三次の乗法公式と二項定理｜高校数学Ⅱ

学習指導要領数学Ⅱ (1) いろいろな式ア (ア)「三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し，それらを用いて式の展開や因数分解をすること。」。

0. どういうまとまりか

数学Ⅰの二次の乗法公式を三次に広げたのが三次の乗法公式です。展開の公式を逆に読めば、そのまま因数分解の公式になります。
さらに $(a + b)^{n}$ を一般の $n$ で展開する式が二項定理で、各項の係数は組合せの数 $_{n} C_{r}$ になります。

形	展開・因数分解の結果	符号の見方
$(a + b)^{3}$	$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	係数は 1, 3, 3, 1
$(a - b)^{3}$	$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$	$b$ の奇数乗の項がマイナス
$a^{3} + b^{3}$	$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$	2 つ目の因数の真ん中がマイナス
$a^{3} - b^{3}$	$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$	2 つ目の因数の真ん中がプラス
$(a + b)^{n}$	$\sum_{r = 0}^{n}_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$	一般項は $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$

分かれ目は次の 3 つ。

$a^{3} + b^{3}$ の 2 つ目の因数は $a^{2} - ab + b^{2}$ 。 $(a + b)^{2}$ のような $2 ab$ はつかず、符号も逆になる
係数を求めるときは、一般項の $a$ ・ $b$ に符号や係数ごと入れる。 $(3 x - 2)^{5}$ なら $a = 3 x$ 、 $b = - 2$
$x$ と $\frac{1}{x}$ が混ざる式は、一般項の $x$ の指数を $r$ の式で書いて、求める次数になる $r$ を決める

1. 三次の乗法公式と因数分解

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(ア)

$(a + b)^{2}$ にもう一度 $(a + b)$ を掛けると、三次の展開公式が出ます。これを逆に使うと因数分解の公式になります。

三次の乗法公式で、 $(a + b)^{3}$ と $(a - b)^{3}$ の展開は？

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 、 $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

係数は 1, 3, 3, 1。 $(a - b)^{3}$ は $b$ を $- b$ に置きかえたもので、 $b$ の奇数乗の項がマイナスになる。

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ と $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ を展開すると？

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ 、 $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

途中の項 $\pm a^{2} b$ 、 $\pm a b^{2}$ が打ち消し合って、2 項だけが残る。

$a^{3} + b^{3}$ と $a^{3} - b^{3}$ の因数分解の公式は？符号はどう覚えるか？

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ 、 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

1 つ目の因数の符号はもとの式と同じ、2 つ目の因数の真ん中はその逆、最後の $b^{2}$ はいつもプラス。

$x^{3} + 8$ と $27 x^{3} - 1$ を因数分解すると？

$x^{3} + 8 = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ 、 $27 x^{3} - 1 = (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$

$8 = 2^{3}$ 、 $27 x^{3} = (3 x)^{3}$ と見て、 $a^{3} \pm b^{3}$ の公式に当てはめる。

$(2 x - 1)^{3}$ を展開すると？

$8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

$(a - b)^{3}$ で $a = 2 x$ 、 $b = 1$ 。 $3 a^{2} b = 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 1 = 12 x^{2}$ のように、 $a$ を $2 x$ ごと 2 乗する。

2. 二項定理とパスカルの三角形

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(ア)

$(a + b)^{n}$ を展開したとき、 $a^{n - r} b^{r}$ の項は $n$ 個の $(a + b)$ のうち $r$ 個から $b$ を選ぶ選び方の数だけ出てきます。だから係数は $_{n} C_{r}$ です。

二項定理とは？

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b + \dots +_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots +_{n} C_{n} b^{n}$

係数 $_{n} C_{r}$ を二項係数という。 $n$ 個の因数 $(a + b)$ から $b$ を $r$ 個選ぶ選び方の数。

$(a + b)^{n}$ の展開式の一般項は？

$_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$ （ $r = 0, 1, 2, \dots, n$ ）

$a$ と $b$ の指数の和はいつも $n$ 。特定の項の係数は、この一般項から求める。

パスカルの三角形とは？どんな規則で並んでいるか？

$(a + b)^{n}$ の二項係数を $n = 0, 1, 2, \dots$ の順に三角形に並べたもの。各行の両端は 1 で、隣り合う 2 数の和がその間の下の数になる

$n = 4$ の行は 1, 4, 6, 4, 1、 $n = 5$ の行は 1, 5, 10, 10, 5, 1。規則は $_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}$ を表している。左右対称なのは $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ だから。

