二項分布｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (2) 統計的な推測ア (ウ)「二項分布と正規分布の性質や特徴について理解すること。」のうち、二項分布。

0. どういうまとまりか

数学Aの反復試行の確率を、確率変数の分布として見直したものが二項分布です。
1 回の試行で事象 $A$ が起こる確率が $p$ のとき、この試行を $n$ 回くり返して $A$ が起こる回数 $X$ の分布を $B (n, p)$ と書きます。

	式（ $q = 1 - p$ ）
確率	$P (X = k) =_{n} C_{k} p^{k} q^{n - k}$ （ $k = 0$ 、1、…、 $n$ ）
期待値	$E (X) = n p$
分散	$V (X) = n pq$
標準偏差	$σ (X) = n pq$

分かれ目は次の 3 つ。

二項分布になるのは 同じ確率 $p$ の独立な試行を $n$ 回くり返して、起こる回数を数えるとき。戻さない取り出しはならない
期待値・分散は 1 回ごとに 1 か 0 をとる確率変数の和として求める（全部の $k$ を足さない）
分散は $n p$ ではなく $n pq$ 。 $q$ を掛け忘れない

1. 二項分布とは

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(ウ)

さいころを 10 回投げて 1 の目が出る回数、硬貨を 100 回投げて表が出る回数のように、同じ試行のくり返しで起こる回数を数える確率変数を考えます。

二項分布 $B (n, p)$ とは、どんな確率変数の分布か？

1 回の試行で事象 $A$ が起こる確率が $p$ の独立な試行を $n$ 回くり返したときの、 $A$ が起こる回数 $X$ の分布

$B$ は binomial（二項）の頭文字。 $X$ は $B (n, p)$ に従う、という。

$X$ が二項分布 $B (n, p)$ に従うとき、 $P (X = k)$ は？

$P (X = k) =_{n} C_{k} p^{k} q^{n - k}$ （ $q = 1 - p$ 、 $k = 0$ 、1、…、 $n$ ）

数学Aの反復試行の確率と同じ式。 $n$ 回のうちどの $k$ 回で $A$ が起こるかの選び方が $_{n} C_{k}$ 通り。

二項分布 $B (n, p)$ の確率の和が 1 になることは、何から分かるか？

二項定理

$k = 0 \sum n_{n} C_{k} p^{k} q^{n - k} = (p + q)^{n} = 1^{n} = 1$ 。各項が $(p + q)^{n}$ を展開した項になっていることが「二項分布」の名前の由来。

赤玉 3 個と白玉 2 個の袋から 1 個ずつ 4 回取り出すとき、赤玉の回数が二項分布に従うのはどちらか？取り出した玉を戻す場合と、戻さない場合。

戻す場合（ $B (4, \frac{3}{5})$ に従う）

戻さないと、2 回目以降に赤が出る確率が前の結果によって変わり、「同じ確率の独立な試行」にならない。

2. 二項分布の期待値と分散

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(ウ)

$E (X) = \sum k_{n} C_{k} p^{k} q^{n - k}$ を直接計算するのは大変です。そこで、1 回ごとの結果を表す確率変数の和に分けます。

$X$ が $B (n, p)$ に従うとき、 $E (X)$ ・ $V (X)$ ・ $σ (X)$ は？

$E (X) = n p$ 、 $V (X) = n pq$ 、 $σ (X) = n pq$ （ $q = 1 - p$ ）

分散は $n p$ に、さらに起こらない確率 $q$ を掛ける。

$B (n, p)$ の期待値と分散を導くとき、 $X$ をどんな確率変数の和に分けるか？

$k$ 回目に $A$ が起これば 1、起こらなければ 0 をとる確率変数 $X_{k}$ の和 $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$

$X_{k}$ を全部足すと、ちょうど $A$ が起こった回数になる。

$k$ 回目に $A$ が起これば 1、起こらなければ 0 をとる確率変数 $X_{k}$ （ $A$ の確率 $p$ ）の期待値と分散は？

$E (X_{k}) = p$ 、 $V (X_{k}) = pq$

$E (X_{k}) = 1 \times p + 0 \times q = p$ 。 $X_{k}^{2} = X_{k}$ なので $E (X_{k}^{2}) = p$ 、 $V (X_{k}) = p - p^{2} = p (1 - p) = pq$ 。

