関数と変数｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 C 関数 (1) 比例，反比例ア (ア)「関数関係の意味を理解すること」。

0. 何を押さえるか

ともなって変わる 2 つの数量 $x$ 、 $y$ があって、 $x$ の値を決めると、それに対応して $y$ の値がただ 1 つに決まるとき、
「 $y$ は $x$ の関数である」といいます。

言葉	意味	例
関数	$x$ を決めると $y$ がただ 1 つに決まる関係	1 辺 $x$ cm の正方形の周の長さ $y$ cm
変数	いろいろな値をとる文字	上の $x$ と $y$
変域	変数のとりうる値の範囲	$0 ≦ x ≦ 10$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

「ただ 1 つに決まる」が要（ $x$ を決めても $y$ が 2 つ以上ありうるなら、関数ではない）
「 $y$ は $x$ の関数」と「 $x$ は $y$ の関数」は別のこと（片方だけが成り立つことがある）
変域の不等号は、端の値を含むなら $≦$ 、含まないなら $<$

1. 関数の意味

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(ア)

式で表せなくても、 $x$ を決めれば $y$ がただ 1 つに決まるなら関数です。
逆に、式が書けそうに見えても、 $y$ が決まらなければ関数ではありません。

「 $y$ は $x$ の関数である」とは、どういうことか？

$x$ の値を決めると、それに対応して $y$ の値がただ 1 つに決まること

$y$ が 2 つ以上ありうる、または 1 つも決まらないなら、関数ではない。

「身長 $x$ cm の人の体重 $y$ kg」で、 $y$ は $x$ の関数か？

関数ではない

同じ身長でも体重はいろいろなので、 $x$ を決めても $y$ がただ 1 つに決まらない。

「自然数 $x$ の約数 $y$ 」で、 $y$ は $x$ の関数か？

関数ではない

たとえば $x = 6$ なら、約数は 1、2、3、6 の 4 つあり、ただ 1 つに決まらない。

「 $x$ の絶対値が $y$ 」のとき、 $y$ は $x$ の関数か。また、 $x$ は $y$ の関数か。

$y$ は $x$ の関数である。 $x$ は $y$ の関数ではない

$x$ を決めれば絶対値はただ 1 つ。だが $y = 3$ のとき $x$ は $3$ と $- 3$ の 2 つある。

「 $x$ 円持っていて 150 円使ったときの残り $y$ 円」で、 $y$ は $x$ の関数か？

関数である

$y = x - 150$ で、 $x$ を決めれば $y$ はただ 1 つに決まる。比例・反比例でなくても関数になる。

ある関係が関数かどうかは、式で表せるかどうかで決まるか？

決まらない。 $x$ を決めれば $y$ がただ 1 つに決まるかで決まる

「自然数 $x$ を 3 でわった余り $y$ 」のように、ふつうの式で書きにくくても関数になる。

2. 変数と変域

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(ア)

$x$ や $y$ のように、いろいろな値をとる文字を変数といいます。
変数のとりうる値の範囲を変域といい、不等号を使って表します。

変数とは何か？

いろいろな値をとる文字

関数の $x$ 、 $y$ は変数。これに対して、決まった値を表す文字（比例定数 $a$ など）は変数ではない。

変域とは何か？

変数のとりうる値の範囲

不等号を使って $0 ≦ x ≦ 5$ のように表す。

「 $x$ は 2 以上 7 未満」を、不等号で表すと？

2 ≦ x < 7

以上・以下は $≦$ （端を含む）、未満・より大きいは $<$ （端を含まない）。

変域を不等号で書くとき、数を並べる向きの決まりは？

小さい数を左、大きい数を右に書き、 $x$ をその間に置く

$- 3 ≦ x ≦ 4$ のように書く。 $4 ≧ x ≧ - 3$ とは書かない。

練習問題

問 1　次のうち、 $y$ が $x$ の関数であるものをすべて選べ。
（ア）1 本 80 円の鉛筆を $x$ 本買ったときの代金 $y$ 円
（イ）年齢が $x$ 歳の人の身長 $y$ cm
（ウ）周の長さが $x$ cm の長方形の面積 $y$ cm²
（エ） $20$ km の道のりを時速 $x$ km で進むときにかかる時間 $y$ 時間

