二次不等式｜高校数学Ⅰ — みならいノート

学習指導要領数学Ⅰ (3) 二次関数ア (ウ)「二次不等式の解と二次関数のグラフとの関係について理解し，二次関数のグラフを用いて二次不等式の解を求めること」。

0. どういうまとまりか

二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ の解は、放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が x 軸より上にある部分の $x$ の範囲です。
まず $a > 0$ に直し、二次方程式とグラフの判別式 $D$ で x 軸との共有点を調べてから、グラフを見て読みます。

$a > 0$ のとき（ $D > 0$ なら、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の 2 つの解を $α < β$ とする）:

	$D > 0$	$D = 0$ （重解 $α$ ）	$D < 0$
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < α, β < x$	$α$ 以外のすべての実数	すべての実数
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$x \leq α, β \leq x$	すべての実数	すべての実数
$a x^{2} + b x + c < 0$	$α < x < β$	解なし	解なし
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$α \leq x \leq β$	$x = α$	解なし

分かれ目は次の 3 つ。

$a < 0$ なら、両辺に $- 1$ を掛けて $a > 0$ に直す。不等号の向きが逆になる
$D > 0$ で「 $> 0$ 」は 2 つの解の外側、「 $< 0$ 」は内側
$D \leq 0$ のときは、グラフが x 軸より下に出ないので、解は「すべての実数」「解なし」「1 点」のどれか

1. D>0 のときの解き方

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ウ)

二次不等式は、グラフと x 軸の共有点の $x$ 座標を境にして、グラフが x 軸の上にあるか下にあるかで解を読みます。
共有点の $x$ 座標は、二次方程式を解いて求めます。

二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ の解は、グラフでは何にあたるか？

放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が x 軸より上にある部分の $x$ の範囲

「 $< 0$ 」なら x 軸より下にある部分。

$a > 0$ 、 $D > 0$ で、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解を $α < β$ とする。 $a x^{2} + b x + c > 0$ の解は？

$x < α, β < x$ （2 つの解の外側）

下に凸なので、2 つの共有点の外側で x 軸より上にある。

$a > 0$ 、 $D > 0$ で、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解を $α < β$ とする。 $a x^{2} + b x + c < 0$ の解は？

$α < x < β$ （2 つの解の内側）

「 $\leq 0$ 」なら端を含めて $α \leq x \leq β$ 。

$x^{2}$ の係数が負の二次不等式は、最初に何をするか？

両辺に $- 1$ を掛けて $x^{2}$ の係数を正にし、不等号の向きを逆にする

$- x^{2} + x + 2 > 0$ は $x^{2} - x - 2 < 0$ になる。

2. D=0、D<0 のときの解

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ウ)

$D = 0$ のとき、 $a > 0$ の放物線は x 軸に接し、接点以外では x 軸より上にあります。
$D < 0$ のときは、x 軸と共有点をもたず、いつも x 軸より上にあります。

$(x - α)^{2} > 0$ の解は？

$α$ 以外のすべての実数

$x = α$ のときだけ左辺が 0 になる。「 $\geq 0$ 」ならすべての実数。

$(x - α)^{2} < 0$ と $(x - α)^{2} \leq 0$ の解は？

$(x - α)^{2} < 0$ は解なし、 $(x - α)^{2} \leq 0$ は $x = α$

2 乗は負にならない。

$a > 0$ 、 $D < 0$ のとき、 $a x^{2} + b x + c > 0$ と $a x^{2} + b x + c < 0$ の解は？

$a x^{2} + b x + c > 0$ はすべての実数、 $a x^{2} + b x + c < 0$ は解なし

グラフがいつも x 軸より上にある。

3. すべての実数で成り立つ条件

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ウ)

「どんな $x$ についても $a x^{2} + b x + c > 0$ 」は、グラフがいつも x 軸より上にあることです。
下に凸で、しかも x 軸と共有点をもたなければよいので、条件は 2 つそろって初めて決まります。

二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は？

$a > 0$ かつ $D < 0$

下に凸で、x 軸と共有点をもたない。

$a x^{2} + b x + c \geq 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は？（ $a \neq = 0$ ）

$a > 0$ かつ $D \leq 0$

x 軸に接してもよいので $D = 0$ を含む。

「 $a x^{2} + b x + c > 0$ がすべての実数で成り立つ」で、 $x^{2}$ の係数 $a$ が文字のとき、何に注意するか？

$a = 0$ の場合を別に調べる

$a = 0$ では二次不等式でなくなり、 $a > 0$ かつ $D < 0$ の条件が使えない。

4. 連立不等式と、解から係数を決める

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(3)-ア-(ウ)

