多項式の除法と分数式｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (1) いろいろな式ア (イ)「多項式の除法や分数式の四則計算の方法について理解し，簡単な場合について計算をすること。」。

0. どういうまとまりか

多項式どうしも、整数と同じように割り算ができます。整数の「割られる数 = 割る数 × 商 + 余り」にあたるのが $A = B Q + R$ で、
余りの大きさの制限が「余りの次数が割る式の次数より低い」に変わります。
分母に文字を含む式（分数式）の計算は、分数の計算と同じ手順で、約分・通分の単位が数から因数に変わるだけです。

計算	整数・分数では	多項式・分数式では
割り算	$17 = 5 \times 3 + 2$ （余り $<$ 割る数）	$A = B Q + R$ （ $R$ の次数 $<$ $B$ の次数）
約分	分子・分母の公約数で割る	分子・分母を因数分解して共通因数で割る
通分	分母の最小公倍数にそろえる	分母を因数分解して、因数をすべて含む式にそろえる
割り算（分数）	逆数を掛ける	逆数を掛ける

分かれ目は次の 3 つ。

割られる式に欠けている次数があれば、その位置を 0 で空けてから割る
余りの次数は割る式の次数より低い。一次式で割れば余りは定数、二次式で割れば一次以下
分数式の約分は因数どうしでしかできない。 $\frac{x + 2}{x + 3}$ の $x$ を消すような「項」の約分はできない

1. 多項式の除法

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(イ)

多項式の除法は、両方の式を降べきの順に整理し、最高次の項どうしを割って商の項を 1 つずつ決めていきます。

多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商を $Q$ 、余りを $R$ とすると、どんな関係が成り立つか？

$A = B Q + R$ （ $R$ の次数は $B$ の次数より低い。 $R = 0$ もある）

$R = 0$ のとき、 $A$ は $B$ で割り切れるという。割り算の結果を確かめるときも、この式に戻せばよい。

多項式の割り算を始める前に、式をどう整えるか？

割られる式・割る式を降べきの順に並べ、割られる式に欠けている次数の項は 0 として位置を空けておく

$2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ なら $2 x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 4$ として並べる。位置を空けないと、引き算で次数がずれる。

一次式で割ったときと、二次式で割ったときの余りは、それぞれどんな式か？

一次式で割った余りは定数。二次式で割った余りは一次以下の式（ $a x + b$ の形）

余りの次数は、割る式の次数より低くなるまで割り進めるから。

$2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ を $x^{2} - x + 1$ で割った商と余りは？

商 $2 x - 1$ 、余り $- 3 x + 5$

$2 x$ を立てて引くと $- x^{2} - 2 x + 4$ 、 $- 1$ を立てて引くと $- 3 x + 5$ 。一次式になったので終わり。
$(x^{2} - x + 1) (2 x - 1) + (- 3 x + 5) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ で確かめられる。

ある多項式 $A$ を $x^{2} + 1$ で割ると、商が $x - 2$ 、余りが $3 x + 1$ であった。 $A$ は？

$A = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 1$

$A = B Q + R$ に当てはめて、 $A = (x^{2} + 1) (x - 2) + 3 x + 1$ を展開する。割られる式を求める問題は、割り算をせずにこの式を使う。

2. 分数式とその約分

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(イ)

$\frac{A}{B}$ の形で、分母 $B$ に文字を含む式を分数式といいます。分母が 0 になる文字の値は考えません。

分数式とは？

$A$ 、 $B$ を多項式として $\frac{A}{B}$ の形に表され、分母 $B$ に文字を含む式

分母が 0 になる値（ $\frac{1}{x - 1}$ なら $x = 1$ ）は除いて考える。多項式と分数式を合わせて有理式という。

$\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2}$ を約分すると？

$\frac{x - 1}{x + 2}$

分子 $(x + 1) (x - 1)$ 、分母 $(x + 1) (x + 2)$ と因数分解して、共通因数 $x + 1$ で割る。約分できるのは因数どうしだけ。

3. 分数式の四則計算

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(イ)

