区間推定｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (2) 統計的な推測ア (エ)「正規分布を用いた区間推定及び仮説検定の方法を理解すること」。

0. どういうまとまりか

分からない母平均 $m$ を、標本平均 $X$ を使って「この範囲にあるだろう」と幅をもたせて推定します。これが区間推定です。
$n$ が大きいとき $X$ は近似的に $N (m, \frac{σ ^{2}}{n})$ に従うので、 $X$ が $m$ から標準偏差の何倍以内にあるかが確率で言えます。それを $m$ の側に読みかえて区間を作ります。

推定するもの	信頼度 95% の信頼区間	信頼度 99%
母平均 $m$	$X - 1.96 \frac{σ}{n} ≦ m ≦ X + 1.96 \frac{σ}{n}$	1.96 を 2.58 にかえる
母比率 $p$	$R - 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n} ≦ p ≦ R + 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n}$	1.96 を 2.58 にかえる

分かれ目は次の 3 つ。

1.96 は $P (∣ Z ∣ ≦ 1.96) ≒ 0.95$ から、2.58 は $P (∣ Z ∣ ≦ 2.58) ≒ 0.99$ から来る
「95% の確率で母平均を含む」の意味は、区間を何度も作ると、そのうち約 95% が母平均を含むということ。動くのは区間のほうで、母平均は決まった値
区間の幅は $\frac{1}{n}$ に比例する。幅を半分にするには $n$ を 4 倍にする。信頼度を上げると幅は広がる

1. 母平均の信頼区間

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

$Z = \frac{X - m}{\frac{σ}{n}}$ は近似的に標準正規分布 $N (0, 1)$ に従います。正規分布表から $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ なので、
$P (∣ Z ∣ ≦ 1.96) ≒ 0.95$ 。不等式 $∣ Z ∣ ≦ 1.96$ を $m$ について解くと、信頼区間の式になります。

区間推定とは何か？また、そのとき求める区間を何というか？

母平均などの分からない値を、標本から求めた「この範囲に含まれるだろう」という区間で推定すること。その区間を信頼区間という

区間がその値を含むと期待できる度合い（95% など）を信頼度という。

母標準偏差が $σ$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本をとり、標本平均が $X$ だった。 $n$ が大きいとき、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間は？

$X - 1.96 \frac{σ}{n} ≦ m ≦ X + 1.96 \frac{σ}{n}$

区間の端の記号では $[X - 1.96 \frac{σ}{n}, X + 1.96 \frac{σ}{n}]$ と書く。

信頼度 95% の信頼区間に出てくる 1.96 は、どこから来るか？

標準正規分布に従う $Z$ で $P (∣ Z ∣ ≦ 1.96) ≒ 0.95$ となる値

正規分布表で $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ 。両側を合わせて $0.4750 \times 2 = 0.95$ 。

母平均の信頼度 99% の信頼区間では、1.96 のかわりにどの値を使うか？

2.58

$P (0 ≦ Z ≦ 2.58) ≒ 0.4951$ なので $P (∣ Z ∣ ≦ 2.58) ≒ 0.99$ 。信頼区間は $X - 2.58 \frac{σ}{n} ≦ m ≦ X + 2.58 \frac{σ}{n}$ 。

母標準偏差 10 の母集団から大きさ 100 の無作為標本をとったら、標本平均が 52.3 だった。母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間は？

$50.34 ≦ m ≦ 54.26$

$1.96 \times \frac{10}{100} = 1.96$ 。 $52.3 - 1.96 = 50.34$ 、 $52.3 + 1.96 = 54.26$ 。