3. 係数を求める

根拠: 学習指導要領数学Ⅱ-(1)-ア-(ア)

全部を展開しなくても、一般項に当てはめれば特定の項の係数だけが求まります。

$(x + 2)^{5}$ の展開式で、 $x^{3}$ の係数は？

一般項は $_{5} C_{r} x^{5 - r} 2^{r}$ 。 $5 - r = 3$ から $r = 2$ で、 $_{5} C_{2} \cdot 2^{2} = 10 \times 4 = 40$ 。

$(2 x - \frac{1}{x})^{6}$ の展開式の定数項は？

$- 160$

一般項は $_{6} C_{r} (2 x)^{6 - r} (- \frac{1}{x})^{r} =_{6} C_{r} 2^{6 - r} (- 1)^{r} x^{6 - 2 r}$ 。 $6 - 2 r = 0$ から $r = 3$ で、 $20 \times 8 \times (- 1) = - 160$ 。

二項定理を使って、 $_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{n}$ の値を求めると？

$2^{n}$

$(1 + x)^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} x + \dots +_{n} C_{n} x^{n}$ に $x = 1$ を代入する。 $x = - 1$ を代入すれば、符号を交互にした和が 0 になる（ $n ≧ 1$ ）。

【発展・数学Ⅱの範囲外】 $(a + b + c)^{n}$ の展開式で、 $a^{p} b^{q} c^{r}$ （ $p + q + r = n$ ）の係数は？

$\frac{n !}{p ! q ! r !}$

$n$ 個の因数から $a$ を $p$ 個、 $b$ を $q$ 個、 $c$ を $r$ 個選ぶ並べ方の数（同じものを含む順列）。教科書では発展として触れる程度なので、復習には出さずにここに置いている。 $(a + b) + c$ と 2 つに分けて二項定理を 2 回使っても求まる。

練習問題

問 1　次の式を展開せよ。(1) $(x + 3)^{3}$ 　(2) $(2 a - b)^{3}$

(1) $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ 　(2) $8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3}$

方針　どちらも 3 乗の形なので、三次の乗法公式 $(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$ に当てはめる。公式の $a$ 、 $b$ が何にあたるかを先に決め、 $2 a$ のような係数つきの文字はかたまりのまま入れる。

(1) は公式の $a$ が $x$ 、 $b$ が 3 にあたる。 $(x + 3)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} + 3^{3}$
各項を計算する。 $3 \cdot x^{2} \cdot 3 = 9 x^{2}$ 、 $3 \cdot x \cdot 3^{2} = 27 x$ 、 $3^{3} = 27$ なので、 $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$
(2) は公式の $a$ が $2 a$ 、 $b$ が $b$ にあたる。 $(2 a - b)^{3} = (2 a)^{3} - 3 (2 a)^{2} b + 3 (2 a) b^{2} - b^{3}$
かっこの累乗を先に計算する。 $(2 a)^{3} = 8 a^{3}$ 、 $(2 a)^{2} = 4 a^{2}$
係数を掛ける。 $3 \cdot 4 a^{2} \cdot b = 12 a^{2} b$ 、 $3 \cdot 2 a \cdot b^{2} = 6 a b^{2}$ なので、 $8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3}$

ここで間違えやすい　 $(2 a)^{2}$ を $2 a^{2}$ としてしまうこと。係数の 2 も 2 乗して $4 a^{2}$ にしてから 3 倍する。

問 2　次の式を因数分解せよ。(1) $8 x^{3} + 27$ 　(2) $x^{6} - 64$

(1) $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$ 　(2) $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$

方針　 $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ 、 $27 = 3^{3}$ のように「何かの 3 乗」と見られれば、 $a^{3} \pm b^{3}$ の公式が使える。(2) は 6 乗なので 2 乗の差とも 3 乗の差とも見られるが、先に 2 乗の差 $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ で分けるほうが最後まで分解しやすい。

(1) $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ 、 $27 = 3^{3}$ なので、 $8 x^{3} + 27 = (2 x)^{3} + 3^{3}$
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ の $a$ に $2 x$ 、 $b$ に 3 を入れる。 $(2 x + 3) {(2 x)^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}}$
かっこの中を計算して、 $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9)$
(2) $x^{6} = (x^{3})^{2}$ 、 $64 = 8^{2}$ なので、 $x^{6} - 64 = (x^{3})^{2} - 8^{2} = (x^{3} + 8) (x^{3} - 8)$
前の因数は $a^{3} + b^{3}$ の公式で、 $x^{3} + 8 = x^{3} + 2^{3} = (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$
後ろの因数は $a^{3} - b^{3}$ の公式で、 $x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$
2 つを掛け合わせて、 $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$

