等差数列｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (1) 数列ア (ア)「等差数列と等比数列について理解し，それらの一般項や和を求めること。」。

0. どういうまとまりか

数を一列に並べたものを数列といい、並んだ一つ一つの数を項といいます。最初の項が初項、 $n$ 番目の項 $a_{n}$ を $n$ の式で表したものが一般項です。
隣り合う項の差がいつも同じ数 $d$ になっている数列を等差数列といい、 $d$ を公差といいます。
等差数列は「初項」と「公差」の 2 つが決まれば全部決まるので、問題はまずこの 2 つを求めるところから始まります。

知りたいもの	式	覚え方
一般項	$a_{n} = a + (n - 1) d$	初項から公差を $n - 1$ 回足す
和（末項 $l$ が分かるとき）	$S_{n} = \frac{1}{2} n (a + l)$	（初項 + 末項）× 項数 ÷ 2
和（公差が分かるとき）	$S_{n} = \frac{1}{2} n {2 a + (n - 1) d}$	上の式の $l$ に一般項を入れる
3 数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がこの順に等差数列	$2 b = a + c$	$b$ は $a$ と $c$ の平均（等差中項）

分かれ目は次の 3 つ。

第 $n$ 項までに公差を足す回数は $n - 1$ 回。 $n$ 回ではない
和の公式の「項数」を数え違えない。 $m$ から $n$ までの整数は $n - m + 1$ 個
和の最大・最小は、項の符号が変わるところで決まる。正の項を全部足したところが最大

1. 等差数列と一般項

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

隣り合う項の差 $a_{n + 1} - a_{n}$ が一定の数列が等差数列です。一般項は、初項に公差を何回足したかで決まります。

等差数列とは？公差とは？

各項に一定の数 $d$ を足すと次の項になる数列。その一定の数 $d$ を公差という

つまり、すべての $n$ について $a_{n + 1} - a_{n} = d$ 。公差は負でも 0 でもよい。

初項 $a$ 、公差 $d$ の等差数列の一般項は？

$a_{n} = a + (n - 1) d$

$a_{1}$ から $a_{n}$ までに公差を足すのは $n - 1$ 回。例えば初項 3、公差 4 なら $a_{n} = 4 n - 1$ 。

一般項が $a_{n} = p n + q$ （ $p$ 、 $q$ は定数）で表される数列は、どんな数列か？

公差 $p$ 、初項 $p + q$ の等差数列

$a_{n + 1} - a_{n} = p {(n + 1) - n} = p$ で一定になる。一般項が $n$ の一次式なら等差数列、 $n$ の係数が公差。

等差数列で、第 5 項が 17、第 12 項が 38 のとき、初項と公差の求め方は？

$a + 4 d = 17$ 、 $a + 11 d = 38$ の連立方程式を解く。公差 3、初項 5

2 式を引いて $7 d = 21$ 。第 $m$ 項と第 $n$ 項の差は $(n - m) d$ と覚えておくと速い。

2. 等差中項

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

3 つの数が等差数列になる条件は、真ん中の数が両隣の平均になることです。

3 つの数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がこの順に等差数列になるための条件は？

$2 b = a + c$

$b - a = c - b$ を変形したもの。このときの $b$ を等差中項という。 $b$ は $a$ と $c$ の平均 $\frac{a + c}{2}$ 。

等差数列をなす 3 数を文字でおくとき、計算が楽になるおき方は？

真ん中を $a$ 、公差を $d$ として $a - d$ 、 $a$ 、 $a + d$ とおく

和が $3 a$ になり $d$ が消えるので、「3 数の和が◯◯」という条件から $a$ がすぐに決まる。

3. 等差数列の和

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

和の公式は、和を逆の順にも並べて足すと、上下の組の和がどれも等しくなることから導けます。

等差数列の和の公式は、どう導くか？

$S_{n}$ を順に並べた式と逆の順に並べた式を足す。上下の組の和がどれも「初項 + 末項」になるので $2 S_{n} = n (a + l)$

$S_{n} = a + (a + d) + \dots + l$ と $S_{n} = l + (l - d) + \dots + a$ を縦に足すと、 $a + l$ が $n$ 組できる。