$X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ から $E (X) = n p$ と $V (X) = n pq$ を出すとき、それぞれ何を使うか？

期待値は和の期待値の性質（独立でなくてよい）、分散は $X_{1}$ 、…、 $X_{n}$ が独立であること

$E (X) = p + p + \dots + p = n p$ 。各回は独立な試行なので $V (X) = pq + pq + \dots + pq = n pq$ 。

さいころを 60 回投げて 1 の目が出る回数 $X$ の期待値と標準偏差は？

$E (X) = 10$ 、 $σ (X) = \frac{5 3}{3}$

$X$ は $B (60, \frac{1}{6})$ に従う。 $E (X) = 60 \times \frac{1}{6} = 10$ 。 $V (X) = 60 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{3}$ 、 $σ (X) = \frac{25}{3} = \frac{5 3}{3}$ 。

硬貨を 100 回投げて表が出る回数 $X$ の期待値・分散・標準偏差は？

$E (X) = 50$ 、 $V (X) = 25$ 、 $σ (X) = 5$

$B (100, \frac{1}{2})$ 。 $100 \times \frac{1}{2} = 50$ 、 $100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$ 。

練習問題

問 1　硬貨を 5 回投げて表が出る回数を $X$ とする。 $P (X = 2)$ と、 $X$ の期待値・分散を求めよ。

$P (X = 2) = \frac{5}{16}$ 、 $E (X) = \frac{5}{2}$ 、 $V (X) = \frac{5}{4}$

方針　表が出る確率 $\frac{1}{2}$ の独立な試行を 5 回くり返して、表の回数を数えているので、 $X$ は二項分布に従う。確率は反復試行の式で、期待値と分散は $n p$ 、 $n pq$ で求める（確率分布の表を全部作る必要はない）。

回数は $n = 5$ 、表が出る確率は $p = \frac{1}{2}$ 、出ない確率は $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 。 $X$ は $B (5, \frac{1}{2})$ に従う。
5 回のうち表が 2 回、裏が 3 回になる確率なので、 $P (X = 2) =_{5} C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{3}$
5 回のうちどの 2 回で表が出るかの選び方は、 $_{5} C_{2} = 10$ 通り。
$\frac{1}{2}$ を合わせて 5 回掛けるので、 $(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$
掛け合わせて、 $P (X = 2) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$
期待値は $n p$ なので、 $E (X) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
分散は $n pq$ なので、 $V (X) = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

問 2　さいころを 4 回投げて、1 または 2 の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ の確率分布を求め、確率分布から計算した期待値が $n p$ と一致することを確かめよ。

$P (X = 0) = \frac{16}{81}$ 、 $P (X = 1) = \frac{32}{81}$ 、 $P (X = 2) = \frac{24}{81}$ 、 $P (X = 3) = \frac{8}{81}$ 、 $P (X = 4) = \frac{1}{81}$ 。 $E (X) = \frac{4}{3}$

方針　1 または 2 の目が出る確率は毎回 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ で、4 回の試行は独立なので、 $X$ は二項分布 $B (4, \frac{1}{3})$ に従う。回数 $k$ が 0 から 4 までの確率を反復試行の式で 1 つずつ求めて分布を作り、その分布から定義どおりに期待値を計算して、 $n p$ と比べる。

1 回の試行で 1 または 2 の目が出る確率は $p = \frac{1}{3}$ 、出ない確率は $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
回数が $k$ になる確率は、 $P (X = k) =_{4} C_{k} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{4 - k}$
分母は、3 を合わせて 4 回掛けるので、どの $k$ でも $3^{4} = 81$ 。分子は $_{4} C_{k} \times 2^{4 - k}$ になる。
分子を $k$ ごとに計算する。 $k$ が 0 のとき $1 \times 2^{4} = 16$ 、1 のとき $4 \times 2^{3} = 32$ 、2 のとき $6 \times 2^{2} = 24$ 、3 のとき $4 \times 2 = 8$ 、4 のとき $1 \times 1 = 1$
確率は順に $\frac{16}{81}$ 、 $\frac{32}{81}$ 、 $\frac{24}{81}$ 、 $\frac{8}{81}$ 、 $\frac{1}{81}$ 。和は $\frac{16 + 32 + 24 + 8 + 1}{81} = \frac{81}{81} = 1$ で確かめられる。
この分布から期待値を計算する。 $E (X) = \frac{0 \times 16 + 1 \times 32 + 2 \times 24 + 3 \times 8 + 4 \times 1}{81} = \frac{0 + 32 + 48 + 24 + 4}{81} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}$
公式では $n p = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ で、一致する。

