期待値と分散の性質｜高校数学B

学習指導要領数学B (2) 統計的な推測ア (イ)「確率変数と確率分布について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

確率変数 $X$ を 1 次式で変換した $a X + b$ や、2 つの確率変数の和 $X + Y$ の期待値（平均）・分散は、分布の表を作り直さなくても、元の値から求められます。
ただし、和の期待値はいつでも足せるのに、和の分散は独立なときしか足せないという違いがあります。

	期待値	分散	標準偏差
$a X + b$	$a E (X) + b$	$a^{2} V (X)$	$∣ a ∣ σ (X)$
$X + Y$ （いつでも）	$E (X) + E (Y)$	（一般には足せない）
$X + Y$ （独立なとき）	$E (X) + E (Y)$	$V (X) + V (Y)$
$X Y$ （独立なとき）	$E (X) E (Y)$

分かれ目は次の 3 つ。

$a X + b$ の分散に $b$ は効かない（全体をずらしても散らばりは変わらない）。 $a$ は 2 乗で効く
$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ は独立でなくても成り立つ。独立が要るのは $E (X Y)$ と $V (X + Y)$
独立なら $V (X - Y)$ も $V (X) + V (Y)$ （引いても散らばりは足される）

1. aX+b の期待値・分散・標準偏差

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(イ)

得点を 2 倍して 3 点を加える、温度の単位を換える、のように確率変数 $X$ を $Y = a X + b$ に変換したときの期待値・分散・標準偏差です。

確率変数 $X$ と定数 $a$ 、 $b$ について、 $E (a X + b)$ は？

$E (a X + b) = a E (X) + b$

$\sum (a x_{k} + b) p_{k} = a \sum x_{k} p_{k} + b \sum p_{k}$ で、確率の和 $\sum p_{k} = 1$ を使う。

$V (a X + b)$ と $σ (a X + b)$ は？

$V (a X + b) = a^{2} V (X)$ 、 $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$

平均からのずれが $a$ 倍になるので、ずれの 2 乗は $a^{2}$ 倍。標準偏差は正の平方根なので $a$ に絶対値がつく。

$V (a X + b)$ に $b$ が出てこないのはなぜか？

$b$ を足すと、すべての値と平均が同じだけずれ、平均からのずれ $X - m$ は変わらないから

分布全体を平行移動しても、散らばり具合は変わらない。

さいころの出る目 $X$ （ $E (X) = \frac{7}{2}$ 、 $V (X) = \frac{35}{12}$ ）について、 $Y = 2 X + 3$ の期待値と分散は？

$E (Y) = 10$ 、 $V (Y) = \frac{35}{3}$

$E (Y) = 2 \times \frac{7}{2} + 3 = 10$ 。 $V (Y) = 2^{2} \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$ 。 $σ (Y) = 2 σ (X)$ 。

平均 $m$ 、標準偏差 $σ$ の確率変数 $X$ に対し、 $Z = \frac{X - m}{σ}$ の期待値と標準偏差は？

$E (Z) = 0$ 、 $σ (Z) = 1$

$Z = \frac{1}{σ} X - \frac{m}{σ}$ と見て 1 次式の性質を使う。 $E (Z) = \frac{m}{σ} - \frac{m}{σ} = 0$ 、 $V (Z) = \frac{1}{σ ^{2}} V (X) = 1$ 。この変換を標準化という。

2. 同時分布と和の期待値

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(イ)

2 つの確率変数 $X$ 、 $Y$ を同時に考えるときは、 $X = a$ かつ $Y = b$ となる確率 $P (X = a, Y = b)$ の表を作ります。

2 つの確率変数 $X$ 、 $Y$ の同時分布とは？

$X$ のとる値と $Y$ のとる値の組 $(a, b)$ と、 $X = a$ かつ $Y = b$ となる確率 $P (X = a, Y = b)$ との対応