初項 $a$ 、末項 $l$ 、項数 $n$ の等差数列の和 $S_{n}$ は？公差 $d$ を使うと？

$S_{n} = \frac{1}{2} n (a + l)$ 。公差を使うと $S_{n} = \frac{1}{2} n {2 a + (n - 1) d}$

2 つ目は 1 つ目の $l$ に $a + (n - 1) d$ を代入したもの。例えば $1 + 2 + \dots + 100$ は $\frac{1}{2} \times 100 \times (1 + 100) = 5050$ 。

100 以下の自然数のうち、3 の倍数の和の求め方は？

$3$ から $99$ までの公差 3 の等差数列。項数は 33 なので、和は $\frac{1}{2} \times 33 \times (3 + 99) = 1683$

項数は「末項 $99 = 3 \times 33$ 」から数える。倍数の和は、項数の数え方が分かれ目。

4. 和の最大

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

公差が負の等差数列は、はじめ正だった項がどこかで負に変わります。和は正の項を足している間は増え、負の項を足しはじめると減ります。

公差が負の等差数列で、初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が最大になる $n$ の求め方は？

初項が正なら、 $a_{n} > 0$ となる最大の $n$ を求める（正の項を全部足したところで最大）

$a_{m} = 0$ となる項があれば、0 を足しても和は変わらないので、 $n = m - 1$ と $n = m$ の 2 つで同じ最大値になる。

初項 50、公差 $- 3$ の等差数列で、和 $S_{n}$ の最大値は？

$n = 17$ のとき最大で、最大値は 442

$a_{n} = 53 - 3 n$ 。 $a_{17}$ は 2 で正、 $a_{18}$ は $- 1$ で負。最大値は $\frac{1}{2} \times 17 \times (50 + 2) = 442$ 。

練習問題

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ア)

問 1　第 3 項が 7、第 10 項が 28 である等差数列の一般項を求めよ。また、100 は第何項か。

$a_{n} = 3 n - 2$ 。100 は第 34 項

方針　等差数列は初項と公差の 2 つが決まれば全部決まる。分かっている 2 つの項を一般項 $a_{n} = a + (n - 1) d$ の形で書くと、 $a$ と $d$ の連立方程式になる。

初項を $a$ 、公差を $d$ とおく。第 3 項は公差を 2 回足すので $a + 2 d = 7$ 、第 10 項は 9 回足すので $a + 9 d = 28$
2 つ目の式から 1 つ目の式を引くと $a$ が消えて、 $7 d = 21$ 。よって $d = 3$
$d = 3$ を $a + 2 d = 7$ に代入すると $a + 6 = 7$ なので、 $a = 1$
一般項は $a_{n} = 1 + (n - 1) \times 3 = 1 + 3 n - 3 = 3 n - 2$
100 が第 $n$ 項だとすると $3 n - 2 = 100$ 。移項して $3 n = 102$ なので、 $n = 34$
確かめ: $3 \times 3 - 2 = 7$ 、 $3 \times 10 - 2 = 28$ で、問題の条件と合っている。

ここで間違えやすい　第 3 項は $a + 3 d$ ではなく $a + 2 d$ 。公差を足す回数は、項の番号より 1 少ない。

問 2　初項 2、公差 5 の等差数列の、初項から第 20 項までの和を求めよ。

990

方針　初項・公差・項数が分かっているので、和の公式が使える。末項を先に出して「（初項 + 末項）× 項数 ÷ 2」に入れるのが間違えにくい。

第 20 項（末項）を求める。初項に公差を 19 回足すので、 $2 + 19 \times 5 = 2 + 95 = 97$
和の公式 $S_{n} = \frac{1}{2} n (a + l)$ に $n = 20$ 、 $a = 2$ 、 $l = 97$ を入れると、 $\frac{1}{2} \times 20 \times (2 + 97) = 10 \times 99 = 990$
別の見方: 公式 $\frac{1}{2} n {2 a + (n - 1) d}$ にそのまま入れても、 $\frac{1}{2} \times 20 \times (2 \times 2 + 19 \times 5) = 10 \times (4 + 95) = 990$ で同じになる。

