仮説検定｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (2) 統計的な推測ア (エ)「正規分布を用いた区間推定及び仮説検定の方法を理解すること」。

0. どういうまとまりか

数学Ⅰでは、仮説のもとでの確率を実験やシミュレーションで見積もりました。数学Bでは、その確率を正規分布で計算します。
二項分布や標本平均の分布を正規分布で近似し、観測された値が「仮説のもとでは起こりにくい範囲」に入るかどうかで判断します。

段階	すること
① 仮説を立てる	主張したいことを対立仮説 $H_{1}$ 、その反対を帰無仮説 $H_{0}$ とする
② 有意水準を決める	判断の基準の確率 $α$ （5% や 1%）を先に決める
③ 棄却域を決める	$H_{0}$ のもとで、起こる確率が合わせて $α$ になる極端な範囲。5% の両側検定なら $
④ 判断する	観測値が棄却域に入れば $H_{0}$ を棄却し、 $H_{1}$ が正しいと判断する。入らなければ $H_{0}$ は棄却できない

分かれ目は次の 3 つ。

確率を計算するのは帰無仮説 $H_{0}$ のもと。主張したい $H_{1}$ のもとではない
「偏りがある」なら両側検定（5% で $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ ）、「大きい側に偏っている」なら片側検定（5% で $Z ≧ 1.64$ ）
棄却されないのは「帰無仮説が正しいと示された」ではなく「対立仮説が正しいとは判断できない」

1. 仮説検定の手順

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

「このコインは表と裏の出やすさが違う」と主張したいとき、まず反対の「表と裏は同じ確率で出る」を仮定します。
その仮定のもとで、観測された結果がどれくらい起こりにくいかを確率で調べるのが仮説検定です。

仮説検定とは何か？

ある仮説のもとで、観測された結果が起こる確率を調べ、その確率が小さければ仮説を否定する（棄却する）ことで、主張が正しいかを判断する方法

数学Bでは、その確率を正規分布を用いて求める。

仮説検定で立てる帰無仮説と対立仮説とは？

対立仮説 $H_{1}$ は主張したいこと、帰無仮説 $H_{0}$ はその反対（「差がない」「偏りがない」）の仮説

確率の計算は帰無仮説 $H_{0}$ が正しいとして行う。 $H_{0}$ が棄却されれば、 $H_{1}$ が正しいと判断する。

有意水準とは何か？

帰無仮説を棄却するかどうかの基準にする確率。ふつう 5%（0.05）や 1%（0.01）

データを見る前に決めておく。 $H_{0}$ のもとでの確率が有意水準以下になる結果が出たら、 $H_{0}$ を棄却する。

帰無仮説を棄却するとは、どういう判断か？

帰無仮説のもとでは有意水準以下の確率でしか起こらない結果が出たので、帰無仮説は正しくなかったと判断すること

このとき対立仮説が正しいと判断する。「有意水準 5% で有意である」ともいう。

2. 棄却域と、両側検定・片側検定

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

帰無仮説のもとで検定に使う量を標準化した $Z$ が、近似的に標準正規分布に従うとします。
起こる確率が有意水準に等しくなる極端な範囲を、あらかじめ $Z$ の範囲として決めておきます。

棄却域とは何か？有意水準 5% の両側検定ではどうなるか？

帰無仮説を棄却することになる、検定に使う量の範囲。有意水準 5% の両側検定では $Z ≦ - 1.96$ または $Z ≧ 1.96$ （ $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ ）

$P (∣ Z ∣ ≧ 1.96) ≒ 0.05$ で、両側に 0.025 ずつ。有意水準 1% なら $∣ Z ∣ ≧ 2.58$ 。

有意水準 5% の片側検定（大きい側）の棄却域は？

$Z ≧ 1.64$

$P (0 ≦ Z ≦ 1.64) ≒ 0.4495$ なので、 $P (Z ≧ 1.64) ≒ 0.05$ 。5% を片側だけに置くので、両側検定の 1.96 より小さい。

両側検定と片側検定は、何によって使い分けるか？

対立仮説の立て方。「 $p \neq = \frac{1}{2}$ （どちらかに偏っている）」なら両側検定、「 $p > \frac{1}{2}$ （大きい側に偏っている）」なら片側検定

対立仮説はデータを見る前に決める。結果を見てから片側に切りかえて棄却しやすくしてはいけない。

3. 二項分布を正規分布で近似する検定

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

$n$ 回の試行で事象が起こる回数 $X$ は二項分布 $B (n, p)$ に従い、 $n$ が大きいとき近似的に正規分布 $N (n p, n p (1 - p))$ に従います。
帰無仮説で $p$ の値を決めれば、 $X$ の分布が決まり、 $Z = \frac{X - n p}{n p ( 1 - p )}$ で標準化できます。

