次方程式の解の種類を判別せよ。(1) $3 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 　(2) $4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

(1) 異なる 2 つの虚数解　(2) 重解

方針　解の種類は、解を求めなくても判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ の符号で決まる。 $D > 0$ なら異なる 2 つの実数解、 $D = 0$ なら重解、 $D < 0$ なら異なる 2 つの虚数解。 $x$ の係数が偶数（ $2 b^{'}$ ）のときは、 $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ のほうが計算が楽。

(1) $x^{2}$ の係数 3、 $x$ の係数 $- 5$ 、定数項 3 を $D = b^{2} - 4 a c$ に入れる。 $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 25 - 36 = - 11$
$D < 0$ なので、異なる 2 つの虚数解をもつ。
(2) $x$ の係数は $- 12 = 2 \times (- 6)$ なので、 $b^{'}$ は $- 6$ 。 $\frac{D}{4} = (- 6)^{2} - 4 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$
$\frac{D}{4} = 0$ なら $D = 0$ なので、重解をもつ。実際、 $4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2}$ で、重解は $x = \frac{3}{2}$

ここで間違えやすい　 $\frac{D}{4}$ の式で $4 a c$ を引いてしまうこと。 $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ で、引くのは $a c$ （ここでは $4 \cdot 9$ ）だけ。

問 2　二次方程式 $x^{2} + 2 k x + k + 6 = 0$ が虚数解をもつような、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$- 2 < k < 3$

方針　係数が実数の二次方程式が虚数解をもつ条件は、判別式が負（ $D < 0$ ）であること。 $D$ を $k$ の式で表すと $k$ の二次不等式になるので、それを解く。

$x$ の係数が $2 k$ なので、 $\frac{D}{4} = b^{'2} - a c$ の $b^{'}$ は $k$ 。 $\frac{D}{4} = k^{2} - 1 \cdot (k + 6) = k^{2} - k - 6$
虚数解をもつ条件は $D < 0$ なので、 $k^{2} - k - 6 < 0$
掛けて $- 6$ 、足して $- 1$ になる 2 数は 2 と $- 3$ なので、左辺を因数分解して $(k + 2) (k - 3) < 0$
積が負になるのは、 $k$ が $- 2$ と 3 の間にあるとき。よって $- 2 < k < 3$

ここで間違えやすい　等号は入らない。 $D = 0$ のときは重解（実数解）になり、虚数解ではない。

問 3　二次方程式 $x^{2} - 3 x + 4 = 0$ の 2 つの解を $α$ 、 $β$ とするとき、次の値を求めよ。(1) $α^{2} + β^{2}$ 　(2) $α^{3} + β^{3}$ 　(3) $\frac{β}{α} + \frac{α}{β}$

(1) 1　(2) $- 9$ 　(3) $\frac{1}{4}$

方針　 $α$ 、 $β$ そのものは虚数で、求めて代入すると計算が重い。解と係数の関係で和 $α + β$ と積 $α β$ を出し、求める式を和と積で書き直してから値を入れる。3 つとも $α$ と $β$ を入れかえても変わらない式（対称式）なので、必ず和と積で表せる。

解と係数の関係から、 $α + β = - \frac{- 3}{1} = 3$ 、 $α β = \frac{4}{1} = 4$
(1) $(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$ なので、 $2 α β$ を移項して $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$
値を入れて、 $3^{2} - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$
(2) $(α + β)^{3} = α^{3} + 3 α^{2} β + 3 α β^{2} + β^{3}$ で、真ん中の 2 項は $3 α β (α + β)$ とまとまる。移項して $α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$
値を入れて、 $3^{3} - 3 \cdot 4 \cdot 3 = 27 - 36 = - 9$
(3) 通分する。 $\frac{β}{α} + \frac{α}{β} = \frac{β ^{2} + α ^{2}}{α β}$
分子は (1) で求めた 1、分母は $α β = 4$ なので、 $\frac{1}{4}$

ここで間違えやすい　和の符号。 $α + β = - \frac{b}{a}$ なので、 $x^{2} - 3 x + 4 = 0$ の和は $- 3$ ではなく 3。

問 4　問 3 の $α$ 、 $β$ について、2 数 $α^{2}$ 、 $β^{2}$ を解とする二次方程式を 1 つ作れ。

$x^{2} - x + 16 = 0$

方針　2 数を解とする二次方程式は、その 2 数の和と積が分かれば「 $x^{2} -$ （和） $x +$ （積） $= 0$ 」で作れる。だから $α^{2}$ と $β^{2}$ の和と積を、問 3 で求めた値から計算する。

問 3 から、 $α β = 4$ 、 $α^{2} + β^{2} = 1$
2 数 $α^{2}$ 、 $β^{2}$ の和は、 $α^{2} + β^{2} = 1$
2 数の積は、 $α^{2} β^{2} = (α β)^{2}$ 。 $α β = 4$ なので $4^{2} = 16$
和 1、積 16 を当てはめて、 $x^{2} - 1 \cdot x + 16 = 0$ 。つまり $x^{2} - x + 16 = 0$

ここで間違えやすい　 $x$ の係数の符号。和が 1 なら $x$ の係数は $- 1$ になる。

問 5　 $2 x^{2} + 3 x + 2$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

$2 (x - \frac{- 3 + 7 i}{4}) (x - \frac{- 3 - 7 i}{4})$

方針　実数の範囲では因数分解できない二次式も、二次方程式の解 $α$ 、 $β$ が分かれば $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ と分解できる。だから、まず $2 x^{2} + 3 x + 2 = 0$ を解の公式で解く。

解の公式を使う。根号の中は $3^{2} - 4 \times 2 \times 2 = 9 - 16 = - 7$ 、分母は $2 \times 2 = 4$ なので、 $x = \frac{- 3 \pm - 7}{4}$
$- 7 = 7 i$ なので、解は $x = \frac{- 3 \pm 7 i}{4}$
2 つの解を $α = \frac{- 3 + 7 i}{4}$ 、 $β = \frac{- 3 - 7 i}{4}$ として、 $a (x - α) (x - β)$ に当てはめる。 $x^{2}$ の係数は 2
よって $2 (x - \frac{- 3 + 7 i}{4}) (x - \frac{- 3 - 7 i}{4})$

ここで間違えやすい　先頭の 2 を落とすこと。 $(x - α) (x - β)$ だけでは $x^{2}$ の係数が 1 になり、もとの式と一致しない。

問 6　二次方程式 $x^{2} - 6 x + k = 0$ の一方の解が他方の解の 2 倍であるとき、定数 $k$ の値と 2 つの解を求めよ。

$k = 8$ 、解は 2 と 4

方針　2 つの解の関係（一方が他方の 2 倍）が分かっているので、解を $α$ 、 $2 α$ と 1 文字でおく。解と係数の関係から和の式と積の式を作れば、 $α$ 、 $k$ の順に決まる。

2 つの解を $α$ 、 $2 α$ とおく。
解と係数の関係から、和は $α + 2 α = 6$ 、積は $α \cdot 2 α = k$
和の式から $3 α = 6$ なので、 $α = 2$
積の式から $k = 2 α^{2}$ 。 $α = 2$ を入れると $2 \times 2^{2} = 8$ なので、 $k = 8$
2 つの解は $α = 2$ と $2 α = 4$
確かめ: $k = 8$ のとき $x^{2} - 6 x + 8 = (x - 2) (x - 4)$ で、解は 2 と 4。たしかに一方が他方の 2 倍になっている。