問 3　2 桁の自然数のうち、7 で割ると 3 余る数の和を求めよ。

676

方針　「7 で割ると 3 余る数」は 7 ずつ増えるので、等差数列になる。和を出すには初項・末項・項数が要るので、2 桁の範囲で最初の数・最後の数・個数を数える。

7 で割ると 3 余る数は、整数 $k$ を使って $7 k + 3$ と表せる。
2 桁で最小のものを探す。 $k = 0$ だと 3 で 1 桁、 $k = 1$ のとき $7 \times 1 + 3 = 10$ で、これが最初。
2 桁で最大のものを探す。 $7 \times 13 + 3 = 94$ は 2 桁、次の $7 \times 14 + 3 = 101$ は 3 桁なので、最後は 94。
$k$ は 1 から 13 までなので、項数は 13。
初項 10、末項 94、項数 13 の等差数列の和は、 $\frac{1}{2} \times 13 \times (10 + 94) = \frac{1}{2} \times 13 \times 104 = 13 \times 52 = 676$

ここで間違えやすい　項数を、 $94 - 10$ を 7 で割った 12 としてしまうこと。両端を数えるので、1 を足して 13 個。

問 4　初項 40、公差 $- 6$ の等差数列について、初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ の最大値と、そのときの $n$ を求めよ。

$n = 7$ のとき最大値 154

方針　公差が負なので、項ははじめ正で、途中から負になる。和は正の項を足している間だけ増えるので、「どこまでが正の項か」を一般項から調べ、そこまでの和を出す。

一般項を求める。 $a_{n} = 40 + (n - 1) \times (- 6) = 40 - 6 n + 6 = 46 - 6 n$
正の項の範囲を調べる。 $46 - 6 n > 0$ から $6 n < 46$ なので、 $n < \frac{23}{3}$
$\frac{23}{3} ≒ 7.67$ なので、 $n ≦ 7$ のとき $a_{n} > 0$ 、 $n ≧ 8$ のとき $a_{n} < 0$
実際に、 $a_{7}$ は $46 - 6 \times 7 = 4$ で正、 $a_{8}$ は $46 - 6 \times 8 = - 2$ で負。
第 7 項まで足したところで和が最大になる。初項 40、末項 4、項数 7 なので、最大値は $\frac{1}{2} \times 7 \times (40 + 4) = \frac{1}{2} \times 7 \times 44 = 154$

ここで間違えやすい　 $n < \frac{23}{3}$ から $n = 8$ としてしまうこと。第 8 項は負なので、足すと和は減る。

問 5　3 つの数 $x$ 、 $2 x + 1$ 、 $5 x - 2$ がこの順に等差数列になるとき、 $x$ の値を求めよ。

$x = 2$

方針　3 つの数がこの順に等差数列になる条件は「真ん中の 2 倍 = 両端の和」（等差中項）。これに当てはめると $x$ の方程式になる。

真ん中は $2 x + 1$ 、両端は $x$ と $5 x - 2$ なので、 $2 (2 x + 1) = x + (5 x - 2)$
両辺をそれぞれ整理すると、 $4 x + 2 = 6 x - 2$
$x$ の項を右辺に、数を左辺に集めると $4 = 2 x$ 。よって $x = 2$
確かめ: $x = 2$ のとき 3 数は 2 と 5 と 8 で、隣どうしの差はどちらも 3。公差 3 の等差数列になっている。