「コインは表と裏が同じ確率で出る」を帰無仮説とするとき、100 回投げて表が出る回数 $X$ はどんな分布に従うとみなせるか？

二項分布 $B (100, \frac{1}{2})$ 、近似的に正規分布 $N (50, 25)$ （期待値 50、標準偏差 5）

期待値は $100 \times \frac{1}{2} = 50$ 、分散は $100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$ 。

コインを 100 回投げたら表が 61 回出た。「表と裏の出やすさが違う」を有意水準 5% で検定すると、どう判断するか？

帰無仮説は棄却され、表と裏の出やすさは違うと判断する

$Z = \frac{61 - 50}{5} = 2.2$ 。 $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ で棄却域に入る。

4. 母平均の検定

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

「母平均は $m_{0}$ である」を帰無仮説にすると、 $n$ が大きいとき標本平均 $X$ は近似的に $N (m_{0}, \frac{σ ^{2}}{n})$ に従います。

帰無仮説「母平均は $m_{0}$ である」を検定するとき、標本平均 $X$ から何を計算して棄却域と比べるか？

$Z = \frac{X - m _{0}}{\frac{σ}{n}}$

$σ$ が分からなければ、 $n$ が大きいとき標本の標準偏差で代用する。

内容量 500 g と表示された製品から 100 個を無作為に選ぶと、平均は 497 g だった。母標準偏差を 15 g とするとき、「表示と違う」を有意水準 5% で検定すると？

帰無仮説「母平均は 500 g」は棄却され、表示と違うと判断する

$\frac{15}{100} = 1.5$ 、 $Z = \frac{497 - 500}{1.5} = - 2$ 。 $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ で棄却域に入る。有意水準 1%（ $∣ Z ∣ ≧ 2.58$ ）なら棄却されない。

5. 判断の言い方

根拠: 学習指導要領数学B-(2)-ア-(エ)

仮説検定の結論は「棄却する」か「棄却しない」の 2 つです。どちらの場合も、言えることには限りがあります。

帰無仮説が棄却されなかったとき、「帰無仮説が正しいことが示された」と言ってよいか？

言えない。「対立仮説が正しいとは判断できない」というだけ

データが少ないと、本当に差があっても棄却されないことがある。判断を保留する、と考える。

有意水準 5% で帰無仮説を棄却したとき、その判断が誤っている可能性はあるか？

ある。帰無仮説が正しくても、棄却域の結果は約 5% の確率で起こる

有意水準は「帰無仮説が正しいのに棄却してしまう確率」を、あらかじめ小さく抑えるための値。

練習問題

問 1　あるコインを 100 回投げたら表が 61 回出た。このコインは表と裏の出やすさが違うといえるか。有意水準 5% で検定せよ。ただし、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ とする。

表と裏の出やすさは違うといえる

方針　「出やすさが違う」は、表が多すぎても少なすぎても当てはまるので、両側検定にする。帰無仮説「表の出る確率は $\frac{1}{2}$ 」のもとで、表の回数 $X$ は二項分布に従い、100 回は多いので正規分布に従うとみる。観測した 61 回を標準化して、両側の棄却域に入るかを調べる。

仮説を立てる。表の出る確率を $p$ として、主張したい対立仮説 $H_{1}$ は「 $p \neq = \frac{1}{2}$ 」、帰無仮説 $H_{0}$ は「 $p = \frac{1}{2}$ 」。
$H_{0}$ のもとで、表の回数 $X$ は $B (100, \frac{1}{2})$ に従う。期待値は $100 \times \frac{1}{2} = 50$
分散は $100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$ なので、標準偏差は $25 = 5$
$X$ は近似的に正規分布 $N (50, 25)$ に従うので、 $Z = \frac{X - 50}{5}$ は近似的に標準正規分布に従う。
棄却域を決める。有意水準 5% を両側に半分ずつ置く。与えられた値から、 $- 1.96 ≦ Z ≦ 1.96$ となる確率が約 $2 \times 0.4750 = 0.95$ なので、その外側の $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ が棄却域。
観測した 61 回を標準化する。 $Z = \frac{61 - 50}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$
$2.2 ≧ 1.96$ なので、棄却域に入る。 $H_{0}$ を棄却し、表と裏の出やすさは違うといえる。

ここで間違えやすい　確率を計算するのは、主張したい $H_{1}$ ではなく、帰無仮説 $H_{0}$ （ $p = \frac{1}{2}$ ）のもと。期待値 50、標準偏差 5 は $H_{0}$ から出した値である。

