分散と標準偏差｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (4) データの分析ア (ア)「分散，標準偏差，散布図及び相関係数の意味やその用い方を理解すること」と、
(イ)「コンピュータなどの情報機器を用いるなどして，データを表やグラフに整理したり，分散や標準偏差などの基本的な統計量を求めたりすること」。

0. どういうまとまりか

中学では、データの中心を代表値で、散らばりを範囲や四分位範囲で表しました。まず復習です。

言葉	意味
平均値	データの値の合計 ÷ データの個数。 $x ˉ$ と書く
中央値	小さい順に並べたときの真ん中の値（偶数個なら真ん中 2 つの平均）
最頻値	最も多く現れる値（度数分布表では度数が最大の階級の階級値）
四分位数	小さい順に並べて 4 等分する位置の 3 つの値（第 1・第 2・第 3 四分位数）
四分位範囲	第 3 四分位数 − 第 1 四分位数
箱ひげ図	最小値・第 1 四分位数・中央値・第 3 四分位数・最大値を 1 つの図にしたもの

四分位範囲は真ん中の約半分しか見ません。数学Ⅰでは、すべての値が平均値からどれだけ離れているかを 1 つの数にまとめる
分散と標準偏差を学びます。

分かれ目は次の 3 つ。

偏差の合計は必ず 0。だから 2 乗してから平均する
分散は 2 通りで求まる。「偏差の 2 乗の平均」と「2 乗の平均 − 平均の 2 乗」
分散の単位は元の単位の 2 乗、標準偏差は元と同じ単位

1. 偏差と分散

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(4)-ア-(ア)

変量 $x$ の $n$ 個の値を $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 、平均値を $x ˉ$ とします。
各値から平均値を引いた $x_{k} - x ˉ$ を偏差といいます。偏差をそのまま平均すると 0 になってしまうので、
2 乗してから平均したものを散らばりの大きさとします。これが分散です。

s^{2} = \frac{1}{n} {(x_{1} - x ˉ)^{2} + (x_{2} - x ˉ)^{2} + \dots + (x_{n} - x ˉ)^{2}}

たとえば 5, 7, 8, 9, 11 の平均値は 8、偏差は $- 3, - 1, 0, 1, 3$ で、分散は $\frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = 4$ です。

偏差とは何か？

各値から平均値を引いた値 $x_{k} - x ˉ$

平均値より大きい値の偏差は正、小さい値の偏差は負になる。

偏差の合計（すべての偏差を足したもの）は、いつもいくつになるか？

平均値より大きい側と小さい側で打ち消し合う。だから偏差をそのまま平均しても散らばりは測れない。

分散の定義は？

偏差の 2 乗の平均値

$s^{2} = \frac{1}{n} {(x_{1} - x ˉ)^{2} + \dots + (x_{n} - x ˉ)^{2}}$ 。2 乗すれば負の偏差も正になり、打ち消し合わない。

データの個数が $n$ のとき、偏差の 2 乗の合計を何で割ると分散になるか？（数学Ⅰの定義）

$n$ （データの個数）

$n - 1$ で割るのは別の目的の量で、数学Ⅰの分散では使わない。

分散が 0 になるのは、どんなデータか？

すべての値が等しいデータ

偏差がすべて 0 のときだけ、偏差の 2 乗の合計が 0 になる。

2. 標準偏差と使い分け

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(4)-ア-(ア)

分散は偏差を 2 乗しているので、単位も 2 乗になります（cm のデータなら cm²）。
元のデータと同じ単位にそろえるため、分散の正の平方根をとったものを標準偏差といいます。

