いろいろな数列の和｜高校数学B

学習指導要領数学B (1) 数列ア (イ)「いろいろな数列の一般項や和を求める方法について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

$\sum k$ や $\sum k^{2}$ の公式が使えない数列の和は、足したときに項が消える形に書きかえて求めます。
分数の数列は「差の形」に分けると隣どうしで消え、（等差数列）×（等比数列）の形は公比を掛けてずらして引くと等比数列の和が残ります。
群数列や、奇数番目と偶数番目で規則が違う数列は、区切り方を決めてから数えます。

数列の形	方針	残るもの
分数 $\frac{1}{k ( k + 1 )}$ など	部分分数に分ける（差の形にする）	最初と最後の項
根号 $\frac{1}{k + 1 + k}$	分母を有理化して差の形にする	最初と最後の項
（等差）×（等比） $k \cdot r^{k - 1}$	$S - r S$ を作る	等比数列の和と最後の 1 項
群数列	第 $n$ 群の最初の項が、全体の何番目かを数える	群の中は等差数列などとして計算
奇数番目・偶数番目で分かれる	2 項ずつ組にする／ $n$ の偶奇で場合分け	組ごとの和

分かれ目は次の 3 つ。

部分分数に分けたら、係数を必ず確かめる。 $\frac{1}{k ( k + 2 )}$ は $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}$ ではなく、その $\frac{1}{2}$ 倍
消えずに残る項は、前と後ろで同じ個数。1 つ飛びで消えるときは 2 個ずつ残る
群数列は「第 $n - 1$ 群の終わりまでに何項あるか」を先に求める

1. 分数の数列の和

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

1 つの分数を 2 つの分数の差に分けることを、部分分数に分けるといいます。差の形にして足すと、隣り合う項が打ち消し合います。
これは階差数列の考えを逆に使ったもので、一般項を「ある数列の隣り合う項の差」で表せれば、和は両端だけになります。

$\frac{1}{k ( k + 1 )}$ を部分分数に分けると？

$\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

右辺を通分すると $\frac{( k + 1 ) - k}{k ( k + 1 )}$ で、元に戻ることが確かめられる。

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ の値は？どう求めるか？

$1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ 。差の形にして書き並べると、間の項が消える

$(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ 。残るのは最初の $1$ と最後の $- \frac{1}{n + 1}$ 。

$\frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}$ を部分分数に分けると？

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})$

差 $\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1}$ を通分すると分子が 2 になるので、 $\frac{1}{2}$ を掛けて合わせる。分母の 2 つの因数の差が係数の分母になる。

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )}$ では、消えずに残る項はどれか？

前から 2 つ（ $1$ と $\frac{1}{2}$ ）と、後ろから 2 つ（ $- \frac{1}{n + 1}$ と $- \frac{1}{n + 2}$ ）

$\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ 。1 つ飛びで消えるので、前後に 2 個ずつ残る。和は $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ 。

$\frac{1}{k + 1 + k}$ の和は、どう求めるか？

分母を有理化して $k + 1 - k$ の差の形にする。 $k = 1$ から $n$ までの和は $n + 1 - 1$

分子・分母に $k + 1 - k$ を掛けると、分母は $(k + 1) - k$ で 1 になる。

2. （等差数列）×（等比数列）の和

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

等比数列の和の公式を導いたのと同じ方法を使います。公比を掛けてずらして引くと、等差の部分が公差だけになり、等比数列の和が現れます。

$S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + \dots + n \cdot 2^{n - 1}$ のような（等差）×（等比）の和は、どう求めるか？

等比の部分の公比 $r$ を掛けた $r S$ を作り、 $S - r S$ を計算する

項を 1 つずつずらして引くと、係数の差が公差で一定になり、等比数列の和と最後の 1 項が残る。

$S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + \dots + n \cdot 2^{n - 1}$ の値は？

$S = (n - 1) \cdot 2^{n} + 1$

$S - 2 S = (1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}) - n \cdot 2^{n} = (2^{n} - 1) - n \cdot 2^{n}$ 。よって $- S = (1 - n) \cdot 2^{n} - 1$ 。