縦に $X$ の値、横に $Y$ の値をとった表にする。行ごとの和が $X$ の確率分布、列ごとの和が $Y$ の確率分布になる。

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ は、 $X$ と $Y$ が独立でなくても成り立つか？

成り立つ（どんな $X$ 、 $Y$ についても成り立つ）

同時分布で $\sum\sum (a + b) P (X = a, Y = b)$ を $a$ の部分と $b$ の部分に分けると、それぞれ $E (X)$ 、 $E (Y)$ になる。3 つ以上の和でも同じ。

3. 独立な確率変数

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(イ)

一方の値が何であっても、もう一方の値の出方が変わらないとき、2 つの確率変数は独立です。独立なときに限って、積の期待値と和の分散が簡単になります。

確率変数 $X$ と $Y$ が独立であるとは？

$X$ のとるどの値 $a$ と $Y$ のとるどの値 $b$ についても、 $P (X = a, Y = b) = P (X = a) P (Y = b)$ が成り立つこと

1 組でも成り立たない $(a, b)$ があれば、独立ではない。2 つの独立な試行の結果で決まる $X$ 、 $Y$ は独立。

$X$ と $Y$ が独立なとき、 $E (X Y)$ は？

$E (X Y) = E (X) E (Y)$

独立でないときは一般に成り立たない。同時分布から $\sum\sum ab P (X = a, Y = b)$ を計算する。

$X$ と $Y$ が独立なとき、 $V (X + Y)$ は？

$V (X + Y) = V (X) + V (Y)$

$V (X + Y) = E ((X + Y)^{2}) - {E (X + Y)}^{2}$ を展開すると、余分に残るのが $2 {E (X Y) - E (X) E (Y)}$ 。独立ならこれが 0 になる。

$X$ と $Y$ が独立なとき、 $V (X - Y)$ は $V (X) - V (Y)$ か？

違う。 $V (X - Y) = V (X) + V (Y)$

$X - Y = X + (- 1) Y$ で、 $V ((- 1) Y) = (- 1)^{2} V (Y) = V (Y)$ 。差をとっても、散らばりは打ち消し合わずに足される。

練習問題

問 1　確率変数 $X$ の期待値が 3、分散が 4 である。 $Y = - 2 X + 5$ の期待値・分散・標準偏差を求めよ。

$E (Y) = - 1$ 、 $V (Y) = 16$ 、 $σ (Y) = 4$

方針　 $Y$ は $X$ の 1 次式 $a X + b$ （ $a = - 2$ 、 $b = 5$ ）なので、 $Y$ の分布を作り直さなくても、 $X$ の期待値と分散から求められる。期待値は $a E (X) + b$ 、分散は $a^{2} V (X)$ 、標準偏差は $∣ a ∣ σ (X)$ を使う。

期待値は、 $X$ の期待値 3 を $- 2$ 倍して 5 を足す。 $E (Y) = - 2 \times 3 + 5 = - 6 + 5 = - 1$
分散は、 $X$ の分散 4 に $a$ の 2 乗を掛ける。 $b$ は効かない。 $V (Y) = (- 2)^{2} \times 4 = 4 \times 4 = 16$
$X$ の標準偏差は分散の正の平方根なので、 $σ (X) = 4 = 2$
標準偏差は、 $a$ の絶対値を掛ける。 $σ (Y) = ∣ - 2 ∣ \times 2 = 2 \times 2 = 4$
確かめ。分散 16 の正の平方根をとっても $16 = 4$ で、同じ値になる。

ここで間違えやすい　分散に掛かるのは $a$ ではなく $a^{2}$ 。 $- 2$ をそのまま掛けて負の分散にしない。また、足した 5 は全体をずらすだけなので、分散にも標準偏差にも出てこない。

問 2　大小 2 個のさいころを投げ、出る目の和を $X$ とする。 $X$ の期待値と分散を求めよ。

$E (X) = 7$ 、 $V (X) = \frac{35}{6}$

方針　和の確率分布（2 から 12 まで）を作るのではなく、 $X$ を「さいころ 1 個の目」2 つの和に分ける。期待値は和の性質でいつでも足せる。分散は、2 個のさいころの目が独立なので足せる。