掛け算・割り算は分子どうし・分母どうしを掛け（割り算は逆数を掛け）てから約分し、足し算・引き算は分母を因数分解して通分します。

分数式の掛け算と割り算は、どうするか？

掛け算は分子どうし・分母どうしを掛ける。割り算は割る式の分子と分母を入れかえて（逆数にして）掛ける。先に因数分解しておき、最後に約分する

$\frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x ^{2} - 9} \div \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{( x + 2 ) ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )} \times \frac{x - 3}{x + 2} = 1$ 。

分数式の足し算・引き算で、通分の分母はどう決めるか？

各分母を因数分解し、現れた因数をすべて（重なりは 1 回分だけ）含む式にする

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{( x + 1 ) - ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2}{x ^{2} - 1}$ 。

$\frac{1}{x ( x + 1 )}$ を 2 つの分数式の差で表すと？

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

右辺を通分すると $\frac{( x + 1 ) - x}{x ( x + 1 )}$ に戻る。分数式の和を求めるとき、こう分けると隣どうしが打ち消し合う。

分母や分子に分数式を含む式（繁分数式） $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ を簡単にすると？

$\frac{x + 1}{x - 1}$

分子と分母の両方に $x$ を掛けると、中の分数が消える。

練習問題

問 1　 $3 x^{3} + x^{2} - 2$ を $x^{2} + x - 1$ で割った商と余りを求めよ。

商 $3 x - 2$ 、余り $5 x - 4$

方針　多項式の割り算は、最高次の項どうしを割って商の項を 1 つ立て、「割る式 × その項」を引く、をくり返す。残りの次数が割る式（二次）より低くなったら終わりで、それが余り。割られる式に $x$ の項がないので、0 で位置を空けておく。

割られる式を $3 x^{3} + x^{2} + 0 x - 2$ と書き、 $x$ の項の位置を空ける。
最高次の項どうしを割る。 $3 x^{3} \div x^{2} = 3 x$ なので、商にまず $3 x$ を立てる。
$(x^{2} + x - 1) \times 3 x = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ を引く。 $(3 x^{3} + x^{2} + 0 x - 2) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) = - 2 x^{2} + 3 x - 2$
残りの最高次の項を割る。 $- 2 x^{2} \div x^{2} = - 2$ なので、商に $- 2$ を立てる。
$(x^{2} + x - 1) \times (- 2) = - 2 x^{2} - 2 x + 2$ を引く。 $(- 2 x^{2} + 3 x - 2) - (- 2 x^{2} - 2 x + 2) = 5 x - 4$
$5 x - 4$ は一次式で、割る式の次数（二次）より低いので、ここで終わり。商は $3 x - 2$ 、余りは $5 x - 4$
確かめ: $(x^{2} + x - 1) (3 x - 2) = 3 x^{3} + x^{2} - 5 x + 2$ に $5 x - 4$ を足すと $3 x^{3} + x^{2} - 2$ に戻る。

ここで間違えやすい　引き算で、引く式の符号を変え忘れること。手順 5 では $3 x - (- 2 x) = 5 x$ になる。

問 2　多項式 $A$ を $x^{2} - 2 x + 3$ で割ると、商が $x + 1$ 、余りが $- 2 x + 4$ である。 $A$ を求めよ。

$A = x^{3} - x^{2} - x + 7$

方針　割られる式を求めるので、割り算はしない。「割られる式 = 割る式 × 商 + 余り」（ $A = B Q + R$ ）に、分かっている 3 つの式を入れて展開する。

$A = B Q + R$ の $B$ に $x^{2} - 2 x + 3$ 、 $Q$ に $x + 1$ 、 $R$ に $- 2 x + 4$ を入れる。 $A = (x^{2} - 2 x + 3) (x + 1) + (- 2 x + 4)$
積を展開する。 $(x^{2} - 2 x + 3) (x + 1) = x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 2 x + 3 x + 3$
同類項をまとめて、 $x^{3} - x^{2} + x + 3$
余りを足す。 $x^{3} - x^{2} + x + 3 + (- 2 x + 4) = x^{3} - x^{2} - x + 7$

