確率変数と確率分布｜高校数学B

学習指導要領数学B (2) 統計的な推測ア (イ)「確率変数と確率分布について理解すること。」。

0. どういうまとまりか

試行の結果によって値が決まる変数を確率変数といい、とる値とその確率の対応を確率分布といいます。
数学Aで学んだ期待値は、確率変数の平均（期待値）として言い直されます。そこに、値の散らばりを表す分散と標準偏差が加わります。

	式	何を表すか
平均（期待値） $E (X) = m$	$x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$	分布の中心
分散 $V (X)$	$E ((X - m)^{2}) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$	平均からの散らばり（単位は 2 乗）
標準偏差 $σ (X)$	$V (X)$	散らばり（ $X$ と同じ単位）

分かれ目は次の 3 つ。

確率分布の表を作ったら、確率の和が 1 になることを確かめる
分散は 「 $X^{2}$ の平均」から「平均の 2 乗」を引く。順番を逆にすると負になる
分散は単位が 2 乗になるので、元の単位で散らばりを言うときは標準偏差（分散の正の平方根）

1. 確率変数と確率分布

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(イ)

さいころを投げて出る目、硬貨を何枚か投げて表が出る枚数のように、試行の結果によって値が決まり、その値をとる確率が決まっている変数を考えます。

確率変数とは何か？

試行の結果によって値が定まり、それぞれの値をとる確率が定まっている変数

$X$ が値 $a$ をとる確率を $P (X = a)$ 、 $a$ 以上 $b$ 以下の値をとる確率を $P (a ≦ X ≦ b)$ と書く。

確率分布とは何か？また、表にするときに必ず確かめることは？

確率変数のとる値と、その値をとる確率との対応。確率の和が 1 になっていること

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{n}$	計
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$	1

$p_{1} ≧ 0$ 、…、 $p_{n} ≧ 0$ で、 $p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ 。確率変数 $X$ はこの分布に従うという。

硬貨を 3 枚投げて表が出る枚数を $X$ とする。 $X$ の確率分布は？

$P (X = 0) = \frac{1}{8}$ 、 $P (X = 1) = \frac{3}{8}$ 、 $P (X = 2) = \frac{3}{8}$ 、 $P (X = 3) = \frac{1}{8}$

表が $k$ 枚になる出方は $_{3} C_{k}$ 通りで、全部で 8 通り。和は $\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1$ 。

2. 平均（期待値）

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(イ)

数学Aの期待値と同じ計算です。確率分布の中心がどこにあるかを表します。

確率変数 $X$ の平均（期待値） $E (X)$ の定義は？

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} = k = 1 \sum n x_{k} p_{k}$

値 × その値をとる確率の和。 $m$ と書くことも多い。 $E$ は expectation の頭文字。

硬貨を 3 枚投げて表が出る枚数 $X$ の平均 $E (X)$ は？

$\frac{3}{2}$

$0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ 。

3. 分散と標準偏差

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(イ)

平均が同じでも、値が平均の近くに集まる分布と、遠くまで広がる分布があります。その違いを、平均からのずれ $X - m$ の 2 乗の平均で表したものが分散です。

確率変数 $X$ （平均 $m$ ）の分散 $V (X)$ の定義は？

$V (X) = E ((X - m)^{2}) = (x_{1} - m)^{2} p_{1} + (x_{2} - m)^{2} p_{2} + \dots + (x_{n} - m)^{2} p_{n}$

平均からのずれの 2 乗の平均。ずれをそのまま平均すると、正と負が打ち消し合って 0 になるので 2 乗する。 $V$ は variance の頭文字。

分散を計算するときによく使う公式は？

$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ （「2 乗の平均」−「平均の 2 乗」）

定義の $(X - m)^{2}$ を展開すると $E (X^{2}) - 2 m E (X) + m^{2} = E (X^{2}) - m^{2}$ になる。平均が分数のとき、定義より計算が楽になる。

標準偏差 $σ (X)$ の定義は？また、分散でなく標準偏差を使うのはどんなときか？

$σ (X) = V (X)$ 。散らばりを $X$ と同じ単位で表したいとき

分散は単位が 2 乗になる（ $X$ が cm なら分散は cm²）。正の平方根をとると元の単位に戻る。

分散や標準偏差が大きい確率分布は、どんな形をしているか？

値が平均から遠くまで散らばっている分布

分散・標準偏差が小さいほど、値が平均の近くに集まっている。どちらも 0 以上で、0 になるのは $X$ が 1 つの値しかとらないときだけ。

さいころを 1 回投げて出る目 $X$ の分散と標準偏差は？

$V (X) = \frac{35}{12}$ 、 $σ (X) = \frac{105}{6}$

$E (X) = \frac{7}{2}$ 、 $E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ 。 $V (X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ 。