連立不等式は、それぞれの不等式を解いて数直線に並べ、共通部分をとります。
また、解が先に分かっているときは、その解になる二次不等式を作って係数を比べます。

連立二次不等式の解は、どうやって求めるか？

それぞれの不等式を解き、数直線上で解の共通部分をとる

端を含むかどうか（● と ○）を数直線にかき分ける。

解が $α < x < β$ になる二次不等式を 1 つ作ると？

$(x - α) (x - β) < 0$

解が $x < α, β < x$ なら $(x - α) (x - β) > 0$ 。

練習問題

問 1　二次不等式 $x^{2} - x - 6 > 0$ を解け。

$x < - 2, 3 < x$

方針　 $x^{2} - x - 6 > 0$ の解は、放物線 $y = x^{2} - x - 6$ が x 軸より上にある $x$ の範囲。だから、まず x 軸と交わる点（ $x^{2} - x - 6 = 0$ の解）を求め、それを境にしてグラフの上下を読む。

左辺を因数分解する。掛けて $- 6$ 、足して $- 1$ になる 2 数は 2 と $- 3$ なので、 $x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)$
$(x + 2) (x - 3) = 0$ を解くと、 $x = - 2, 3$ 。放物線はこの 2 点で x 軸と交わる
$x^{2}$ の係数は 1 で正なので、放物線は下に凸。下に凸の放物線が x 軸より上にあるのは、2 つの交点の外側
よって、 $x < - 2, 3 < x$

確かめ: 内側の $x = 0$ を入れると $0 - 0 - 6 = - 6$ で負（成り立たない）。外側の $x = 4$ を入れると $16 - 4 - 6 = 6$ で正（成り立つ）。

問 2　二次不等式 $- 2 x^{2} + 3 x + 2 \geq 0$ を解け。

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 2$

方針　 $x^{2}$ の係数が負のままだと、グラフが上に凸になって「外側・内側」を読み違えやすい。まず両辺に $- 1$ を掛けて $x^{2}$ の係数を正に直し（不等号の向きが逆になる）、下に凸のグラフで読む。

両辺に $- 1$ を掛ける。すべての項の符号が変わり、不等号の向きが逆になる。 $2 x^{2} - 3 x - 2 \leq 0$
左辺を因数分解する（たすき掛け）。 $2 x^{2} - 3 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2)$
展開して確かめる。 $(2 x + 1) (x - 2) = 2 x^{2} - 4 x + x - 2 = 2 x^{2} - 3 x - 2$
$(2 x + 1) (x - 2) = 0$ を解く。 $2 x + 1 = 0$ から $x = - \frac{1}{2}$ 、 $x - 2 = 0$ から $x = 2$
下に凸の放物線が x 軸より下にある（または x 軸上にある）のは、2 つの交点の内側。「 $\leq$ 」なので端を含む
よって、 $- \frac{1}{2} \leq x \leq 2$

ここで間違えやすい　 $- 1$ を掛けたときに不等号の向きを変え忘れると、答えが外側（ $x \leq - \frac{1}{2}, 2 \leq x$ ）になってしまう。

問 3　次の二次不等式を解け。（1） $x^{2} - 6 x + 9 > 0$ 　（2） $x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$

（1）3 以外のすべての実数　（2）解なし

方針　どちらも、x 軸と 2 点で交わらない放物線の不等式。「2 つの解の外側・内側」という読み方が使えないので、グラフが x 軸に接するのか（ $D = 0$ ）、x 軸から離れているのか（ $D < 0$ ）を調べて、グラフの位置から直接読む。

（1）左辺を因数分解する。 $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ なので、不等式は $(x - 3)^{2} > 0$
2 乗した数は 0 以上で、0 になるのは $x - 3 = 0$ 、つまり $x = 3$ のときだけ。グラフは $x = 3$ で x 軸に接し、ほかでは x 軸より上にある
$x = 3$ のときは左辺が 0 で、「 $> 0$ 」を満たさない。よって解は、3 以外のすべての実数
（2）因数分解できないので、判別式で x 軸との共有点を調べる。 $x$ の係数が偶数なので $\frac{D}{4}$ を使うと、 $1^{2} - 1 \times 3 = 1 - 3 = - 2$
$\frac{D}{4} < 0$ なので、グラフは x 軸と共有点をもたない。 $x^{2}$ の係数が正で下に凸だから、グラフはいつも x 軸より上にある
平方完成でも確かめられる。 $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1)^{2} - 1 + 3 = (x + 1)^{2} + 2$ で、 $(x + 1)^{2}$ は 0 以上だから、左辺はいつも 2 以上
左辺が 0 以下になる $x$ はないので、解なし

ここで間違えやすい　（1）を「すべての実数」としない。「 $> 0$ 」は 0 を含まないので、左辺が 0 になる $x = 3$ だけが外れる。「 $\geq 0$ 」ならすべての実数になる。

問 4　すべての実数 $x$ について $x^{2} + m x + m + 3 > 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