2. 「信頼度 95%」の意味

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

母平均 $m$ は分からないけれども決まった値です。標本を取り直すたびに変わるのは $X$ と、それから作る区間のほうです。

「母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間」の正しい意味は？

標本をとって信頼区間を作ることを何度もくり返すと、作った区間のうち約 95% が母平均 $m$ を含む

標本ごとに区間が動く。 $m$ が動いて区間に入ったり出たりするのではない。

ある標本から $50.34 ≦ m ≦ 54.26$ という信頼度 95% の信頼区間が得られた。「 $m$ がこの区間に入る確率は 95%」と言ってよいか？

言えない。この区間は数値が決まっているので、 $m$ を含むか含まないかのどちらかに決まっている

95% は、区間を作る方法が母平均を当てる割合を表している。

3. 母標準偏差が分からないとき

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

実際の調査では、母標準偏差 $σ$ も分からないことがほとんどです。

母標準偏差 $σ$ が分からないとき、母平均の信頼区間はどう求めるか？

標本の大きさ $n$ が大きければ、 $σ$ のかわりに標本の標準偏差 $S$ を使ってよい

信頼度 95% なら $X - 1.96 \frac{S}{n} ≦ m ≦ X + 1.96 \frac{S}{n}$ 。

4. 母比率の信頼区間

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

標本比率 $R$ は、 $n$ が大きいとき近似的に $N (p, \frac{p ( 1 - p )}{n})$ に従います。母平均と同じ考え方で区間を作り、分からない $p$ は標準偏差の中だけ $R$ でおきかえます。

大きさ $n$ の無作為標本の標本比率が $R$ のとき、 $n$ が大きければ、母比率 $p$ に対する信頼度 95% の信頼区間は？

$R - 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n} ≦ p ≦ R + 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n}$

標準偏差 $\frac{p ( 1 - p )}{n}$ の $p$ が分からないので、 $R$ で代用する。

400 人を無作為に選んで調べたら、80 人がある意見に賛成だった。賛成の母比率 $p$ に対する信頼度 95% の信頼区間は？

$0.1608 ≦ p ≦ 0.2392$

標本比率は $\frac{80}{400} = 0.2$ 。 $\frac{0.2 \times 0.8}{400} = 0.02$ 、 $1.96 \times 0.02 = 0.0392$ 。 $0.2 - 0.0392 = 0.1608$ 、 $0.2 + 0.0392 = 0.2392$ 。

5. 信頼区間の幅

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

信頼度 95% の信頼区間の幅は $2 \times 1.96 \frac{σ}{n}$ です。幅が狭いほど推定が精密になります。

母平均の信頼区間の幅を半分にするには、標本の大きさ $n$ を何倍にすればよいか？

4 倍

幅は $\frac{1}{n}$ に比例する。 $n$ を 4 倍にすると $n$ が 2 倍になり、幅は半分になる。

同じ標本から、信頼度 95% と 99% の信頼区間を作る。幅が広いのはどちらか？

99% の信頼区間（1.96 が 2.58 になるので、幅は約 1.3 倍）

母平均を含む割合を上げるには、区間を広く取るしかない。信頼度と精密さは引きかえになる。

母標準偏差 $σ$ の母集団で、母平均の信頼度 95% の信頼区間の幅を $2 d$ 以下にしたい。標本の大きさ $n$ の条件は？

$1.96 \frac{σ}{n} ≦ d$ 、つまり $n ≧ (\frac{1.96 σ}{d})^{2}$

$σ$ が大きいほど、また $d$ を小さく（精密に）したいほど、大きな標本が要る。

練習問題

問 1　母標準偏差 20 の母集団から大きさ 400 の無作為標本をとったところ、標本平均は 150 であった。母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を求めよ。

$148.04 ≦ m ≦ 151.96$

方針　標本の大きさ $n = 400$ は大きいので、標本平均 $X$ は近似的に正規分布 $N (m, \frac{σ ^{2}}{n})$ に従うとみる。 $X$ を標準化した $Z$ が、両側で $- 1.96$ 以上 $1.96$ 以下に入る確率が約 95% なので、信頼区間は「標本平均から $1.96 \times \frac{σ}{n}$ を引いた値」から「足した値」までになる。まず $\frac{σ}{n}$ を計算する。