ここで間違えやすい　(2) で先に $(x^{2})^{3} - 4^{3}$ と見ると $(x^{2} - 4) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$ となり、後ろの因数がさらに $(x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$ と分解できることに気づきにくい。

問 3　 $(3 x - 2)^{5}$ の展開式で、 $x^{2}$ の係数を求めよ。

$- 720$

方針　全部を展開しなくても、二項定理の一般項 $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$ を使えば $x^{2}$ の項だけを取り出せる。 $a$ に $3 x$ 、 $b$ に $- 2$ を符号・係数ごと入れ、 $x$ の指数が 2 になる $r$ を決める。

一般項を書く。 $_{5} C_{r} (3 x)^{5 - r} (- 2)^{r}$
$(3 x)^{5 - r} = 3^{5 - r} x^{5 - r}$ なので、 $x$ の指数は $5 - r$
$x^{2}$ の項になるのは $5 - r = 2$ のときなので、 $r = 3$
$r = 3$ を一般項に入れると、係数は $_{5} C_{3} \cdot 3^{2} \cdot (- 2)^{3}$
$_{5} C_{3} =_{5} C_{2} = 10$ 、 $3^{2} = 9$ 、 $(- 2)^{3} = - 8$ なので、 $10 \times 9 \times (- 8) = - 720$

ここで間違えやすい　 $b$ を 2 として符号を落とすこと、 $3 x$ の 3 を 2 乗し忘れること。

問 4　 $(x^{2} + \frac{1}{x})^{6}$ の展開式で、 $x^{3}$ の係数と定数項を求めよ。

$x^{3}$ の係数は 20、定数項は 15

方針　 $x^{2}$ と $\frac{1}{x}$ が混ざるので、一般項の $x$ の指数を $r$ の式で表す。その指数が 3 になる $r$ と、0 になる $r$ （定数項）をそれぞれ求めて、係数 $_{6} C_{r}$ を計算する。

一般項は $_{6} C_{r} (x^{2})^{6 - r} (\frac{1}{x})^{r}$
$(x^{2})^{6 - r} = x^{12 - 2 r}$ で、 $(\frac{1}{x})^{r}$ を掛けると $x$ の指数が $r$ だけ下がる。 $x$ の指数は $12 - 2 r - r = 12 - 3 r$ なので、一般項は $_{6} C_{r} x^{12 - 3 r}$
$x^{3}$ の項は $12 - 3 r = 3$ のとき。 $3 r = 9$ から $r = 3$
その係数は $_{6} C_{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$
定数項は $x$ の指数が 0 のとき。 $12 - 3 r = 0$ から $r = 4$
その係数は $_{6} C_{4} =_{6} C_{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

ここで間違えやすい　定数項は「 $x$ を含まない項」、つまり $x$ の指数が 0 の項。 $r = 0$ の項ではない。

問 5　 $_{6} C_{0} +_{6} C_{1} +_{6} C_{2} + \dots +_{6} C_{6}$ と、 $_{6} C_{0} -_{6} C_{1} +_{6} C_{2} - \dots +_{6} C_{6}$ の値を求めよ。

64 と 0

方針　二項係数の和は、1 つずつ計算しなくても、 $(1 + x)^{6}$ の展開式の $x$ に数を代入すると一度に求まる。全部プラスの和なら $x = 1$ 、符号が交互の和なら $x = - 1$ を入れる。

二項定理から、 $(1 + x)^{6} =_{6} C_{0} +_{6} C_{1} x +_{6} C_{2} x^{2} + \dots +_{6} C_{6} x^{6}$
$x = 1$ を代入すると、右辺は $_{6} C_{0} +_{6} C_{1} +_{6} C_{2} + \dots +_{6} C_{6}$ になる。左辺は $(1 + 1)^{6} = 2^{6} = 64$
$x = - 1$ を代入すると、 $x$ の奇数乗の項だけがマイナスになり、右辺は $_{6} C_{0} -_{6} C_{1} +_{6} C_{2} - \dots +_{6} C_{6}$ になる。左辺は $(1 - 1)^{6} = 0^{6} = 0$
確かめ: パスカルの三角形の $n = 6$ の行は 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1。全部足すと $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$ 、交互に足し引きすると $1 - 6 + 15 - 20 + 15 - 6 + 1 = 0$