等比数列｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (1) 数列ア (ア)「等差数列と等比数列について理解し，それらの一般項や和を求めること。」。

0. どういうまとまりか

各項に一定の数 $r$ を掛けると次の項になる数列を等比数列といい、 $r$ を公比といいます。
等差数列が「足していく」数列なら、等比数列は「掛けていく」数列です。初項と公比の 2 つが決まれば全部決まる点は同じです。
和の公式だけは等差数列と作り方が違い、公比を掛けて 1 つずらし、元の式から引くことで導きます。

知りたいもの	式	注意
一般項	$a_{n} = a r^{n - 1}$	公比を掛ける回数は $n - 1$ 回
和（ $r \neq = 1$ ）	$S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$	$r > 1$ なら左、 $r < 1$ なら右が計算しやすい
和（ $r = 1$ ）	$S_{n} = na$	同じ数を $n$ 個足すだけ
3 数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がこの順に等比数列	$b^{2} = a c$	$b$ を等比中項という

分かれ目は次の 3 つ。

和の公式は $r = 1$ と $r \neq = 1$ で分ける。公比が文字のときは場合分けが要る
公比を求めるとき $r^{2} = 9$ なら $r = \pm 3$ 。負の公比を落とさない
$S_{n} - r S_{n}$ では、ずらして引いたあとに残る項を数え違えない

1. 等比数列と一般項

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

隣り合う項の比 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ が一定の数列が等比数列です（項が 0 でないとき）。

等比数列とは？公比とは？

各項に一定の数 $r$ を掛けると次の項になる数列。その一定の数 $r$ を公比という

つまり、すべての $n$ について $a_{n + 1} = r a_{n}$ 。公比は負でもよい（符号が交互に変わる数列になる）。

初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列の一般項は？

$a_{n} = a r^{n - 1}$

$a_{1}$ から $a_{n}$ までに公比を掛けるのは $n - 1$ 回。例えば初項 3、公比 2 なら第 5 項は $3 \times 2^{4} = 48$ 。

等比数列で、第 2 項が 6、第 5 項が 48 のとき（公比は実数）、初項と公比の求め方は？

$a r = 6$ 、 $a r^{4} = 48$ の 2 式を割り算する。 $r^{3} = 8$ から公比 2、初項 3

等比数列は割り算で $a$ を消す（等差数列は引き算で消す）。

公比を求めて $r^{2} = 9$ が出てきたら？

$r = 3$ と $r = - 3$ の 2 通りがある。それぞれについて初項を求める

偶数乗から公比を出すときは、負の公比を落としやすい。 $r^{3} = 8$ のような奇数乗なら実数の解は 1 つ。

2. 等比中項

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

3 つの数が等比数列になる条件は、真ん中の数の 2 乗が両隣の積に等しいことです。

0 でない 3 つの数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がこの順に等比数列になるための条件は？

$b^{2} = a c$

$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ を変形したもの。このときの $b$ を等比中項という。 $b^{2} = a c$ から $b$ は 2 通り出ることがある。

3. 等比数列の和

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

和の式に公比を掛けると、項が 1 つずつ後ろにずれます。元の式から引くと、ほとんどの項が消えて最初と最後だけが残ります。

等比数列の和の公式は、どう導くか？

$S_{n}$ に公比 $r$ を掛けて 1 項ずらし、 $S_{n} - r S_{n}$ を計算する。間の項が消えて $(1 - r) S_{n} = a - a r^{n}$ が残る

$S_{n} = a + a r + \dots + a r^{n - 1}$ 、 $r S_{n} = a r + a r^{2} + \dots + a r^{n}$ 。 $r \neq = 1$ なら $1 - r$ で割れる。

初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列の、初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ は？

$r \neq = 1$ のとき $S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ 。 $r = 1$ のとき $S_{n} = na$

$r = 1$ だと分母が 0 になるので、公式は使えない。そのときは同じ数 $a$ を $n$ 個足すだけ。

等比数列の和で、公比が文字（例えば $x$ ）のときに必要なことは？

$x = 1$ と $x \neq = 1$ で場合分けする

$x = 1$ なら和は（項数）×（初項）。公比が数で与えられていれば場合分けは要らない。

$2 + 6 + 18 + \dots$ （初項 2、公比 3）の初項から第 6 項までの和は？

728

$\frac{2 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = 3^{6} - 1 = 728$ 。 $r > 1$ なので $\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ の形を使うと分母・分子とも正になる。

4. 複利

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

利息を元金に繰り入れて、次の期はその合計に利息がつく計算を複利といいます。毎年同じ率を掛けるので、元利合計は等比数列になります。

元金 $a$ 円を年利率 $r$ の 1 年ごとの複利で預けると、 $n$ 年後の元利合計は？

$a (1 + r)^{n}$ 円

1 年ごとに $1 + r$ 倍になるので、初項 $a (1 + r)$ 、公比 $1 + r$ の等比数列。例えば 10 万円を年利率 2% で 3 年なら $10 \times 1.0 2^{3} = 10.61208$ （万円）。