（二項分布で正確に計算すると、表が 61 回以上出る確率は約 0.0176、両側で約 0.035 で、やはり 0.05 より小さい。）

問 2　別のコインを 100 回投げたら表が 59 回出た。(1)「表と裏の出やすさが違う」、(2)「表が出やすい」のそれぞれを、有意水準 5% で検定せよ。ただし、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ 、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.64) ≒ 0.4495$ とする。

(1) 違うとはいえない　(2) 表が出やすいといえる

方針　(1) と (2) は、データも帰無仮説（表の出る確率 $p$ は $\frac{1}{2}$ ）も同じで、違うのは対立仮説だけ。「違う」はどちら向きの偏りも含むので両側検定、「表が出やすい」は大きい側だけなので片側検定になる。帰無仮説のもとで、表の回数は二項分布に従い、100 回は多いので正規分布に従うとみる。標準化した $Z$ は共通なので先に求め、棄却域だけを取りかえる。

帰無仮説 $H_{0}$ は「 $p = \frac{1}{2}$ 」。 $H_{0}$ のもとで、表の回数 $X$ は $B (100, \frac{1}{2})$ に従う。期待値は $100 \times \frac{1}{2} = 50$
分散は $100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$ なので、標準偏差は $25 = 5$ 。 $X$ は近似的に $N (50, 25)$ に従う。
観測した 59 回を標準化する。 $Z = \frac{59 - 50}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$
(1) 対立仮説は「 $p \neq = \frac{1}{2}$ 」で、両側検定。5% を両側に半分ずつ置くので、棄却域は $∣ Z ∣ ≧ 1.96$
$1.8 < 1.96$ なので、棄却域に入らない。 $H_{0}$ は棄却できず、表と裏の出やすさが違うとはいえない。
(2) 対立仮説は「 $p > \frac{1}{2}$ 」で、片側検定。5% を大きい側だけに置く。与えられた値から、 $Z ≧ 1.64$ となる確率は約 $0.5 - 0.4495 = 0.0505$ で、ほぼ 5% なので、棄却域は $Z ≧ 1.64$
$1.8 ≧ 1.64$ なので、棄却域に入る。 $H_{0}$ を棄却し、表が出やすいといえる。

同じデータでも、対立仮説の立て方で結論が変わる。だから対立仮説はデータを見る前に決める。

ここで間違えやすい　(1) の結論は「違うとはいえない」まで。棄却できなかったことは、「表と裏は同じ確率で出る」と示されたことを意味しない。

問 3　あるさいころを 720 回投げたら、1 の目が 142 回出た。このさいころは 1 の目の出る確率が $\frac{1}{6}$ でないといえるか。有意水準 5% で検定せよ。ただし、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ とする。

1 の目の出る確率は $\frac{1}{6}$ でないといえる

方針　「 $\frac{1}{6}$ でない」は、大きい側にも小さい側にもずれうるので、両側検定にする。帰無仮説「1 の目の出る確率は $\frac{1}{6}$ 」のもとで、1 の目の回数 $X$ は二項分布に従い、720 回は多いので正規分布に従うとみる。観測した 142 回を標準化して、両側の棄却域に入るかを調べる。

仮説を立てる。1 の目の出る確率を $p$ として、対立仮説 $H_{1}$ は「 $p \neq = \frac{1}{6}$ 」、帰無仮説 $H_{0}$ は「 $p = \frac{1}{6}$ 」。
$H_{0}$ のもとで、 $X$ は $B (720, \frac{1}{6})$ に従う。期待値は $720 \times \frac{1}{6} = 120$
分散は $720 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 120 \times \frac{5}{6} = 100$ なので、標準偏差は $100 = 10$
$X$ は近似的に正規分布 $N (120, 100)$ に従うので、 $Z = \frac{X - 120}{10}$ は近似的に標準正規分布に従う。
有意水準 5% の両側検定なので、棄却域は $∣ Z ∣ ≧ 1.96$
観測した 142 回を標準化する。 $Z = \frac{142 - 120}{10} = \frac{22}{10} = 2.2$
$2.2 ≧ 1.96$ なので、棄却域に入る。 $H_{0}$ を棄却し、1 の目の出る確率は $\frac{1}{6}$ でないといえる。

ここで間違えやすい　分散は $720 \times \frac{1}{6}$ の 120 ではなく、さらに $\frac{5}{6}$ を掛けた 100。標準化で割るのは、その平方根の 10。

問 4　内容量 500 g と表示された製品から 100 個を無作為に選んだところ、平均は 497 g であった。母標準偏差を 15 g として、内容量の平均は表示と違うといえるか。(1) 有意水準 5%、(2) 有意水準 1% で検定せよ。ただし、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ 、 $P (0 ≦ Z ≦ 2.58) ≒ 0.4951$ とする。