大きいさいころの目を $X_{1}$ 、小さいさいころの目を $X_{2}$ とすると、 $X = X_{1} + X_{2}$
さいころ 1 個の目の期待値を求める。どの目も確率 $\frac{1}{6}$ なので、 $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
さいころ 1 個の目を 2 乗したものの平均は、 $\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$
さいころ 1 個の目の分散は、「2 乗の平均」−「平均の 2 乗」で、 $\frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$
和の期待値は期待値の和なので、 $E (X) = \frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7$
一方のさいころの目は、もう一方の目の出方に影響しないので、 $X_{1}$ と $X_{2}$ は独立。独立なら分散も足せるので、 $V (X) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$

ここで間違えやすい　期待値は独立でなくても足せるが、分散が足せるのは独立なときだけ。分散を足す前に、独立であることを一言確かめる。

和の確率分布（2 から 12 まで 11 通りの値）を作って計算しても同じ結果になるが、ずっと手間がかかる。

問 3　100 円硬貨 1 枚と 10 円硬貨 1 枚を同時に投げ、表が出た硬貨の金額の合計を $X$ 円とする。 $X$ の期待値と分散を、2 通りの方法で求めよ。

$E (X) = 55$ 、 $V (X) = 2525$

方針　1 つ目は、合計を硬貨ごとの金額の和に分け、和の期待値・独立な確率変数の和の分散の性質を使う。2 つ目は、 $X$ そのものの確率分布を作って定義どおりに計算する。2 通りの結果が一致すれば、互いの確かめになる。

和の性質で

100 円硬貨の分の金額を $X_{1}$ 、10 円硬貨の分の金額を $X_{2}$ とすると、 $X = X_{1} + X_{2}$
$X_{1}$ は、裏なら 0、表なら 100 を、それぞれ確率 $\frac{1}{2}$ でとる。期待値は $E (X_{1}) = \frac{0 + 100}{2} = 50$
$X_{1}$ の 2 乗の平均は $\frac{0 + 10000}{2} = 5000$ なので、分散は $V (X_{1}) = 5000 - 5 0^{2} = 5000 - 2500 = 2500$
$X_{2}$ は 0 か 10 を、それぞれ確率 $\frac{1}{2}$ でとる。期待値は $E (X_{2}) = \frac{0 + 10}{2} = 5$
$X_{2}$ の 2 乗の平均は $\frac{0 + 100}{2} = 50$ なので、分散は $V (X_{2}) = 50 - 5^{2} = 50 - 25 = 25$
和の期待値は期待値の和なので、 $E (X) = 50 + 5 = 55$
2 枚の硬貨の表裏は互いに影響しないので、 $X_{1}$ と $X_{2}$ は独立。分散も足せて、 $V (X) = 2500 + 25 = 2525$

分布から直接

2 枚の表裏の出方は 4 通りで、どれも確率 $\frac{1}{4}$ 。合計 $X$ は、両方裏で 0、10 円だけ表で 10、100 円だけ表で 100、両方表で 110。
期待値は「値 × 確率」の和。 $E (X) = \frac{0 + 10 + 100 + 110}{4} = \frac{220}{4} = 55$
値を 2 乗したものの平均は、 $E (X^{2}) = \frac{0 + 100 + 10000 + 12100}{4} = \frac{22200}{4} = 5550$
「2 乗の平均」から「平均の 2 乗」を引く。 $V (X) = 5550 - 5 5^{2} = 5550 - 3025 = 2525$
どちらの方法でも、期待値は 55、分散は 2525 で一致する。

問 4　さいころを 1 回投げ、偶数の目なら $X = 1$ 、奇数の目なら $X = 0$ とする。また、3 の倍数の目なら $Y = 1$ 、そうでなければ $Y = 0$ とする。 $X$ と $Y$ は独立か。また、 $E (X Y)$ を求めよ。