$S - r S$ を計算するとき、間違えやすいところは？

最後に残る 1 項（ $r S$ の末項）を引き忘れないこと。その符号はマイナス

$r S$ の末項 $n \cdot r^{n}$ には、引く相手が $S$ の側にない。等比数列の和の項数も、書き並べて確かめる。

3. 群数列

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

数列をいくつかの項ずつの群に区切ったものを群数列といいます。区切りを外せば元の 1 つの数列なので、「第 $n$ 群の最初の項は全体の何番目か」が分かれば解けます。

第 $n$ 群に $n$ 個の項が入る群数列で、第 $n$ 群の最初の項は、全体の何番目か？

$\frac{1}{2} n (n - 1) + 1$ 番目

第 $n - 1$ 群の終わりまでに $1 + 2 + \dots + (n - 1)$ で $\frac{1}{2} n (n - 1)$ 項ある。その次の項が第 $n$ 群の最初。

自然数の列を $1 ∣ 23 ∣ 456 ∣ \dots$ と第 $n$ 群に $n$ 個入るように区切るとき、100 は第何群の何番目か？

第 14 群の 9 番目

第 $n$ 群の最後の数は $\frac{1}{2} n (n + 1)$ 。第 13 群の最後は 91、第 14 群の最後は 105 なので、100 は第 14 群にあり、 $100 - 91$ で 9 番目。

4. 奇数番目と偶数番目で分かれる数列

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

符号が交互に変わる数列などは、奇数番目と偶数番目で規則が違います。2 項ずつ組にすると、組ごとの和がきれいな数列になります。

$1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ のように符号が交互に変わる数列の和は、どう求めるか？

2 項ずつ組にして、組の和の数列を足す。項数が奇数のときは、偶数項までの和に最後の 1 項を足す

$(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ は各組が $- 1$ 。第 $2 n$ 項までの和は $- n$ 、第 $2 n + 1$ 項までの和は $- n + (2 n + 1)$ で $n + 1$ 。

練習問題

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(イ)

問 1　和 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{( 3 k - 2 ) ( 3 k + 1 )}$ を求めよ。

$\frac{n}{3 n + 1}$

方針　分数の和には $\sum k$ などの公式が使えない。1 つの分数を「差の形」に分けて（部分分数に分ける）、足したときに隣どうしが消えるようにする。

差 $\frac{1}{3 k - 2} - \frac{1}{3 k + 1}$ を通分すると、 $\frac{( 3 k + 1 ) - ( 3 k - 2 )}{( 3 k - 2 ) ( 3 k + 1 )} = \frac{3}{( 3 k - 2 ) ( 3 k + 1 )}$
分子が 3 になるので、 $\frac{1}{3}$ を掛けて合わせる。 $\frac{1}{( 3 k - 2 ) ( 3 k + 1 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 k - 2} - \frac{1}{3 k + 1})$
$k$ に 1 から $n$ までを入れて書き並べると、和は $\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{3 n - 2} - \frac{1}{3 n + 1})}$
$- \frac{1}{4}$ と次の $+ \frac{1}{4}$ のように間の項が消えて、最初の 1 と最後の $- \frac{1}{3 n + 1}$ だけが残る。和は $\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3 n + 1})$
かっこの中を通分すると、 $1 - \frac{1}{3 n + 1} = \frac{( 3 n + 1 ) - 1}{3 n + 1} = \frac{3 n}{3 n + 1}$
よって和は $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 n}{3 n + 1} = \frac{n}{3 n + 1}$
確かめ: $n = 1$ のとき、もとの和は $\frac{1}{1 \times 4} = \frac{1}{4}$ 、答えの式も $\frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$ で合っている。