ここで間違えやすい　分子で 2 の肩にのるのは $k$ ではなく、起こらなかった回数 $4 - k$ 。 $k$ が大きいほど、2 を掛ける回数は減る。

問 3　確率変数 $X$ は二項分布 $B (n, p)$ に従い、期待値が 12、分散が 8 である。 $n$ と $p$ を求めよ。

$n = 36$ 、 $p = \frac{1}{3}$

方針　二項分布の期待値 $n p$ と分散 $n pq$ （ $q = 1 - p$ ）が分かっているので、これを $n$ と $p$ の連立方程式とみる。分散の式には期待値 $n p$ がそのまま入っているので、代入すると $q$ だけの式になる。

期待値と分散を式にする。 $n p = 12$ …①、 $n pq = 8$ …②
②の $n p$ に ① を代入すると、 $12 q = 8$
両辺を 12 で割って、 $q = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$q = 1 - p$ なので、 $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
① に代入すると $n \times \frac{1}{3} = 12$ なので、両辺を 3 倍して $n = 12 \times 3 = 36$
確かめ。期待値は $36 \times \frac{1}{3} = 12$ 、分散は $36 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 8$ で、どちらも合う。

ここで間違えやすい　手順 3 で出てくる $\frac{2}{3}$ は $p$ ではなく $q$ 。1 から引くのを忘れない。

問 4　さいころを 180 回投げるとき、6 の目が出る回数 $X$ の期待値と標準偏差を求めよ。

$E (X) = 30$ 、 $σ (X) = 5$

方針　6 の目が出る確率 $\frac{1}{6}$ の独立な試行を 180 回くり返して、起こる回数を数えているので、 $X$ は二項分布に従う。181 通りの確率を 1 つずつ足すのではなく、期待値は $n p$ 、標準偏差は $n pq$ で求める。

回数は $n = 180$ 、6 の目が出る確率は $p = \frac{1}{6}$ 、出ない確率は $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ 。 $X$ は $B (180, \frac{1}{6})$ に従う。
期待値は $n p$ なので、 $E (X) = 180 \times \frac{1}{6} = 30$
分散は $n pq$ なので、 $V (X) = 180 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 30 \times \frac{5}{6} = 25$
標準偏差は分散の正の平方根なので、 $σ (X) = 25 = 5$

ここで間違えやすい　分散は $n p$ の 30 ではなく、さらに $q$ を掛けた 25。また、25 は分散なので、標準偏差にするには平方根をとる。

問 5　赤玉 3 個と白玉 2 個が入った袋から 1 個取り出して色を見てから戻す。これを 10 回くり返すとき、赤玉を取り出す回数 $X$ の期待値と分散を求めよ。

$E (X) = 6$ 、 $V (X) = \frac{12}{5}$

方針　まず、二項分布になるかを確かめる。取り出した玉を戻すので、袋の中身は毎回同じで、赤玉を取り出す確率は変わらず、各回は独立である。だから $X$ は二項分布に従い、期待値は $n p$ 、分散は $n pq$ で求められる。

袋には 5 個の玉があり、そのうち赤玉は 3 個なので、1 回で赤玉を取り出す確率は $p = \frac{3}{5}$
赤玉を取り出さない確率は、 $q = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
これを 10 回くり返すので、 $X$ は $B (10, \frac{3}{5})$ に従う。
期待値は $n p$ なので、 $E (X) = 10 \times \frac{3}{5} = 6$
分散は $n pq$ なので、 $V (X) = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 6 \times \frac{2}{5} = \frac{12}{5}$

ここで間違えやすい　玉を戻さない取り出しでは、前の結果によって次に赤玉が出る確率が変わるので、二項分布にならない。問題文の「戻す」を確かめてから公式を使う。