標本平均の標準偏差は $\frac{σ}{n}$ なので、 $\frac{20}{400} = \frac{20}{20} = 1$
これに 1.96 を掛けて、区間の半分の幅を出す。 $1.96 \times 1 = 1.96$
下の端は、標本平均から引いて $150 - 1.96 = 148.04$
上の端は、標本平均に足して $150 + 1.96 = 151.96$
よって、信頼度 95% の信頼区間は $148.04 ≦ m ≦ 151.96$

ここで間違えやすい　1.96 に掛けるのは母標準偏差の 20 ではなく、標本平均の標準偏差 $\frac{20}{400}$ 。 $n$ で割るのを忘れると、区間が 20 倍に広がってしまう。

問 2　母標準偏差 10 の母集団から大きさ 100 の無作為標本をとったところ、標本平均は 52.3 であった。母平均 $m$ に対する信頼度 99% の信頼区間を求めよ。ただし、 $P (∣ Z ∣ ≦ 2.58) ≒ 0.99$ とする。

$49.72 ≦ m ≦ 54.88$

方針　標本の大きさ $n = 100$ は大きいので、標本平均 $X$ は近似的に正規分布 $N (m, \frac{σ ^{2}}{n})$ に従うとみる。信頼度が 99% なので、 $X$ を標準化した $Z$ が両側で入る範囲として、1.96 ではなく 2.58 を使う。あとは 95% のときと同じ手順で、標本平均から引いた値と足した値を求める。

標本平均の標準偏差は $\frac{σ}{n}$ なので、 $\frac{10}{100} = \frac{10}{10} = 1$
信頼度 99% なので 2.58 を掛けて、区間の半分の幅を出す。 $2.58 \times 1 = 2.58$
下の端は、標本平均から引いて $52.3 - 2.58 = 49.72$
上の端は、標本平均に足して $52.3 + 2.58 = 54.88$
よって、信頼度 99% の信頼区間は $49.72 ≦ m ≦ 54.88$

ここで間違えやすい　信頼度が変わると、掛ける値が変わる。95% なら 1.96、99% なら 2.58。問題文の信頼度を先に確かめる。

信頼度 95% の区間（ $50.34 ≦ m ≦ 54.26$ ）より広い。

問 3　ある高校の生徒 225 人を無作為に選んで 1 日の勉強時間を調べたところ、平均は 60 分、標準偏差は 15 分であった。この高校の生徒全体の 1 日の勉強時間の平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を求めよ。

$58.04 ≦ m ≦ 61.96$ （単位は分）

方針　推定するのは生徒全体の平均（母平均） $m$ 。標本の大きさ $n = 225$ は大きいので、標本平均 $X$ は近似的に正規分布に従うとみて、両側で約 95% になる 1.96 を使う。母標準偏差は与えられていないが、 $n$ が大きいので、標本の標準偏差 15 で代用してよい。

母標準偏差 $σ$ のかわりに、標本の標準偏差 15 を使う。
標本平均の標準偏差は、 $\frac{15}{225} = \frac{15}{15} = 1$
これに 1.96 を掛けて、区間の半分の幅を出す。 $1.96 \times 1 = 1.96$
下の端は、標本平均から引いて $60 - 1.96 = 58.04$
上の端は、標本平均に足して $60 + 1.96 = 61.96$
よって、信頼度 95% の信頼区間は $58.04 ≦ m ≦ 61.96$ （単位は分）

ここで間違えやすい　標準偏差の 15 分は、生徒 1 人ごとの勉強時間のばらつき。225 人の平均のばらつきは、それを $225$ で割った 1 分になる。15 にそのまま 1.96 を掛けない。

問 4　ある市で 900 人を無作為に選んで調べたところ、360 人がある施設を利用したことがあった。この市全体で施設を利用したことがある人の割合 $p$ に対する信頼度 95% の信頼区間を、小数第 3 位まで求めよ。

