和の記号Σ｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (1) 数列ア (ア)「等差数列と等比数列について理解し，それらの一般項や和を求めること。」。

0. どういうまとまりか

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ のような和を、記号 $\sum$ （シグマ）を使って $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ と短く書きます。
$\sum$ を使うと、等差数列や等比数列の和だけでなく、 $k^{2}$ や $k^{3}$ を並べた数列の和も公式で求められるようになります。
計算の基本は「ばらして、公式の形にそろえて、まとめる」です。

和	公式
$\sum_{k = 1}^{n} c$ （ $c$ は定数）	$n c$
$\sum_{k = 1}^{n} k$	$\frac{1}{2} n (n + 1)$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$	$\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{3}$	${\frac{1}{2} n (n + 1)}^{2}$
$\sum_{k = 1}^{n} r^{k - 1}$ （ $r \neq = 1$ ）	$\frac{r ^{n} - 1}{r - 1}$

分かれ目は次の 3 つ。

$\sum$ は和と定数倍にはばらせるが、積にはばらせない。 $\sum k (k + 1)$ は先に展開する
$\sum_{k = 1}^{n} c$ は $c$ ではなく $n c$ 。定数も $n$ 個足す
下の端が 1 でないときや、上の端が $n - 1$ のときは、項数を確かめる

1. 記号Σの意味

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

$\sum$ の下に「 $k$ をいくつから」、上に「いくつまで」を書き、右に足すものの一般項を書きます。

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ は何を表すか？

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ （数列 $a_{k}$ の第 1 項から第 $n$ 項までの和）

$k$ に 1、2、…、 $n$ を順に代入して全部足す。 $k$ は代わりに $i$ や $j$ を使っても同じ和を表す。

$\sum_{k = 3}^{6} 2^{k}$ を、 $\sum$ を使わずに書いて計算すると？

$2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6}$ で、値は 120

$8 + 16 + 32 + 64 = 120$ 。下の端が 3 なので項数は $6 - 3 + 1$ で 4 個。迷ったら具体的な和に書き戻すと間違えない。

2. Σの性質

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

足し算は順番を入れかえてもよく、共通の係数はくくり出せます。これを $\sum$ で書いたものが $\sum$ の性質です。

$\sum$ の性質（ばらしてよい形）は？

$\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} + b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ 、 $\sum_{k = 1}^{n} c a_{k} = c \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ （ $c$ は定数）

和と定数倍にはばらせる。積は一般に $\sum a_{k} b_{k} \neq = \sum a_{k} \cdot \sum b_{k}$ なので、展開してから和にする。

$\sum_{k = 1}^{n} c$ （ $c$ は $k$ に関係しない定数）の値は？

$n c$

$c + c + \dots + c$ と $c$ を $n$ 個足す。例えば $\sum_{k = 1}^{n} 1 = n$ 。答えを $c$ としてしまう誤りが多い。

3. 和の公式

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

$k$ 、 $k^{2}$ 、 $k^{3}$ の和と、等比数列の和は公式として覚えます。 $\sum k$ は初項 1、公差 1 の等差数列の和です。

$\sum_{k = 1}^{n} k$ と $\sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の公式は？

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 、 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

$\sum k$ は初項 1、末項 $n$ の等差数列の和。例えば $1^{2} + 2^{2} + \dots + 1 0^{2}$ は $\frac{1}{6} \times 10 \times 11 \times 21 = 385$ 。

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3}$ の公式は？

${\frac{1}{2} n (n + 1)}^{2}$

$\sum k$ の 2 乗と同じ形。例えば $1^{3} + 2^{3} + \dots + 1 0^{3}$ は $5 5^{2} = 3025$ 。

$\sum_{k = 1}^{n} a r^{k - 1}$ （ $r \neq = 1$ ）の値は？

$\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$

初項 $a$ 、公比 $r$ 、項数 $n$ の等比数列の和。指数が $k$ のとき（ $\sum_{k = 1}^{n} 3^{k}$ など）は初項が $3$ になるので $\frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{2}$ 。初項を必ず $k = 1$ を代入して確かめる。

$\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1)$ の値は？

$n^{2}$

$2 \sum k - \sum 1 = n (n + 1) - n = n^{2}$ 。1 から始まる奇数を $n$ 個足すと $n^{2}$ になる。

4. Σの計算

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

一般項を展開して $k^{2}$ 、 $k$ 、定数の項に分け、それぞれに公式を使います。最後は共通因数でくくって整理します。

$\sum_{k = 1}^{n} k (k + 1)$ の計算の手順と答えは？

展開して $\sum k^{2} + \sum k$ にばらす。答えは $\frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$

$\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + \frac{1}{2} n (n + 1) = \frac{1}{6} n (n + 1) {(2 n + 1) + 3}$ 。共通因数 $\frac{1}{6} n (n + 1)$ でくくると整理が速い。

$\sum_{k = 1}^{n - 1} k$ の値は？

$\frac{1}{2} (n - 1) n$

$\sum_{k = 1}^{n} k$ の公式の $n$ を $n - 1$ に置きかえる。階差数列で上の端が $n - 1$ の和がよく出てくる。

練習問題

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

問 1　 $\sum_{k = 1}^{20} (2 k + 1)$ を求めよ。

440

方針　 $\sum$ は和と定数倍にばらせるので、 $2 k$ の部分と定数 1 の部分に分け、それぞれに公式を使う。

ばらす。 $\sum_{k = 1}^{20} (2 k + 1) = 2 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 1$
$\sum_{k = 1}^{20} k$ は、公式 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ に $n = 20$ を入れて $\frac{1}{2} \times 20 \times 21 = 210$
$\sum_{k = 1}^{20} 1$ は 1 を 20 個足すので 20
合わせて、 $2 \times 210 + 20 = 440$
別の見方: $k = 1$ のとき 3、 $k = 20$ のとき 41 なので、初項 3、末項 41、項数 20 の等差数列の和と見て $\frac{1}{2} \times 20 \times (3 + 41) = 10 \times 44 = 440$ としてもよい。