問 3　次の計算をせよ。(1) $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - x - 2}$ を約分　(2) $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + x} \times \frac{x + 1}{x - 3}$

(1) $\frac{x + 2}{x + 1}$ 　(2) $\frac{x + 3}{x}$

方針　分数式の約分は、分子と分母をそれぞれ因数分解し、共通の因数で割る。(2) の掛け算も、掛ける前に因数分解しておくと、約分できる因数が見える。

(1) 分子は 2 乗の差なので、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$
分母は、掛けて $- 2$ 、足して $- 1$ になる 2 数が $- 2$ と 1 なので、 $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$
$\frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )}$ を共通因数 $x - 2$ で約分して、 $\frac{x + 2}{x + 1}$
(2) 1 つ目の分数の分子と分母を因数分解する。 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ 、 $x^{2} + x = x (x + 1)$
分子どうし・分母どうしを掛ける。 $\frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{x ( x + 1 )} \times \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )}{x ( x + 1 ) ( x - 3 )}$
分子と分母に共通な $x - 3$ と $x + 1$ で約分して、 $\frac{x + 3}{x}$

ここで間違えやすい　 $\frac{x + 2}{x + 1}$ や $\frac{x + 3}{x}$ の $x$ をさらに消すことはできない。約分できるのは因数（掛け算のかたまり）どうしだけで、足し算の項は消せない。

問 4　 $\frac{2}{x ^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1}$ を計算せよ。

$\frac{1}{x - 1}$

方針　分母が違う足し算なので通分する。分母を因数分解すると $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ で、もう一方の分母 $x + 1$ を含んでいる。だから通分の分母は $(x + 1) (x - 1)$ でよい。

1 つ目の分母を因数分解する。 $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$
2 つ目の分数の分子と分母に $x - 1$ を掛けて、分母をそろえる。 $\frac{1}{x + 1} = \frac{x - 1}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$
分子どうしを足す。 $\frac{2}{( x + 1 ) ( x - 1 )} + \frac{x - 1}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{2 + ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$
分子を整理すると $2 + (x - 1) = x + 1$ なので、 $\frac{x + 1}{( x + 1 ) ( x - 1 )}$
共通因数 $x + 1$ で約分して、 $\frac{1}{x - 1}$

ここで間違えやすい　通分して足したところで終わりにすること。分子を整理したら、最後に約分できないかを確かめる。

問 5　 $\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )}$ を計算せよ。

$\frac{2}{x ( x + 2 )}$

方針　2 つの分母に現れる因数は $x$ 、 $x + 1$ 、 $x + 2$ の 3 つなので、通分の分母は $x (x + 1) (x + 2)$ 。足したあとの分子が因数分解できれば約分する。

1 つ目の分数には $x + 2$ を、2 つ目の分数には $x$ を、分子と分母に掛ける。 $\frac{x + 2}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{x}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$
分子どうしを足す。 $\frac{( x + 2 ) + x}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{2 x + 2}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$
分子を 2 でくくると $2 x + 2 = 2 (x + 1)$ なので、 $\frac{2 ( x + 1 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$
共通因数 $x + 1$ で約分して、 $\frac{2}{x ( x + 2 )}$

別解: $\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ 、 $\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}$ と差に分けると、 $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) + (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}$ と真ん中が打ち消し合う。これを通分して $\frac{( x + 2 ) - x}{x ( x + 2 )} = \frac{2}{x ( x + 2 )}$ 。

問 6　 $\frac{x - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ を簡単にせよ。

$x - 1$

方針　分子と分母の中に $\frac{1}{x}$ が入っている（繁分数式）。中の分母 $x$ を消したいので、全体の分子と分母の両方に $x$ を掛ける。同じものを掛けるので、式の値は変わらない。

分子に $x$ を掛ける。 $(x - \frac{1}{x}) \times x = x^{2} - 1$
分母に $x$ を掛ける。 $(1 + \frac{1}{x}) \times x = x + 1$
よって、もとの式は $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$
分子を因数分解して、 $\frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x + 1}$
共通因数 $x + 1$ で約分して、 $x - 1$