$V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で計算した結果が負になった。何が起きているか？

計算の誤り（分散は必ず 0 以上）

多いのは、 $E (X^{2})$ と ${E (X)}^{2}$ を取り違えて引き算の順を逆にしたもの、確率の和が 1 になっていない表から計算したもの。

練習問題

問 1　1 から 5 までの数字を 1 つずつ書いた 5 枚のカードから、2 枚を同時に取り出す。取り出したカードの数字の大きい方を $X$ とする。 $X$ の確率分布を求め、平均・分散・標準偏差を求めよ。

$P (X = 2) = \frac{1}{10}$ 、 $P (X = 3) = \frac{2}{10}$ 、 $P (X = 4) = \frac{3}{10}$ 、 $P (X = 5) = \frac{4}{10}$ 。 $E (X) = 4$ 、 $V (X) = 1$ 、 $σ (X) = 1$

方針　確率分布は「 $X$ がとる値」と「その値になる取り出し方の数」を数えて作る。大きい方が $k$ になるのは、 $k$ のカードと、 $k$ より小さいカード 1 枚を取り出すときである。分布ができたら、平均は定義どおりに、分散は「2 乗の平均」−「平均の 2 乗」で求める。

取り出し方の総数を数える。5 枚から 2 枚を選ぶので $_{5} C_{2} = 10$ 通りで、どれも同様に確からしい。
$X$ のとる値を調べる。2 枚のうちの大きい方なので 1 にはならず、 $X$ は 2、3、4、5 のどれかになる。
大きい方が $k$ になるのは、小さい方を 1 から $k - 1$ までの $k - 1$ 枚から選ぶときなので、 $k - 1$ 通り。 $X$ が 2、3、4、5 になる取り出し方は、順に 1、2、3、4 通り。
総数 10 で割って、確率は順に $\frac{1}{10}$ 、 $\frac{2}{10}$ 、 $\frac{3}{10}$ 、 $\frac{4}{10}$ 。和は $\frac{1 + 2 + 3 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$ で、表が正しいことが確かめられる。
平均は「値 × 確率」の和。 $E (X) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + 5 \times 4}{10} = \frac{2 + 6 + 12 + 20}{10} = \frac{40}{10} = 4$
分散のために、値を 2 乗したものの平均を求める。 $E (X^{2}) = \frac{4 \times 1 + 9 \times 2 + 16 \times 3 + 25 \times 4}{10} = \frac{4 + 18 + 48 + 100}{10} = \frac{170}{10} = 17$
「2 乗の平均」から「平均の 2 乗」を引く。 $V (X) = 17 - 4^{2} = 17 - 16 = 1$
標準偏差は分散の正の平方根なので、 $σ (X) = 1 = 1$

ここで間違えやすい　確率を約分して $\frac{1}{5}$ 、 $\frac{2}{5}$ と書いてもよいが、分母を 10 にそろえたままのほうが、和の確かめも平均の計算も楽になる。

問 2　さいころを 1 回投げ、出た目を 3 で割った余りを $X$ とする。 $X$ の平均と分散を求めよ。

$E (X) = 1$ 、 $V (X) = \frac{2}{3}$

方針　 $X$ は「出た目」ではなく「3 で割った余り」なので、まず 6 つの目を余りごとに分けて、 $X$ の確率分布を作る。分布ができれば、平均は定義で、分散は「2 乗の平均」−「平均の 2 乗」で計算できる。

目を余りで分ける。余りが 0 になるのは 3、6 の目、1 になるのは 1、4 の目、2 になるのは 2、5 の目。
どの余りにも 6 つの目のうち 2 つが対応するので、 $X$ が 0、1、2 をとる確率はどれも $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
平均は「値 × 確率」の和。 $E (X) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} = \frac{0 + 1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$
値を 2 乗したものの平均を求める。 $E (X^{2}) = 0^{2} \times \frac{1}{3} + 1^{2} \times \frac{1}{3} + 2^{2} \times \frac{1}{3} = \frac{0 + 1 + 4}{3} = \frac{5}{3}$
「2 乗の平均」から「平均の 2 乗」を引く。 $V (X) = \frac{5}{3} - 1^{2} = \frac{5}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$

問 3　確率変数 $X$ は 1、2、3 の値をとり、 $P (X = 1) = a$ 、 $P (X = 2) = 2 a$ 、 $P (X = 3) = 3 a$ である。 $a$ の値と、 $X$ の平均・分散を求めよ。

