階差数列｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (1) 数列ア (イ)「いろいろな数列の一般項や和を求める方法について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

等差数列でも等比数列でもない数列でも、隣り合う項の差を並べてみると、見慣れた数列が現れることがあります。
この差の数列 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ を階差数列といいます。元の数列の項は、初項に階差を順に足していけば作れるので、
一般項は「初項 + 階差数列の和」で表せます。
もう 1 つ、和 $S_{n}$ が分かっている数列の一般項は、 $S_{n}$ と $S_{n - 1}$ の差で求められます。

分かっているもの	一般項の求め方	範囲
階差数列 $b_{n}$	$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$	$n ≧ 2$ で求め、 $n = 1$ で成り立つか確かめる
初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$	$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$	$n ≧ 2$ で求め、 $a_{1} = S_{1}$ と比べる

分かれ目は次の 3 つ。

階差数列の和は第 $n - 1$ 項まで。 $\sum$ の上の端は $n$ ではなく $n - 1$
どちらの式も $n ≧ 2$ でしか使えない。最後に $n = 1$ のときを確かめる
$n = 1$ で合わなければ、 $a_{1}$ と $n ≧ 2$ の式を分けて答える

1. 階差数列

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

数列 $a_{n}$ の隣り合う 2 項の差を順に並べた数列が、 $a_{n}$ の階差数列です。

数列 $a_{n}$ の階差数列とは？

隣り合う項の差 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ を並べた数列

例えば $1$ 、 $2$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $17$ の階差は $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 。差をとると、等差数列や等比数列が現れることがある。

階差数列 $b_{n}$ が分かっているとき、元の数列の一般項 $a_{n}$ は？

$n ≧ 2$ のとき $a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$

$a_{n} = a_{1} + b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n - 1}$ 。 $a_{1}$ から $a_{n}$ までに差を足すのは $n - 1$ 回なので、和は第 $n - 1$ 項まで。

$a_{n} = a_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} b_{k}$ で一般項を求めたあと、必ずすることは？

$n = 1$ のときにも成り立つか（求めた式に $n = 1$ を入れて $a_{1}$ になるか）を確かめる

$n = 1$ だと $\sum_{k = 1}^{0}$ になり、式の意味がない。だから $n ≧ 2$ で求め、 $n = 1$ は別に確かめる。

数列 $1$ 、 $2$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $17$ 、… の一般項は？

$a_{n} = n^{2} - 2 n + 2$

階差は $b_{k} = 2 k - 1$ 。 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (2 k - 1) = 1 + (n - 1)^{2}$ 。 $n = 1$ を入れると 1 で、初項と一致する。

数列 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $9$ 、 $17$ 、… の一般項は？

$a_{n} = 2^{n - 1} + 1$

階差は $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ で、 $b_{k} = 2^{k - 1}$ （等比数列）。 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = 2 + \frac{2 ^{n - 1} - 1}{2 - 1}$ 。 $n = 1$ でも 2 になる。

階差をとっても規則が見えないときは？

階差数列の階差（第 2 階差）をとってみる

第 2 階差が一定なら、階差数列は等差数列で、元の数列の一般項は $n$ の二次式になる。

2. 和から一般項を求める

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

$S_{n}$ から $S_{n - 1}$ を引くと、最後の 1 項 $a_{n}$ だけが残ります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が分かっているとき、一般項 $a_{n}$ は？

$a_{1} = S_{1}$ 。 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$

$S_{n} = a_{1} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$ 、 $S_{n - 1} = a_{1} + \dots + a_{n - 1}$ 。 $S_{0}$ は無いので $n = 1$ は別に扱う。

$S_{n} = n^{2} + 2 n$ のとき、一般項 $a_{n}$ は？

$a_{n} = 2 n + 1$

$n ≧ 2$ のとき $a_{n} = (n^{2} + 2 n) - {(n - 1)^{2} + 2 (n - 1)} = 2 n + 1$ 。 $a_{1} = S_{1}$ は 3 で、 $2 n + 1$ に $n = 1$ を入れた値と一致する。

$S_{n} - S_{n - 1}$ で求めた式が、 $n = 1$ のとき $S_{1}$ と一致しなかったら？

$a_{1} = S_{1}$ と「 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} =$ （求めた式）」を分けて答える

例えば $S_{n} = n^{2} + 2 n + 1$ なら $a_{1}$ は 4、 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = 2 n + 1$ 。定数項がある $S_{n}$ では一致しないことが多い。

$S_{n}$ が $n$ の二次式 $p n^{2} + q n + r$ で表される数列が、初項から等差数列になるのはどんなときか？

定数項 $r$ が 0 のとき

$n ≧ 2$ で $a_{n} = 2 p n + (q - p)$ になり、 $a_{1} = S_{1} = p + q + r$ 。これが一致するのは $r = 0$ のとき。

練習問題

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

問 1　数列 $3$ 、 $4$ 、 $7$ 、 $12$ 、 $19$ 、… の一般項を求めよ。

$a_{n} = n^{2} - 2 n + 4$

方針　等差でも等比でもないので、隣り合う項の差（階差）を並べてみる。階差が見慣れた数列なら、一般項は「初項 + 階差の和（第 $n - 1$ 項まで）」で求まる。

