データの変換と外れ値｜高校数学Ⅰ

学習指導要領数学Ⅰ (4) データの分析ア (イ)「コンピュータなどの情報機器を用いるなどして，データを表やグラフに整理したり，分散や標準偏差などの基本的な統計量を求めたりすること」と、
(ア)「分散，標準偏差，散布図及び相関係数の意味やその用い方を理解すること」。

0. どういうまとまりか

データの値をすべて何倍かしたり、一定の数を足したりすると、統計量がどう変わるかを学びます。
単位を換える（cm から mm、摂氏から華氏）ときや、大きな数を小さな数に直して計算を楽にするときに使います。
あわせて、ほかの値から極端に離れた外れ値が統計量に与える影響を見ます。

$y = a x + b$ としたとき	変わり方
平均値	$y ˉ = a x ˉ + b$
分散	$s_{y}^{2} = a^{2} s_{x}^{2}$ （ $b$ は関係ない）
標準偏差	$s_{y} = ∣ a ∣ s_{x}$ （ $b$ は関係ない）
相関係数	$a > 0$ なら変わらない、 $a < 0$ なら符号だけ変わる

分かれ目は次の 3 つ。

足した数 $b$ は平均値だけを動かし、散らばりは動かさない
分散は $a^{2}$ 倍、標準偏差は $∣ a ∣$ 倍（ $a$ 倍ではない）
外れ値に強いのは中央値と四分位範囲、弱いのは平均値と分散

1. データを表やグラフに整理する

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(4)-ア-(イ)

データは目的に合わせて表やグラフに整理します。個数の多いデータは、コンピュータ（表計算ソフトなど）で統計量を求めたりグラフを描いたりします。
2 つの変量の組は、散布図のほかに、相関表（2 つの変量の度数分布表）にまとめることもできます。

次の目的に合う表・グラフは何か？
① 1 つの変量の分布の形を見る　② いくつかの集団の分布を並べて比べる　③ 2 つの変量の関係を見る

① ヒストグラム（度数分布表）　② 箱ひげ図　③ 散布図（相関表）

相関表とは何か？

2 つの変量の値の組を、縦と横に階級をとって度数でまとめた表

2 つの変量の度数分布表。散布図の点を、区画ごとに数えたものにあたる。

2. 変量の変換

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(4)-ア-(イ)

変量 $x$ の各値を $a$ 倍して $b$ を足した $y = a x + b$ を考えます。
偏差は $y_{k} - y ˉ = a (x_{k} - x ˉ)$ となり、 $b$ が消えて $a$ 倍だけが残ります。分散は偏差の 2 乗の平均なので $a^{2}$ 倍になります。

変量を $y = a x + b$ と変換したとき、平均値 $y ˉ$ は？

$y ˉ = a x ˉ + b$

平均値も、各値と同じように $a$ 倍して $b$ を足せばよい。

変量を $y = a x + b$ と変換したとき、分散と標準偏差はそれぞれ何倍になるか？

分散は $a^{2}$ 倍、標準偏差は $∣ a ∣$ 倍

偏差が $a$ 倍になるので、偏差の 2 乗は $a^{2}$ 倍。標準偏差は負にならないので $∣ a ∣$ 倍。

すべての値に同じ数 $b$ を足すと、分散・標準偏差はどうなるか？

変わらない

全体が同じだけずれるだけで、平均値からの離れ具合（偏差）は変わらない。

$x$ を $u = \frac{x - x _{0}}{c}$ と変換して計算するのは何のためか？また、 $x$ の平均値と分散は $u$ からどう戻すか？

大きな数や小数を扱いやすい小さな整数に直して、計算を楽にするため

$x ˉ = c u ˉ + x_{0}$ 、 $s_{x}^{2} = c^{2} s_{u}^{2}$ 。 $x_{0}$ には平均値に近いきりのよい数（仮の平均）を選ぶ。

$x, y$ をそれぞれ $u = a x + b$ 、 $v = cy + d$ と変換したとき、共分散と相関係数はどうなるか？

共分散は $a c$ 倍。相関係数は $a c > 0$ なら変わらず、 $a c < 0$ なら符号だけ変わる

$r_{uv} = \frac{a c s _{x y}}{∣ a ∣ s _{x} \cdot ∣ c ∣ s _{y}}$ で、大きさは約分されて符号だけが残る。

3. 外れ値

根拠: 学習指導要領数学Ⅰ-(4)-ア-(ア)