$- 2 < m < 6$

方針　「すべての実数 $x$ で $> 0$ 」は、放物線 $y = x^{2} + m x + m + 3$ の全体が x 軸より上にあること。条件は「下に凸」かつ「x 軸と共有点をもたない」の 2 つだが、 $x^{2}$ の係数は 1 で、下に凸は最初から満たされている。残る条件は、判別式 $D < 0$ だけである。

係数を読む。 $a = 1$ 、 $b = m$ 、 $c = m + 3$
判別式を計算する。 $D = m^{2} - 4 \times 1 \times (m + 3) = m^{2} - 4 m - 12$
x 軸と共有点をもたない条件は $D < 0$ なので、 $m^{2} - 4 m - 12 < 0$
左辺を因数分解する。掛けて $- 12$ 、足して $- 4$ になる 2 数は $- 6$ と 2 なので、 $(m - 6) (m + 2) < 0$
これは $m$ についての二次不等式。 $(m - 6) (m + 2) = 0$ の解は $m = - 2, 6$ で、「 $< 0$ 」なので 2 つの解の内側
よって、 $- 2 < m < 6$

ここで間違えやすい　等号は入らない。 $D = 0$ （ $m = - 2$ または $m = 6$ ）のときは放物線が x 軸に接し、接点で左辺が 0 になるので、「 $> 0$ 」が成り立たない $x$ が 1 つできてしまう。

問 5　連立不等式 $x^{2} - 4 x + 3 < 0$ 、 $x^{2} - x - 2 \geq 0$ を解け。

$2 \leq x < 3$

方針　連立不等式の解は、2 つの不等式を同時に満たす $x$ の範囲。それぞれを別々に解いてから、数直線に並べて重なっている部分をとる。

1 つ目の左辺を因数分解する。掛けて 3、足して $- 4$ になる 2 数は $- 1$ と $- 3$ なので、 $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$
$(x - 1) (x - 3) < 0$ は、2 つの解 $x = 1, 3$ の内側。端は含まず、 $1 < x < 3$
2 つ目の左辺を因数分解する。掛けて $- 2$ 、足して $- 1$ になる 2 数は 1 と $- 2$ なので、 $x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)$
$(x + 1) (x - 2) \geq 0$ は、2 つの解 $x = - 1, 2$ の外側。端を含み、 $x \leq - 1, 2 \leq x$
数直線に並べる。 $x \leq - 1$ の部分は、 $1 < x < 3$ と重ならない
$2 \leq x$ の部分は、 $1 < x < 3$ と 2 から 3 の間で重なる。よって、 $2 \leq x < 3$

ここで間違えやすい　端を含むかどうかは、不等式ごとに違う。 $x = 2$ は 2 つ目の「 $\geq$ 」の端で、1 つ目も満たす（ $1 < 2 < 3$ ）ので含む。 $x = 3$ は 1 つ目の「 $<$ 」の端で、満たさないので含まない。

問 6　二次不等式 $a x^{2} + b x + 6 > 0$ の解が $- 1 < x < 3$ となるように、定数 $a$ 、 $b$ の値を定めよ。

$a = - 2$ 、 $b = 4$

方針　解が先に分かっているので、ふだんと逆にたどる。まず解が $- 1 < x < 3$ になる二次不等式を自分で作り、それを与えられた不等式 $a x^{2} + b x + 6 > 0$ と同じ形にそろえて、係数を比べる。

解が $- 1 < x < 3$ （ $- 1$ と 3 の内側）になる二次不等式を作る。 $(x + 1) (x - 3) < 0$
左辺を展開する。 $(x + 1) (x - 3) = x^{2} - 3 x + x - 3 = x^{2} - 2 x - 3$ なので、 $x^{2} - 2 x - 3 < 0$
与えられた不等式は「 $> 0$ 」で、不等号の向きが逆。向きをそろえるには、両辺に負の数を掛ければよい。負の数 $a$ を掛けると、 $a (x^{2} - 2 x - 3) > 0$ （ $a < 0$ ）
左辺を展開する。 $a x^{2} - 2 a x - 3 a > 0$
これが $a x^{2} + b x + 6 > 0$ と同じ式になるので、定数項を比べて $- 3 a = 6$ 。両辺を $- 3$ で割って $a = - 2$ （ $a < 0$ を満たす）
$x$ の係数を比べて $b = - 2 a$ 。 $a = - 2$ を入れて、 $b = - 2 \times (- 2) = 4$

確かめ: $a = - 2$ 、 $b = 4$ のとき、不等式は $- 2 x^{2} + 4 x + 6 > 0$ 。両辺を $- 2$ で割ると $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 、つまり $(x + 1) (x - 3) < 0$ で、解は $- 1 < x < 3$ になる。

ここで間違えやすい　「 $> 0$ 」なのに解が内側になっているのは、 $x^{2}$ の係数 $a$ が負（上に凸）だから。 $a > 0$ のつもりで $x^{2} - 2 x - 3$ の定数項 $- 3$ と 6 を直接比べようとすると、合わなくて行き詰まる。