階差をとる。 $4 - 3 = 1$ 、 $7 - 4 = 3$ 、 $12 - 7 = 5$ 、 $19 - 12 = 7$ なので、階差数列は $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、…
これは初項 1、公差 2 の等差数列なので、階差数列の第 $k$ 項は $b_{k} = 1 + (k - 1) \times 2 = 2 k - 1$
$n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = 3 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (2 k - 1)$
和を計算する。 $\sum_{k = 1}^{n - 1} (2 k - 1) = 2 \times \frac{1}{2} (n - 1) n - (n - 1) = (n - 1) n - (n - 1) = (n - 1)^{2}$
よって $a_{n} = 3 + (n - 1)^{2} = 3 + n^{2} - 2 n + 1 = n^{2} - 2 n + 4$
$n = 1$ を入れると $1 - 2 + 4 = 3$ で、初項と一致する。だから $n = 1$ のときも成り立ち、 $a_{n} = n^{2} - 2 n + 4$

ここで間違えやすい　和の上の端を $n$ にしてしまうこと。 $a_{1}$ から $a_{n}$ までに足す階差は $n - 1$ 個。

問 2　数列 $1$ 、 $2$ 、 $5$ 、 $14$ 、 $41$ 、… の一般項を求めよ。

$a_{n} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}$

方針　階差をとると等比数列が現れる。一般項は「初項 + 階差の和（第 $n - 1$ 項まで）」で、その和に等比数列の和の公式を使う。

階差をとる。 $2 - 1 = 1$ 、 $5 - 2 = 3$ 、 $14 - 5 = 9$ 、 $41 - 14 = 27$ なので、階差数列は $1$ 、 $3$ 、 $9$ 、 $27$ 、…
これは初項 1、公比 3 の等比数列なので、階差数列の第 $k$ 項は $b_{k} = 3^{k - 1}$
$n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} 3^{k - 1}$
$\sum_{k = 1}^{n - 1} 3^{k - 1}$ は初項 1、公比 3、項数 $n - 1$ の等比数列の和なので、 $\frac{3 ^{n - 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2}$
よって $a_{n} = 1 + \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2} = \frac{2 + 3 ^{n - 1} - 1}{2} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}$
$n = 1$ を入れると $\frac{3 ^{0} + 1}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$ で、初項と一致する。だから $n = 1$ のときも成り立つ。

ここで間違えやすい　和の公式の指数を $n$ にしてしまうこと。足す階差は $n - 1$ 個なので、指数は $n - 1$ 。

問 3　初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 2 n^{2} - n$ で表される数列の一般項を求めよ。

$a_{n} = 4 n - 3$

方針　和 $S_{n}$ が分かっているときは、 $S_{n}$ から $S_{n - 1}$ を引くと最後の 1 項 $a_{n}$ だけが残る。ただし $S_{0}$ は無いので、 $n = 1$ は $a_{1} = S_{1}$ で別に求めて比べる。

$n = 1$ のとき、 $a_{1} = S_{1} = 2 \times 1^{2} - 1 = 1$
$n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (2 n^{2} - n) - {2 (n - 1)^{2} - (n - 1)}$
引くほうを展開する。 $2 (n - 1)^{2} - (n - 1) = 2 n^{2} - 4 n + 2 - n + 1 = 2 n^{2} - 5 n + 3$
よって $a_{n} = (2 n^{2} - n) - (2 n^{2} - 5 n + 3) = 4 n - 3$
$4 n - 3$ に $n = 1$ を入れると $4 - 3 = 1$ で、 $a_{1}$ と一致する。だから $n = 1$ もまとめて $a_{n} = 4 n - 3$ （公差 4 の等差数列）

ここで間違えやすい　 $S_{n - 1}$ を作るとき、 $n$ の一部だけを $n - 1$ に置きかえてしまうこと。 $n$ は全部置きかえるので、 $- n$ のほうも $- (n - 1)$ になる。

問 4　初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3^{n} - 1$ で表される数列の一般項を求めよ。

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$

方針　問 3 と同じく、 $n ≧ 2$ で $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を計算し、 $a_{1} = S_{1}$ と比べる。指数の式の引き算は、小さいほうの $3^{n - 1}$ でくくる。

$n = 1$ のとき、 $a_{1} = S_{1} = 3^{1} - 1 = 2$
$n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3^{n} - 1) - (3^{n - 1} - 1) = 3^{n} - 3^{n - 1}$
$3^{n} = 3 \cdot 3^{n - 1}$ なので、 $3^{n} - 3^{n - 1} = 3 \cdot 3^{n - 1} - 3^{n - 1} = (3 - 1) \cdot 3^{n - 1} = 2 \cdot 3^{n - 1}$
$2 \cdot 3^{n - 1}$ に $n = 1$ を入れると $2 \cdot 3^{0} = 2$ で、 $a_{1}$ と一致する。だから $n = 1$ もまとめて $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ （初項 2、公比 3 の等比数列）

問 5　初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = n^{2} + n + 1$ で表される数列の一般項を求めよ。

$a_{1} = 3$ 、 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = 2 n$

方針　 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ は $n ≧ 2$ でしか使えない。 $a_{1} = S_{1}$ を別に求め、求めた式に $n = 1$ を入れた値と比べる。合わなければ分けて答える。

$n = 1$ のとき、 $a_{1} = S_{1} = 1^{2} + 1 + 1 = 3$
$n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (n^{2} + n + 1) - {(n - 1)^{2} + (n - 1) + 1}$
引くほうを展開する。 $(n - 1)^{2} + (n - 1) + 1 = n^{2} - 2 n + 1 + n - 1 + 1 = n^{2} - n + 1$
よって $a_{n} = (n^{2} + n + 1) - (n^{2} - n + 1) = 2 n$
$2 n$ に $n = 1$ を入れると 2 で、 $a_{1}$ の 3 と一致しない。
だから、 $a_{1} = 3$ と「 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = 2 n$ 」に分けて答える。

ここで間違えやすい　 $n = 1$ の確認を省いて $a_{n} = 2 n$ とだけ答えること。 $S_{n}$ に定数項（ここでは $+ 1$ ）があると、 $n = 1$ で合わなくなる。