ほかの値から極端に離れた値を外れ値といいます。どこからを外れ値とするかは決まっていませんが、
四分位範囲を使った次の基準がよく使われます。

第 1 四分位数 $- 1.5 \times$ 四分位範囲より小さい値
第 3 四分位数 $+ 1.5 \times$ 四分位範囲より大きい値

外れ値は平均値・分散・標準偏差を大きく動かしますが、中央値・四分位範囲はほとんど動かしません。

外れ値とは何か？

データの中で、ほかの値から極端に離れた値

測り間違いのこともあれば、本当に珍しい値のこともある。

四分位範囲を使った外れ値の基準の一例は？

第 1 四分位数 − 1.5 × 四分位範囲より小さい値、または第 3 四分位数＋ 1.5 × 四分位範囲より大きい値

基準はこれに限らない。どの基準を使ったかを明らかにする。

外れ値の影響を大きく受ける統計量と、受けにくい統計量は？

受けやすい：平均値・分散・標準偏差・範囲
受けにくい：中央値・四分位数・四分位範囲

分散は偏差を 2 乗するので、離れた値ほど強く効く。

外れ値が見つかったら、すぐに取り除いてよいか？

よくない。なぜ外れたのか（記録の誤りか、本当の値か）を調べてから扱いを決める

本当の値なら、それ自体がデータの大事な特徴のことがある。

箱ひげ図で外れ値を表すときは、どう描くことが多いか？

外れ値を点（○ など）で別に示し、ひげは外れ値を除いた最大値・最小値までにする

練習問題

問 1　変量 $x$ の平均値が 50、分散が 16 である。 $y = 3 x - 20$ としたとき、 $y$ の平均値・分散・標準偏差を求めよ。

平均値 130、分散 144、標準偏差 12

方針　 $y = 3 x - 20$ は $y = a x + b$ の形（ $a = 3$ 、 $b = - 20$ ）なので、変換の公式を使う。平均値は同じ式で移り、分散は $a^{2}$ 倍になる。足した数 $b$ は散らばりに関係しない。

平均値は、 $x$ の平均値を同じ式に入れる。 $3 \times 50 - 20 = 150 - 20 = 130$
分散は $3^{2}$ 倍になる。 $3^{2} \times 16 = 9 \times 16 = 144$
標準偏差は分散の正の平方根なので、 $144 = 12$

確かめ： $x$ の標準偏差は $16 = 4$ 。標準偏差は 3 倍になるから $3 \times 4 = 12$ で、一致する。

ここで間違えやすい　分散を 3 倍（ $3 \times 16 = 48$ ）にしない。また、分散や標準偏差から 20 を引かない。

問 2　ある町の 1 か月の最高気温（摂氏）は、平均値 20、標準偏差 5 だった。華氏 $F$ は摂氏 $C$ から $F = 1.8 C + 32$ で求まる。華氏での平均値・標準偏差・分散を求めよ。

平均値 68、標準偏差 9、分散 81

方針　 $F = 1.8 C + 32$ は $y = a x + b$ の形（ $a = 1.8$ 、 $b = 32$ ）。平均値は同じ式で移り、標準偏差は $∣ a ∣$ 倍になる。標準偏差が与えられているので、先に標準偏差を出し、それを 2 乗して分散にする。

平均値は、摂氏の平均値を同じ式に入れる。 $1.8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$
標準偏差は $1.8$ 倍になる。 $1.8 \times 5 = 9$ 。足した 32 は散らばりに関係しない。
分散は標準偏差の 2 乗なので、 $9^{2} = 81$

確かめ：摂氏での分散は $5^{2} = 25$ 。分散は $1. 8^{2} = 3.24$ 倍になるから $3.24 \times 25 = 81$ で、一致する。

ここで間違えやすい　標準偏差に 32 を足して 41 としない。

問 3　5 人の身長（cm）が 172, 176, 178, 180, 184 である。 $u = \frac{x - 178}{2}$ と変換して、身長の平均値と分散・標準偏差を求めよ。

平均値 178 cm、分散 16、標準偏差 4 cm

方針　大きい数のまま計算せず、 $u$ という小さな整数に直してから平均値と分散を求め、最後に $x$ に戻す。 $u = \frac{x - 178}{2}$ を $x$ について解くと $x = 2 u + 178$ なので、戻すときは $a = 2$ 、 $b = 178$ の変換の公式を使う。

各値を $u$ に直す。たとえば 172 は $\frac{172 - 178}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ 。ほかも同じようにして、 $u$ は $- 3, - 1, 0, 1, 3$ （下の表）。
$u$ の合計は $- 3 - 1 + 0 + 1 + 3 = 0$ なので、 $u$ の平均値は $0 \div 5 = 0$
平均値が 0 なので、 $u$ の偏差は $u$ そのもの。 $u$ の分散は $\frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$
$x = 2 u + 178$ なので、身長の平均値は $2 \times 0 + 178 = 178$
分散は $2^{2}$ 倍になるので、 $2^{2} \times 4 = 16$
標準偏差は分散の正の平方根なので、 $16 = 4$

$x$	172	176	178	180	184	合計
$u$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$0$
$u^{2}$	$9$	$1$	$0$	$1$	$9$	$20$