(1) 表示と違うといえる　(2) 表示と違うとはいえない

方針　「表示と違う」は、多い側にも少ない側にもずれうるので、両側検定にする。帰無仮説「母平均は 500 g」のもとで、大きさ 100 の標本平均 $X$ は近似的に正規分布 $N (500, \frac{1 5 ^{2}}{100})$ に従うとみる。標準化するのは $X$ で、割るのは母標準偏差 15 ではなく $\frac{15}{100}$ 。標準化した $Z$ は (1)(2) で共通なので先に求め、有意水準に合わせて棄却域だけを取りかえる。

仮説を立てる。母平均を $m$ として、対立仮説 $H_{1}$ は「 $m \neq = 500$ 」、帰無仮説 $H_{0}$ は「 $m = 500$ 」。
$H_{0}$ のもとで、 $X$ の期待値は 500、標準偏差は $\frac{15}{100} = \frac{15}{10} = 1.5$
観測した標本平均 497 を標準化する。 $Z = \frac{497 - 500}{1.5} = \frac{- 3}{1.5} = - 2$
両側検定なので、絶対値で棄却域と比べる。 $∣ Z ∣ = 2$
(1) 有意水準 5% の棄却域は $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ 。 $2 ≧ 1.96$ なので、棄却域に入る。 $H_{0}$ を棄却し、内容量の平均は表示と違うといえる。
(2) 有意水準 1% では、与えられた値から、 $- 2.58 ≦ Z ≦ 2.58$ となる確率が約 $2 \times 0.4951 = 0.9902$ なので、その外側の $∣ Z ∣ ≧ 2.58$ が棄却域。
$2 < 2.58$ なので、棄却域に入らない。 $H_{0}$ は棄却できず、表示と違うとはいえない。

ここで間違えやすい　 $Z$ が負になっても、両側検定では絶対値で比べる。また、(2) の結論は「違うとはいえない」まで。棄却できなかったことは、「内容量の平均は表示どおりの 500 g である」と示されたことを意味しない。有意水準を厳しくすると、同じデータでも棄却しにくくなる。

問 5　ある意見について 400 人を無作為に選んで聞いたところ、賛成は 216 人だった。「賛成と反対は半々である」という帰無仮説を有意水準 5% で両側検定し、結論を正しく述べよ。ただし、 $P (0 ≦ Z ≦ 1.96) ≒ 0.4750$ とする。

帰無仮説は棄却されない。賛成と反対の割合に差があるとは判断できない

方針　帰無仮説「賛成と反対は半々」は、賛成の割合を $p$ として「 $p = \frac{1}{2}$ 」のこと。このもとで、400 人中の賛成の人数 $X$ は二項分布に従い、400 人は多いので正規分布に従うとみる。観測した 216 人を標準化して、両側の棄却域 $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ に入るかを調べる。この問題は、棄却できなかったときの結論の述べ方が問われている。

帰無仮説 $H_{0}$ は「 $p = \frac{1}{2}$ 」、対立仮説 $H_{1}$ は「 $p \neq = \frac{1}{2}$ 」（両側検定）。
$H_{0}$ のもとで、 $X$ は $B (400, \frac{1}{2})$ に従う。期待値は $400 \times \frac{1}{2} = 200$
分散は $400 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 100$ なので、標準偏差は $100 = 10$
$X$ は近似的に正規分布 $N (200, 100)$ に従うので、 $Z = \frac{X - 200}{10}$ は近似的に標準正規分布に従う。
観測した 216 人を標準化する。 $Z = \frac{216 - 200}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$
有意水準 5% の両側検定の棄却域は $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ 。 $1.6 < 1.96$ なので、棄却域に入らない。
よって $H_{0}$ は棄却されない。結論は「賛成と反対の割合に差があるとは判断できない」。

ここで間違えやすい　「賛成と反対は半々だと分かった」とは言えない。棄却できないことは、帰無仮説が正しいことを意味しない。差があるとは言い切れない、というところまで。

【発展】2 種類の誤り

仮説検定の判断の誤りには 2 種類ある（教科書では計算まではしない）。
帰無仮説が正しいのに棄却してしまう誤りを第 1 種の誤り、帰無仮説が誤っているのに棄却しない誤りを第 2 種の誤りという。

第 1 種の誤りの確率は有意水準そのもの（5% なら約 5%）。有意水準を小さくすると第 1 種の誤りは減るが、棄却しにくくなるので第 2 種の誤りは増える。
第 2 種の誤りの確率は、対立仮説のもとでの本当の値（たとえば本当の $p$ ）が決まらないと計算できない。標本を大きくすると、両方を同時に小さくできる。