$0.368 ≦ p ≦ 0.432$

方針　推定するのは母比率 $p$ 。標本の大きさ $n = 900$ は大きいので、標本比率 $R$ は近似的に正規分布 $N (p, \frac{p ( 1 - p )}{n})$ に従うとみて、両側で約 95% になる 1.96 を使う。標準偏差の中の $p$ は分からないので、標本比率 $R$ で代用する。

標本比率を求める。 $R = \frac{360}{900} = 0.4$
標準偏差の根号の中は、 $p$ を $R$ でおきかえた $\frac{R ( 1 - R )}{n}$ 。分子は $0.4 \times 0.6 = 0.24$
分母の 900 は $3 0^{2}$ なので、根号の外に出すと 30 になる。標準偏差は $\frac{0.24}{30}$
$0.24 ≒ 0.4899$ なので、標準偏差は $\frac{0.4899}{30} ≒ 0.01633$
これに 1.96 を掛けて、区間の半分の幅を出す。 $1.96 \times 0.01633 ≒ 0.032$
下の端は、標本比率から引いて $0.4 - 0.032 = 0.368$
上の端は、標本比率に足して $0.4 + 0.032 = 0.432$
よって、信頼度 95% の信頼区間は $0.368 ≦ p ≦ 0.432$

ここで間違えやすい　途中の値を早く丸めすぎない。標準偏差を 0.02 と丸めてから 1.96 を掛けると、半分の幅が 0.039 になり、答えがずれる。小数第 3 位まで求めるので、途中は 1〜2 けた多くとっておく。

問 5　母標準偏差 10 の母集団で、母平均に対する信頼度 95% の信頼区間の幅を 2 以下にしたい。標本の大きさ $n$ を少なくともいくつにすればよいか。

385

方針　信頼度 95% の信頼区間は、標本平均から $1.96 \times \frac{σ}{n}$ を引いた値から、足した値まで。だから幅は、両側を合わせてその 2 倍になる。この幅が 2 以下になるという条件を不等式にして、 $n$ について解く。

区間の半分の幅は $1.96 \times \frac{10}{n}$ 。 $1.96 \times 10 = 19.6$ なので、 $\frac{19.6}{n}$ と書ける。
幅はその 2 倍で、これが 2 以下という条件は、 $2 \times \frac{19.6}{n} ≦ 2$
両辺を 2 で割ると、 $\frac{19.6}{n} ≦ 1$
$n$ は正なので、両辺に掛けても不等号の向きは変わらない。 $19.6 ≦ n$
両辺とも正なので、2 乗しても不等号の向きは変わらない。 $19. 6^{2} = 384.16$ なので、 $n ≧ 384.16$
$n$ は整数なので、384.16 以上で最も小さい整数は 385。少なくとも 385 にすればよい。

ここで間違えやすい　四捨五入して 384 としない。384 は 384.16 より小さく、条件を満たさない。「少なくとも」を問う問題では切り上げる。また、幅は区間の端から端までなので、半分の幅を 2 以下とするのではない。

【発展】標本が小さく、母標準偏差も分からないとき

$n$ が小さいと、標本の標準偏差 $S$ を $σ$ のかわりに使った $\frac{X - m}{\frac{S}{n}}$ は標準正規分布からずれる（教科書の範囲外）。
母集団分布が正規分布なら、この量（ $S$ の分母を $n - 1$ にしたもの）は自由度 $n - 1$ の t 分布に従い、1.96 のかわりに t 分布表の値を使う。

t 分布は標準正規分布より裾が厚く、 $n$ が小さいほど 1.96 にあたる値が大きくなる（区間が広がる）。 $n$ が大きくなると標準正規分布に近づくので、教科書では「 $n$ が大きければ $S$ で代用」と扱う。