s = s^{2}

分散・標準偏差はすべての値を使うので、データ全体の散らばりを表せます。その代わり、飛び離れた値に強く引きずられます。

標準偏差の定義は？

分散の正の平方根 $s = s^{2}$

上の例（分散 4）なら標準偏差は 2。

分散と標準偏差の単位は、それぞれどうなるか？

分散は元の単位の 2 乗、標準偏差は元のデータと同じ単位

身長（cm）のデータなら、分散は cm²、標準偏差は cm。平均値と並べて比べられるのは標準偏差のほう。

散らばりの大きさを、平均値と組にして表すときは何を使い、中央値と組にして表すときは何を使うか？

平均値には標準偏差（分散）、中央値には四分位範囲

標準偏差は平均値からの離れ具合で測る。四分位範囲は四分位数で測り、外れ値の影響を受けにくい。

平均値が同じ 2 つのデータで、標準偏差が大きいほうはどんなデータか？

平均値のまわりに値が広く散らばっているデータ

標準偏差が小さいほど、値が平均値の近くに集まっている。

3. 統計量を求める

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(4)-ア-(イ)

平均値・分散・標準偏差のように、データの特徴を表す数を統計量といいます。
分散は、偏差を計算しなくても、2 乗の平均値から平均値の 2 乗を引いて求められます。

s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}

5, 7, 8, 9, 11 なら 2 乗の平均値は $\frac{25 + 49 + 64 + 81 + 121}{5} = 68$ で、 $68 - 8^{2} = 4$ 。定義で求めた値と一致します。
平均値が整数にならないときは、こちらのほうが計算が楽です。個数の多いデータは、コンピュータ（表計算ソフトなど）で求めます。

分散を「2 乗の平均値」と「平均値」から求める式は？

$s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ （2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗）

順番を逆にしない。「平均値の 2 乗 − 2 乗の平均値」だと分散に − を付けた値（0 以下）になる。

度数分布表（値 $x_{k}$ の度数が $f_{k}$ 、度数の合計が $n$ ）から平均値を求める式は？

$x ˉ = \frac{1}{n} (x_{1} f_{1} + x_{2} f_{2} + \dots + x_{k} f_{k})$

値と度数の積を合計して、度数の合計で割る。分散も同じく、偏差の 2 乗に度数を掛けて合計し、 $n$ で割る。

統計量とは何か？（例を 3 つ）

データの特徴を表す数。平均値・分散・標準偏差など

中央値・四分位数・範囲・四分位範囲・相関係数も統計量。

練習問題

問 1　データ 5, 7, 8, 9, 11 の平均値、分散、標準偏差を、定義どおりに求めよ。

平均値 8、分散 4、標準偏差 2

方針　「定義どおり」なので、まず平均値を出し、各値の偏差（値 − 平均値）、偏差の 2 乗の順に表を作る。分散は偏差の 2 乗の平均値、標準偏差はその正の平方根。

合計を個数で割って平均値を出す。 $5 + 7 + 8 + 9 + 11 = 40$ なので、平均値は $40 \div 5 = 8$
各値から平均値 8 を引いて偏差を出し、それぞれ 2 乗する（下の表）。
偏差の 2 乗の合計は $9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$ 。これを個数 5 で割って、分散は $20 \div 5 = 4$
標準偏差は分散の正の平方根なので、 $4 = 2$

値	5	7	8	9	11	合計
偏差	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$0$
偏差の 2 乗	$9$	$1$	$0$	$1$	$9$	$20$

問 2　データ 3, 4, 6, 7, 10 の分散を、「2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗」で求めよ。また標準偏差を求めよ。

分散 6、標準偏差 $6$

方針　「2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗」を使うので、偏差は出さない。要るのは、値の平均値と、値を 2 乗したものの平均値の 2 つ。

平均値を出す。 $3 + 4 + 6 + 7 + 10 = 30$ なので、 $30 \div 5 = 6$
各値を 2 乗して合計する。 $3^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 1 0^{2} = 9 + 16 + 36 + 49 + 100 = 210$
2 乗の平均値は $210 \div 5 = 42$
分散は「2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗」なので、 $42 - 6^{2} = 42 - 36 = 6$
標準偏差は分散の正の平方根なので、 $6$

確かめ（定義どおり）：偏差は $- 3, - 2, 0, 1, 4$ で、2 乗の合計は $9 + 4 + 0 + 1 + 16 = 30$ 、分散は $30 \div 5 = 6$ 。一致する。