ここで間違えやすい　係数 $\frac{1}{3}$ を付け忘れること。分けたら、通分して元に戻るかを必ず確かめる。

問 2　和 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )}$ を求めよ。

$\frac{n ( 3 n + 5 )}{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )}$

方針　部分分数に分けて、足すと消える形にする。分母の 2 つの因数 $k$ と $k + 2$ が 2 離れているので、項は 1 つ飛びで消え、前と後ろに 2 個ずつ残る。

差 $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}$ を通分すると $\frac{( k + 2 ) - k}{k ( k + 2 )} = \frac{2}{k ( k + 2 )}$ 。分子が 2 になるので、 $\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$
書き並べると、和は $\frac{1}{2} {(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})}$
$- \frac{1}{3}$ は 2 つ後ろのかっこの $+ \frac{1}{3}$ と消える。こうして 1 つ飛びで消えるので、残るのは前から 2 つ（ $1$ と $\frac{1}{2}$ ）と、後ろから 2 つ（ $- \frac{1}{n + 1}$ と $- \frac{1}{n + 2}$ ）。
よって和は $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$
かっこの中を、分母 $2 (n + 1) (n + 2)$ で通分すると、 $\frac{3 ( n + 1 ) ( n + 2 ) - 2 ( n + 2 ) - 2 ( n + 1 )}{2 ( n + 1 ) ( n + 2 )}$
分子を展開する。 $3 (n + 1) (n + 2) = 3 n^{2} + 9 n + 6$ なので、 $3 n^{2} + 9 n + 6 - 2 n - 4 - 2 n - 2 = 3 n^{2} + 5 n = n (3 n + 5)$
よって和は $\frac{1}{2} \cdot \frac{n ( 3 n + 5 )}{2 ( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{n ( 3 n + 5 )}{4 ( n + 1 ) ( n + 2 )}$
確かめ: $n = 1$ のとき、もとの和は $\frac{1}{1 \times 3} = \frac{1}{3}$ 、答えの式は $\frac{1 \times 8}{4 \times 2 \times 3} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ で合っている。

ここで間違えやすい　残る項を、最初の 1 と最後の $- \frac{1}{n + 2}$ の 2 つだけにしてしまうこと。1 つ飛びで消えるときは、前後に 2 個ずつ残る。

問 3　和 $S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^{2} + \dots + n \cdot 3^{n - 1}$ を求めよ。

$S = \frac{( 2 n - 1 ) \cdot 3 ^{n} + 1}{4}$

方針　（等差数列）×（等比数列）の形の和は、等比の部分の公比 3 を掛けた $3 S$ を作り、 $S - 3 S$ を計算する。項を 1 つずらして引くと係数の差がどれも 1 になり、ただの等比数列の和が残る。

$S$ に 3 を掛けると、各項の 3 の指数が 1 つずつ上がる。 $3 S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \dots + (n - 1) \cdot 3^{n - 1} + n \cdot 3^{n}$
$S$ から $3 S$ を、3 の指数が同じ項どうしをそろえて引く。例えば $3$ の項は $2 \cdot 3 - 1 \cdot 3$ で $3$ 、 $3^{2}$ の項は $3 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3^{2}$ で $3^{2}$ と、係数がどれも 1 になる。
$3 S$ の最後の $n \cdot 3^{n}$ だけは引く相手が $S$ の側にないので、そのまま引く。 $S - 3 S = (1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n - 1}) - n \cdot 3^{n}$
かっこの中は初項 1、公比 3、項数 $n$ の等比数列の和で、 $\frac{3 ^{n} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$
左辺は $- 2 S$ なので、 $- 2 S = \frac{3 ^{n} - 1}{2} - n \cdot 3^{n}$
右辺を通分すると、 $\frac{3 ^{n} - 1 - 2 n \cdot 3 ^{n}}{2} = \frac{( 1 - 2 n ) \cdot 3 ^{n} - 1}{2}$
両辺を $- 2$ で割ると、 $S = \frac{( 1 - 2 n ) \cdot 3 ^{n} - 1}{- 4} = \frac{( 2 n - 1 ) \cdot 3 ^{n} + 1}{4}$
確かめ: $n = 2$ のとき、もとの和は $1 + 6$ で 7、式の値も $\frac{3 \times 9 + 1}{4} = \frac{28}{4} = 7$ になり合っている。