ここで間違えやすい　 $\sum_{k = 1}^{20} 1$ を 1 としてしまうこと。定数も 20 個足す。

問 2　 $\sum_{k = 1}^{n} (3 k^{2} - k)$ を求めよ。

$n^{2} (n + 1)$

方針　 $3 k^{2}$ と $- k$ にばらして公式を使う。出てくる 2 つの式にはどちらも $n (n + 1)$ が入っているので、展開せずに共通因数でくくる。

ばらす。 $\sum_{k = 1}^{n} (3 k^{2} - k) = 3 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k$
公式を入れると、 $3 \times \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - \frac{1}{2} n (n + 1)$
1 つ目の係数は $3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ なので、 $\frac{1}{2} n (n + 1) (2 n + 1) - \frac{1}{2} n (n + 1)$
共通因数 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ でくくると、 $\frac{1}{2} n (n + 1) {(2 n + 1) - 1} = \frac{1}{2} n (n + 1) \cdot 2 n$
$\frac{1}{2}$ と $2 n$ を掛けると $n$ なので、答えは $n^{2} (n + 1)$
確かめ: $n = 2$ のとき、もとの和は $(3 - 1) + (12 - 2) = 12$ 、答えの式は $2^{2} \times 3 = 12$ で合っている。

問 3　和 $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n (n + 1)$ を求めよ。

$\frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$

方針　まず第 $k$ 項を $k$ の式で書いて、 $\sum$ の形にする。 $\sum$ は積のままではばらせないので、展開して $k^{2}$ と $k$ に分けてから公式を使う。

第 $k$ 項は $k (k + 1)$ で、展開すると $k^{2} + k$ 。求める和は $\sum_{k = 1}^{n} (k^{2} + k)$
ばらして公式を入れると、 $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} + \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + \frac{1}{2} n (n + 1)$
共通因数 $\frac{1}{6} n (n + 1)$ でくくる。 $\frac{1}{2} = \frac{1}{6} \times 3$ なので、 $\frac{1}{6} n (n + 1) {(2 n + 1) + 3} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 4)$
$2 n + 4 = 2 (n + 2)$ なので、 $\frac{1}{6} n (n + 1) \cdot 2 (n + 2) = \frac{1}{3} n (n + 1) (n + 2)$
確かめ: $n = 2$ のとき、もとの和は $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8$ 、答えの式は $\frac{1}{3} \times 2 \times 3 \times 4 = 8$ で合っている。

ここで間違えやすい　 $\sum k (k + 1)$ を $\sum k$ と $\sum (k + 1)$ の積にしてしまうこと。積にはばらせない。

問 4　和 $1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \dots + (2 n - 1)^{2}$ を求めよ。

$\frac{1}{3} n (2 n - 1) (2 n + 1)$

方針　第 $k$ 項は $k$ 番目の奇数の 2 乗 $(2 k - 1)^{2}$ 。展開して $k^{2}$ 、 $k$ 、定数に分け、それぞれに公式を使ってから $n$ でくくる。

第 $k$ 項は $(2 k - 1)^{2} = 4 k^{2} - 4 k + 1$ 。求める和は $\sum_{k = 1}^{n} (4 k^{2} - 4 k + 1)$
ばらすと、 $4 \sum_{k = 1}^{n} k^{2} - 4 \sum_{k = 1}^{n} k + \sum_{k = 1}^{n} 1$
公式を入れると、 $4 \times \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - 4 \times \frac{1}{2} n (n + 1) + n$
係数を計算すると、 $\frac{2}{3} n (n + 1) (2 n + 1) - 2 n (n + 1) + n$
$\frac{1}{3} n$ でくくると、 $\frac{1}{3} n {2 (n + 1) (2 n + 1) - 6 (n + 1) + 3}$
中かっこの中を展開する。 $2 (n + 1) (2 n + 1) = 4 n^{2} + 6 n + 2$ なので、 $4 n^{2} + 6 n + 2 - 6 n - 6 + 3 = 4 n^{2} - 1$
$4 n^{2} - 1 = (2 n - 1) (2 n + 1)$ と因数分解できるので、答えは $\frac{1}{3} n (2 n - 1) (2 n + 1)$
確かめ: $n = 2$ のとき、もとの和は $1^{2} + 3^{2} = 10$ 、答えの式は $\frac{1}{3} \times 2 \times 3 \times 5 = 10$ で合っている。

ここで間違えやすい　 $\sum_{k = 1}^{n} 1$ を 1 としてしまうこと。1 を $n$ 個足すので $n$ 。

問 5　 $\sum_{k = 1}^{n} 2 \cdot 3^{k - 1}$ を求めよ。

$3^{n} - 1$

方針　 $2 \cdot 3^{k - 1}$ は $k$ が 1 増えるごとに 3 倍になるので、等比数列の和。初項・公比・項数を読み取って、等比数列の和の公式に入れる。

初項は $k = 1$ を代入して $2 \cdot 3^{0} = 2$ 。公比は 3、項数は $n$
等比数列の和の公式 $\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ に入れると、 $\frac{2 ( 3 ^{n} - 1 )}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 ^{n} - 1 )}{2}$
2 で約分して、 $3^{n} - 1$
確かめ: $n = 2$ のとき、もとの和は $2 + 6 = 8$ 、答えの式は $3^{2} - 1 = 8$ で合っている。