ここで間違えやすい　引くのは「平均値の 2 乗」の $6^{2} = 36$ で、平均値の 6 そのものではない。

問 3　A 班の得点は 6, 8, 10, 12, 14、B 班の得点は 9, 10, 10, 10, 11 である。平均値と分散を比べ、どちらの班の得点が散らばっているか答えよ。

平均値はどちらも 10。分散は A 班 8、B 班 0.4 で、A 班のほうが散らばっている

方針　散らばりは分散で比べる。班ごとに、平均値、偏差、偏差の 2 乗の順に求め、分散が大きいほうが散らばっている。

A 班の平均値を出す。 $6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50$ なので、 $50 \div 5 = 10$
B 班の平均値を出す。 $9 + 10 + 10 + 10 + 11 = 50$ なので、 $50 \div 5 = 10$ 。平均値は同じになる。
A 班の偏差（値 − 10）は $- 4, - 2, 0, 2, 4$ 。2 乗の合計は $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ なので、分散は $40 \div 5 = 8$
B 班の偏差は $- 1, 0, 0, 0, 1$ 。2 乗の合計は $1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 2$ なので、分散は $2 \div 5 = 0.4$
$8 > 0.4$ なので、A 班のほうが散らばっている。

平均値だけでは違いが分からない例。

問 4　ある 10 人が 1 週間に読んだ本の冊数を調べた。1 冊が 2 人、2 冊が 3 人、3 冊が 4 人、4 冊が 1 人だった。平均値と分散を求めよ。

平均値 2.4 冊、分散 0.84

方針　同じ値の人が何人もいるので、「冊数 × 人数」を合計して全体の人数 10 で割る。平均値が小数になるので、分散は偏差を使わず「2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗」で求める。

冊数 $x$ と人数 $f$ を表にまとめ、 $x f$ と $x^{2} f$ の行を足す（下の表）。
冊数の合計は $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 1 = 2 + 6 + 12 + 4 = 24$ なので、平均値は $\frac{24}{10} = 2.4$
冊数の 2 乗の合計は $1 \times 2 + 4 \times 3 + 9 \times 4 + 16 \times 1 = 2 + 12 + 36 + 16 = 66$ なので、2 乗の平均値は $\frac{66}{10} = 6.6$
平均値の 2 乗は $2. 4^{2} = 5.76$
分散は $6.6 - 5.76 = 0.84$

冊数 $x$	1	2	3	4	合計
人数 $f$	2	3	4	1	10
$x f$	2	6	12	4	24
$x^{2} f$	2	12	36	16	66

ここで間違えやすい　割る数は値の種類の数 4 ではなく、人数の合計 10。また、2 乗するのは冊数だけで、人数は 2 乗しない。

問 5　平均値 6、分散 4 の 5 個のデータに、値 6 を 1 個加えた。6 個のデータの平均値と分散を求めよ。

平均値 6、分散 $\frac{10}{3}$

方針　もとの 5 個の値は分からないが、平均値からは「合計」が、分散からは「偏差の 2 乗の合計」が逆算できる（どちらも個数を掛ければよい）。そこに加えた 1 個の分を足して、6 個で割り直す。

もとの合計は「平均値 × 個数」で、 $6 \times 5 = 30$
値 6 を加えた合計は $30 + 6 = 36$ なので、新しい平均値は $36 \div 6 = 6$ 。平均値は変わらない。
もとの偏差の 2 乗の合計は「分散 × 個数」で、 $4 \times 5 = 20$
平均値が 6 のままなので、もとの 5 個の偏差は変わらない。加えた値の偏差は $6 - 6 = 0$ で、その 2 乗は $0^{2} = 0$
新しい偏差の 2 乗の合計は $20 + 0 = 20$ 。これを 6 個で割って、分散は $\frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

平均値と同じ値を加えると、散らばりは小さくなる（分散は 4 から $\frac{10}{3} ≒ 3.33$ へ）。

ここで間違えやすい　割る数を 5 のままにしない。偏差の 2 乗の合計が同じでも、個数が 6 に増えたので分散は小さくなる。