（ア）と（エ）

方針　関数かどうかは、「 $x$ を決めたら $y$ がただ 1 つに決まるか」で決まる。4 つを 1 つずつ確かめる。決まらないことを言うには、同じ $x$ で $y$ が 2 通りになる例を 1 つ挙げればよい。

（ア）代金は「1 本の値段 × 本数」なので $y = 80 x$ 。本数を決めれば代金は 1 つに決まる。関数である。
（イ）同じ年齢でも、身長は人によってちがう。 $x$ を決めても $y$ は 1 つに決まらない。関数ではない。
（ウ）周が 12 cm の長方形で考える。縦 1 cm・横 5 cm なら面積は $1 \times 5 = 5$ （cm²）、縦 3 cm・横 3 cm なら $3 \times 3 = 9$ （cm²）。周が同じでも面積が 2 通りあるので、関数ではない。
（エ）時間は「道のり ÷ 速さ」なので $y = \frac{20}{x}$ 。速さを決めれば時間は 1 つに決まる。関数である。
よって、関数であるのは（ア）と（エ）。

ここで間違えやすい　（エ）のように、 $x$ が増えると $y$ が減る関係でも関数になる。式の形ではなく、ただ 1 つに決まるかどうかを見る。

問 2　 $x$ の変域が「 $- 2$ 以上 $5$ 以下」であることを、不等号を使って表せ。

$- 2 ≦ x ≦ 5$

方針　「以上」「以下」は、その数をふくむので、不等号は $≦$ を使う。小さい数を左、大きい数を右に書き、 $x$ をその間に置く。

「 $- 2$ 以上」は、 $x$ が $- 2$ と等しいか、 $- 2$ より大きいこと。式で書くと $- 2 ≦ x$
「 $5$ 以下」は、 $x$ が $5$ と等しいか、 $5$ より小さいこと。式で書くと $x ≦ 5$
2 つを 1 つにまとめて、 $- 2 ≦ x ≦ 5$

ここで間違えやすい　「未満」「より大きい」のときは、その数をふくまないので $<$ を使う。言葉をよく見て不等号を選ぶ。

問 3　 $x$ の変域が $- 1 < x ≦ 3$ のとき、 $x$ がとる整数の値をすべて答えよ。

$0, 1, 2, 3$

方針　不等号の種類を見て、両はしの数が入るかどうかを先に決める。そのあと、間にある整数を小さい順に書き出す。

左はしを見る。 $- 1 < x$ は「 $x$ は $- 1$ より大きい」という意味。 $- 1$ は含まない。
右はしを見る。 $x ≦ 3$ は「 $x$ は $3$ 以下」という意味。 $3$ は含む。
$- 1$ より大きい整数のうち、いちばん小さいのは $0$ 。
$0$ から $3$ までの整数を書き出すと、 $0, 1, 2, 3$

ここで間違えやすい　 $0$ も整数なので、書き落とさない。 $- 1$ を入れてしまうのもよくある誤り。

問 4　容積 60 L の空の水そうに、毎分 4 L ずつ水を入れる。水を入れ始めてから $x$ 分後の水の量を $y$ L とする。水そうがいっぱいになるまでについて、 $x$ の変域と $y$ の変域を不等号で表せ。

$0 ≦ x ≦ 15$ 、 $0 ≦ y ≦ 60$

方針　変域は、始まりと終わりの値で決まる。始まりは水を入れ始めたとき、終わりは水そうがいっぱいになったとき。いっぱいになるまでに何分かかるかを先に求める。

始まりを考える。入れ始めは $x = 0$ で、水そうは空なので $y = 0$ 。
終わりを考える。毎分 4 L ずつ入れて 60 L になるまでの時間は、 $60 \div 4 = 15$ （分）
だから終わりは $x = 15$ で、そのとき水の量は $y = 60$ 。
$x$ は 0 から 15 までの値をとるので、 $0 ≦ x ≦ 15$
$y$ は 0 から 60 までの値をとるので、 $0 ≦ y ≦ 60$

ここで間違えやすい　入れ始めの 0 分と、いっぱいになった 15 分も含むので、不等号は $≦$ を使う。