毎年はじめに $a$ 円ずつ積み立て、年利率 $r$ の複利で運用すると、 $n$ 年目の終わりの元利合計は？

$\frac{a ( 1 + r ) {( 1 + r ) ^{n} - 1 }}{r}$ 円

最後に積み立てた分は $a (1 + r)$ 、最初の分は $a (1 + r)^{n}$ 。これらを全部足すと、初項 $a (1 + r)$ 、公比 $1 + r$ 、項数 $n$ の等比数列の和になる。

練習問題

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

問 1　第 2 項が 6、第 4 項が 54 である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ または $a_{n} = - 2 \cdot (- 3)^{n - 1}$

方針　等比数列は初項と公比で決まる。分かっている 2 つの項を $a_{n} = a r^{n - 1}$ の形で書き、割り算で $a$ を消して公比を先に求める。

初項を $a$ 、公比を $r$ とおく。第 2 項は $a r = 6$ 、第 4 項は $a r^{3} = 54$
2 つ目の式を 1 つ目の式で割ると $a$ が消えて、 $r^{2} = 9$
$r^{2} = 9$ から、 $r = 3$ または $r = - 3$
$r = 3$ のとき、 $a r = 6$ から $3 a = 6$ なので $a = 2$ 。一般項は $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$
$r = - 3$ のとき、 $a r = 6$ から $- 3 a = 6$ なので $a = - 2$ 。一般項は $a_{n} = - 2 \cdot (- 3)^{n - 1}$
確かめ: 第 4 項は $2 \times 3^{3} = 54$ 、 $- 2 \times (- 3)^{3} = 54$ で、どちらも条件と合っている。

ここで間違えやすい　 $r^{2} = 9$ から $r = 3$ だけを答えてしまうこと。「公比は実数」には負の公比も含まれる。

問 2　初項 3、公比 2 の等比数列の、初項から第 8 項までの和を求めよ。

765

方針　初項・公比・項数が分かっているので、等比数列の和の公式に入れる。公比 2 は 1 より大きいので、分母・分子が正になる $\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ の形を使う。

$a = 3$ 、 $r = 2$ 、 $n = 8$ を公式に入れると、和は $\frac{3 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1}$
$2^{8} = 256$ なので、分子のかっこの中は $256 - 1 = 255$ 。分母は $2 - 1 = 1$
よって和は $3 \times 255 = 765$

問 3　初項 1、公比 $- 2$ の等比数列の、初項から第 10 項までの和を求めよ。

$- 341$

方針　等比数列の和の公式に入れる。公比 $- 2$ は 1 より小さいので、 $\frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ の形を使うと分母が正になり、符号を間違えにくい。

$a = 1$ 、 $r = - 2$ 、 $n = 10$ を公式に入れると、和は $\frac{1 - ( - 2 ) ^{10}}{1 - ( - 2 )}$
指数が偶数なので $(- 2)^{10} = 1024$ 。分子は $1 - 1024 = - 1023$
分母は $1 - (- 2) = 3$
よって和は $\frac{- 1023}{3} = - 341$

ここで間違えやすい　 $(- 2)^{10}$ を $- 1024$ としてしまうこと。負の数の偶数乗は正になる。

問 4　初項から第 3 項までの和が 7、第 4 項から第 6 項までの和が 56 である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし、公比は実数とする。

初項 1、公比 2

方針　第 4 項から第 6 項は、第 1 項から第 3 項にそれぞれ $r^{3}$ を掛けたもの。だから 2 つ目の和は 1 つ目の和の $r^{3}$ 倍で、ここから $r^{3}$ がすぐに出る。公比が分かれば、初項は 1 つ目の条件から求まる。

初項を $a$ 、公比を $r$ とおく。条件は $a + a r + a r^{2} = 7$ と $a r^{3} + a r^{4} + a r^{5} = 56$
2 つ目の左辺を $r^{3}$ でくくると、 $a r^{3} + a r^{4} + a r^{5} = r^{3} (a + a r + a r^{2})$
かっこの中は 1 つ目の条件から 7 なので、 $7 r^{3} = 56$ 。よって $r^{3} = 8$
公比は実数なので、 $r = 2$
1 つ目の条件に $r = 2$ を入れると $a + 2 a + 4 a = 7$ 、つまり $7 a = 7$ なので、 $a = 1$
確かめ: 数列は $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ 、 $32$ 、… となり、 $1 + 2 + 4 = 7$ 、 $8 + 16 + 32 = 56$ で条件と合っている。

問 5　3 つの数 2、 $x$ 、18 がこの順に等比数列になるとき、 $x$ の値を求めよ。

$x = 6$ または $x = - 6$

方針　3 つの数がこの順に等比数列になる条件は「真ん中の 2 乗 = 両端の積」（等比中項）。これに当てはめる。

真ん中は $x$ 、両端は 2 と 18 なので、 $x^{2} = 2 \times 18 = 36$
2 乗して 36 になる数は 2 つあるので、 $x = 6$ または $x = - 6$
確かめ: $x = 6$ なら $2$ 、 $6$ 、 $18$ で公比 3。 $x = - 6$ なら $2$ 、 $- 6$ 、 $18$ で公比 $- 3$ 。どちらも等比数列になる。

ここで間違えやすい　負の解 $x = - 6$ を落とすこと。