独立である。 $E (X Y) = \frac{1}{6}$

方針　独立かどうかは、感覚ではなく定義で確かめる。 $X$ と $Y$ の値のすべての組について、「同時に起こる確率」が「それぞれの確率の積」に等しいかを見る。そのために、6 つの目を $X$ と $Y$ の値で分けて同時分布の表を作る。 $E (X Y)$ は、 $X Y$ がとる値を直接調べる。

$X = 1$ になるのは偶数の 2、4、6 の目、 $Y = 1$ になるのは 3 の倍数の 3、6 の目。
6 つの目を $X$ と $Y$ の値の組で分ける。1、5 の目は $X = 0$ 、 $Y = 0$ 。3 の目は $X = 0$ 、 $Y = 1$ 。2、4 の目は $X = 1$ 、 $Y = 0$ 。6 の目は $X = 1$ 、 $Y = 1$ 。
目の数を 6 で割って、同時分布の表にする（かっこの中はその目）。行の和が $X$ の確率分布、列の和が $Y$ の確率分布になる。

	$Y = 0$	$Y = 1$	計
$X = 0$	$\frac{2}{6}$ （1、5）	$\frac{1}{6}$ （3）	$\frac{1}{2}$
$X = 1$	$\frac{2}{6}$ （2、4）	$\frac{1}{6}$ （6）	$\frac{1}{2}$
計	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	1

$Y = 0$ の列の 2 つのますを確かめる。行の計と列の計の積は $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6}$ で、表の値と等しい。
$Y = 1$ の列の 2 つのますを確かめる。積は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ で、表の値と等しい。
4 つのます全部で $P (X = a, Y = b) = P (X = a) P (Y = b)$ が成り立つので、 $X$ と $Y$ は独立である。
$X Y$ は、 $X = 1$ かつ $Y = 1$ のときだけ 1 で、ほかは 0。 $X Y = 1$ になるのは 6 の目だけなので、 $E (X Y) = 1 \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
確かめ。独立なので $E (X Y) = E (X) E (Y)$ が成り立つはず。 $E (X) = \frac{1}{2}$ 、 $E (Y) = \frac{1}{3}$ で、 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ と一致する。

ここで間違えやすい　「同じ 1 回のさいころで決まるのだから独立ではない」と決めつけない。独立かどうかは確率の式で決まる。また、1 つのますだけ成り立っても独立とはいえない。全部のますを確かめる。

問 5　あるテストの得点 $X$ は、平均 60 点、標準偏差 12 点である。 $T = \frac{10 ( X - 60 )}{12} + 50$ とするとき、 $T$ の平均と標準偏差を求めよ。

平均 50、標準偏差 10

方針　 $T$ は $X$ の 1 次式なので、 $a X + b$ の形に整理して $a$ と $b$ を読み取り、期待値は $a E (X) + b$ 、標準偏差は $∣ a ∣ σ (X)$ で求める。 $X$ の分布の形は分からなくてよい。

分数を $X - 60$ に掛ける形に書き直す。 $T = \frac{10}{12} (X - 60) + 50$
かっこを外す。 $\frac{10}{12} \times 60 = 50$ なので、 $T = \frac{10}{12} X - 50 + 50$
つまり $a = \frac{10}{12}$ 、 $b = - 50 + 50$ の 1 次式である。
平均は、 $X$ の平均 60 を $a$ 倍して $b$ を足す。 $E (T) = \frac{10}{12} \times 60 - 50 + 50 = 50 - 50 + 50 = 50$
標準偏差は、 $X$ の標準偏差 12 に $a$ の絶対値を掛ける。 $b$ は効かない。 $σ (T) = \frac{10}{12} \times 12 = 10$

標準化した $\frac{X - 60}{12}$ （平均 0、標準偏差 1）を 10 倍して 50 を足したもので、いわゆる偏差値の形。