$a = \frac{1}{6}$ 、 $E (X) = \frac{7}{3}$ 、 $V (X) = \frac{5}{9}$

方針　分からない $a$ は「確率の和は 1」から決まる。 $a$ が決まれば確率分布の表が完成するので、あとは平均、2 乗の平均、分散の順に計算する。

確率を全部足すと 1 になるので、 $a + 2 a + 3 a = 1$
左辺をまとめると $6 a = 1$ なので、 $a = \frac{1}{6}$
確率は、 $X$ が 1、2、3 のとき順に $\frac{1}{6}$ 、 $\frac{2}{6}$ 、 $\frac{3}{6}$
平均は「値 × 確率」の和。 $E (X) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3}{6} = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
値を 2 乗したものの平均を求める。 $E (X^{2}) = \frac{1 \times 1 + 4 \times 2 + 9 \times 3}{6} = \frac{1 + 8 + 27}{6} = \frac{36}{6} = 6$
平均の 2 乗は $(\frac{7}{3})^{2} = \frac{49}{9}$
「2 乗の平均」から「平均の 2 乗」を引く。 $V (X) = 6 - \frac{49}{9} = \frac{54}{9} - \frac{49}{9} = \frac{5}{9}$

ここで間違えやすい　引くのは平均 $\frac{7}{3}$ そのものではなく、平均の 2 乗 $\frac{49}{9}$ 。平均が分数のときは 2 乗を忘れやすい。

問 4　確率変数 $X$ は $- 1$ 、 $0$ 、 $1$ の値をそれぞれ確率 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ でとり、確率変数 $Y$ は $- 2$ 、 $0$ 、 $2$ の値を同じ確率 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ でとる。 $X$ と $Y$ の平均と分散を求め、分布の違いを述べよ。

$E (X) = E (Y) = 0$ 、 $V (X) = \frac{1}{2}$ 、 $V (Y) = 2$ 。平均は同じだが、 $Y$ の方が平均から遠くまで散らばっている

方針　平均は分布の中心、分散は平均からの散らばりを表す。 $X$ と $Y$ をそれぞれ、平均、2 乗の平均、分散の順に計算して比べる。どちらの分布も 0 をはさんで左右対称なので、平均は 0 になると見当がつく。

$X$ の平均は「値 × 確率」の和。 $E (X) = (- 1) \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = 0$
$X$ の値を 2 乗したものの平均を求める。 $E (X^{2}) = (- 1)^{2} \times \frac{1}{4} + 0^{2} \times \frac{1}{2} + 1^{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
「2 乗の平均」から「平均の 2 乗」を引く。 $V (X) = \frac{1}{2} - 0^{2} = \frac{1}{2}$
$Y$ も同じように計算する。 $E (Y) = (- 2) \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$
$Y$ の値を 2 乗したものの平均は、 $E (Y^{2}) = (- 2)^{2} \times \frac{1}{4} + 0^{2} \times \frac{1}{2} + 2^{2} \times \frac{1}{4} = 1 + 0 + 1 = 2$
分散は、 $V (Y) = 2 - 0^{2} = 2$
比べる。平均はどちらも 0 で同じ。分散は $X$ が $\frac{1}{2}$ 、 $Y$ が 2 で、 $Y$ の方が大きい。つまり $Y$ の方が平均から遠くまで散らばっている。

平均だけでは 2 つの分布は区別できない。分散（標準偏差）が散らばりの違いを表す。

ここで間違えやすい　負の値も 2 乗すると正になる。 $(- 1)^{2}$ や $(- 2)^{2}$ を負のまま足すと、正と負が打ち消し合って分散が 0 になってしまう。

問 5　赤玉 3 個と白玉 2 個が入った袋から、2 個を同時に取り出す。取り出した赤玉の個数を $X$ とするとき、 $X$ の標準偏差を求めよ。

$σ (X) = \frac{3}{5}$

方針　標準偏差は分散の正の平方根なので、確率分布、平均、分散、標準偏差の順に求める。 $X$ は取り出した赤玉の個数で、0、1、2 のどれか。それぞれになる取り出し方を、組合せで数える。

取り出し方の総数は、5 個から 2 個を選ぶので $_{5} C_{2} = 10$ 通り。
赤 0 個は、白 2 個から 2 個を選ぶので $_{2} C_{2} = 1$ 通り。赤 1 個は、赤 3 個から 1 個、白 2 個から 1 個を選ぶので $3 \times 2 = 6$ 通り。赤 2 個は、赤 3 個から 2 個を選ぶので $_{3} C_{2} = 3$ 通り。
総数 10 で割って、 $P (X = 0) = \frac{1}{10}$ 、 $P (X = 1) = \frac{6}{10}$ 、 $P (X = 2) = \frac{3}{10}$ 。和は $\frac{1 + 6 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1$ で確かめられる。
平均は「値 × 確率」の和。 $E (X) = \frac{0 \times 1 + 1 \times 6 + 2 \times 3}{10} = \frac{0 + 6 + 6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
値を 2 乗したものの平均を求める。 $E (X^{2}) = \frac{0 \times 1 + 1 \times 6 + 4 \times 3}{10} = \frac{0 + 6 + 12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
平均の 2 乗は $(\frac{6}{5})^{2} = \frac{36}{25}$ なので、 $V (X) = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}$
標準偏差は分散の正の平方根。 $σ (X) = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}$

ここで間違えやすい　求めるのは標準偏差。分散 $\frac{9}{25}$ で止めずに、平方根をとる。