ここで間違えやすい　戻すとき、分散には 178 を足さない。また、分散は 2 倍ではなく $2^{2} = 4$ 倍。

問 4　変量 $x, y$ の相関係数が $0.8$ である。次の 2 つの変量の相関係数を求めよ。
(1) $3 x - 1$ と $y$ 　(2) $- 2 x + 7$ と $0.5 y + 2$

(1) $0.8$ 　(2) $- 0.8$

方針　相関係数は、変量に数を掛けたり足したりしても大きさが変わらない。変わりうるのは符号だけで、2 つの変量に掛けた数の積が正なら同じ符号、負なら逆の符号になる。足した数は関係ないので、掛けた数だけを見る。

(1) $3 x - 1$ は $x$ に 3 を掛けている。 $y$ はそのままなので、掛けた数は 1 とみる。
掛けた数の積は $3 \times 1 = 3$ で正。相関係数は変わらず $0.8$
(2) $- 2 x + 7$ は $x$ に $- 2$ を、 $0.5 y + 2$ は $y$ に $0.5$ を掛けている。
掛けた数の積は $(- 2) \times 0.5 = - 1$ で負。符号だけが変わって $- 0.8$

ここで間違えやすい　(2) で、積がたまたま $- 1$ だから $- 0.8$ になるのではない。積が $- 6$ でも $- 0.1$ でも、答えは $- 0.8$ 。大きさは標準偏差で割るときに約分されて、いつも変わらない。

問 5　データ 12, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 45 について、四分位範囲を求め、「第 1 四分位数 − 1.5 × 四分位範囲より小さいか、第 3 四分位数＋ 1.5 × 四分位範囲より大きい」という基準で外れ値を答えよ。

四分位範囲 7。外れ値は 45

方針　四分位数は、小さい順に並べたデータを前半と後半に分け、それぞれの中央値をとる。四分位範囲が出たら、基準の 2 つの境目を計算して、その外側にある値を探す。

データは小さい順に並んでいて 10 個。前半の 5 個は 12, 15, 16, 18, 19、後半の 5 個は 20, 21, 23, 24, 45
前半の中央値（3 番目）は 16。これが第 1 四分位数。
後半の中央値（3 番目）は 23。これが第 3 四分位数。
四分位範囲は $23 - 16 = 7$
下の境目は $16 - 1.5 \times 7 = 16 - 10.5 = 5.5$ 。5.5 より小さい値はない（最小値は 12）。
上の境目は $23 + 1.5 \times 7 = 23 + 10.5 = 33.5$ 。33.5 より大きい値は 45 だけ。
よって、外れ値は 45

問 6　問 5 のデータから外れ値 45 を除くと、平均値・中央値・分散はそれぞれどう変わるか。

平均値 21.3 から $\frac{56}{3}$ （約 18.7）に、中央値 19.5 から 19 に、分散 74.41 から $\frac{40}{3}$ （約 13.3）に変わる

方針　10 個のときと、45 を除いた 9 個のときとで、平均値・中央値・分散をそれぞれ求めて並べる。平均値が整数にならないので、分散は「2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗」で求める。9 個のほうの合計は、10 個の合計から 45 の分を引けば済む。

10 個の合計は $12 + 15 + 16 + 18 + 19 + 20 + 21 + 23 + 24 + 45 = 213$ なので、平均値は $213 \div 10 = 21.3$
10 個の中央値は、5 番目と 6 番目の平均で $\frac{19 + 20}{2} = 19.5$
10 個の 2 乗の合計は $144 + 225 + 256 + 324 + 361 + 400 + 441 + 529 + 576 + 2025 = 5281$ なので、2 乗の平均値は $5281 \div 10 = 528.1$
10 個の分散は $528.1 - 21. 3^{2} = 528.1 - 453.69 = 74.41$
45 を除くと、合計は $213 - 45 = 168$ なので、平均値は $\frac{168}{9} = \frac{56}{3}$
9 個の中央値は、5 番目の値で 19
9 個の 2 乗の合計は $5281 - 4 5^{2} = 5281 - 2025 = 3256$ なので、2 乗の平均値は $\frac{3256}{9}$
平均値の 2 乗は $(\frac{56}{3})^{2} = \frac{3136}{9}$ なので、9 個の分散は $\frac{3256}{9} - \frac{3136}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$

	10 個	45 を除いた 9 個
平均値	$21.3$	$\frac{56}{3} ≒ 18.7$
中央値	$19.5$	$19$
分散	$74.41$	$\frac{40}{3} ≒ 13.3$

中央値はわずかしか動かないが、平均値は大きく、分散は 5 分の 1 以下に下がる。

ここで間違えやすい　9 個にしたら、割る数も 9 に変える。中央値の位置も変わる（10 個は 5・6 番目の平均、9 個は 5 番目）。