ここで間違えやすい　最後の $- n \cdot 3^{n}$ を引き忘れること。また、残る等比数列の項数は $n - 1$ ではなく $n$ 。

問 4　正の奇数の列を $1 ∣ 35 ∣ 7911 ∣ \dots$ と、第 $n$ 群に $n$ 個入るように区切る。第 $n$ 群の最初の数と、第 $n$ 群に入る数の和を求めよ。また、99 は第何群の何番目か。

最初の数は $n^{2} - n + 1$ 、和は $n^{3}$ 。99 は第 10 群の 5 番目

方針　区切りを外せばただの奇数の列なので、「第 $n$ 群の最初の項は全体の何番目か」が分かれば解ける。そのために、第 $n - 1$ 群の終わりまでの項数を先に数える。

第 1 群から第 $n - 1$ 群までの項数は、 $1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{1}{2} n (n - 1)$
だから第 $n$ 群の最初の数は、全体の $\frac{1}{2} n (n - 1) + 1$ 番目の奇数。
$m$ 番目の正の奇数は $2 m - 1$ なので、最初の数は $2 {\frac{1}{2} n (n - 1) + 1} - 1 = n (n - 1) + 2 - 1 = n^{2} - n + 1$
第 $n$ 群は、初項 $n^{2} - n + 1$ 、公差 2、項数 $n$ の等差数列。末項は $(n^{2} - n + 1) + 2 (n - 1) = n^{2} + n - 1$
第 $n$ 群の和は、 $\frac{1}{2} n {(n^{2} - n + 1) + (n^{2} + n - 1)} = \frac{1}{2} n \cdot 2 n^{2} = n^{3}$
99 の位置を調べる。 $2 m - 1 = 99$ から $m = 50$ なので、99 は 50 番目の奇数。
第 9 群の終わりまでに $\frac{1}{2} \times 9 \times 10 = 45$ 項、第 10 群の終わりまでに $\frac{1}{2} \times 10 \times 11 = 55$ 項ある。50 は 45 より大きく 55 以下なので、99 は第 10 群にある。
第 10 群の中では、 $50 - 45 = 5$ 番目。
確かめ: 第 10 群の最初の数は $1 0^{2} - 10 + 1 = 91$ で、 $91$ 、 $93$ 、 $95$ 、 $97$ 、 $99$ と数えて 5 番目。また第 2 群は 3 と 5 で、最初の数は $2^{2} - 2 + 1 = 3$ 、和は $3 + 5 = 8$ で $2^{3} = 8$ と合っている。

ここで間違えやすい　第 $n$ 群の終わりまでの項数 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ と、第 $n - 1$ 群の終わりまでの項数 $\frac{1}{2} n (n - 1)$ を取り違えること。

問 5　和 $1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + \dots + (2 n - 1)^{2} - (2 n)^{2}$ を求めよ。

$- n (2 n + 1)$

方針　符号が交互に変わるので、2 項ずつ組にする。項は全部で $2 n$ 個あるから、ちょうど $n$ 組できる。組の和を $k$ の式で表せば、ふつうの $\sum$ の計算になる。

第 $k$ 組は $(2 k - 1)^{2} - (2 k)^{2}$ 。展開すると、 $4 k^{2} - 4 k + 1 - 4 k^{2} = - 4 k + 1$
組は $k = 1$ から $n$ までの $n$ 個なので、求める和は $\sum_{k = 1}^{n} (- 4 k + 1)$
ばらして公式を入れると、 $- 4 \times \frac{1}{2} n (n + 1) + n = - 2 n (n + 1) + n$
$n$ でくくると、 $n {- 2 (n + 1) + 1} = n (- 2 n - 1) = - n (2 n + 1)$
確かめ: $n = 1$ のとき、もとの和は $1 - 4 = - 3$ 、答えの式も $- 1 \times 3 = - 3$ で合っている。