比例｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 C 関数 (1) 比例，反比例ア (イ)「比例，反比例について理解すること」、
(ウ)「座標の意味を理解すること」、(エ)「比例，反比例を表，式，グラフなどに表すこと」。

0. 何を押さえるか

$y$ が $x$ の関数で、 $y = a x$ （ $a$ は 0 でない定数）と表されるとき、「 $y$ は $x$ に比例する」といい、 $a$ を比例定数といいます。
小学校の比例と違い、中学では $x$ も $a$ も負の数をとってよいことになります。

見方	比例の特徴
式	$y = a x$
表	$x$ が 2 倍、3 倍…になると、 $y$ も 2 倍、3 倍…になる。 $\frac{y}{x}$ はいつも $a$
グラフ	原点を通る直線。 $a > 0$ なら右上がり、 $a < 0$ なら右下がり

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

比例定数が負でも比例（ $y = - 2 x$ も比例。「 $x$ が増えると $y$ も増える」ことが比例なのではない）
座標 $(a, b)$ は $x$ 座標が先、 $y$ 座標が後
比例のグラフは必ず原点を通る（原点を通らない直線は比例のグラフではない）

1. 比例の意味

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(イ)

「 $y$ は $x$ に比例する」とは、式でどう表されることか？

$y = a x$ （ $a$ は 0 でない定数）

この $a$ を比例定数という。

比例定数が負の数の場合（ $y = - 3 x$ など）も、比例といえるか？

いえる

$y = a x$ の形であれば、 $a$ が負でも比例。このとき $x$ が増えると $y$ は減る。

$y$ が $x$ に比例するとき、 $x$ の値が 2 倍、3 倍…になると、 $y$ の値はどうなるか？

$y$ も 2 倍、3 倍…になる

比例定数が負でも同じ。 $y = - 2 x$ で $x$ が $1$ から $3$ になると、 $y$ は $- 2$ から $- 6$ で 3 倍。

$y$ が $x$ に比例するとき、 $x \neq = 0$ で、いつも一定になるのは何か？

商 $\frac{y}{x}$ （その値が比例定数 $a$ ）

比例定数は、1 組の $x$ 、 $y$ の値から $a = \frac{y}{x}$ で求められる。

2. 座標

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(ウ)

横の数直線を $x$ 軸、縦の数直線を $y$ 軸、2 つをあわせて座標軸、その交点 O を原点といいます。
点の位置を $(3, - 2)$ のように 2 つの数の組で表したものを、その点の座標といいます。

点 P の座標が $(a, b)$ のとき、 $a$ と $b$ はそれぞれ何か？

$a$ が $x$ 座標、 $b$ が $y$ 座標

$x$ 座標を先に書く。 $(3, - 2)$ と $(- 2, 3)$ は別の点。

原点の座標は？

(0, 0)

$x$ 軸と $y$ 軸の交点。

$x$ 軸上の点の座標、 $y$ 軸上の点の座標には、それぞれどんな特徴があるか？

$x$ 軸上の点は $y$ 座標が 0、 $y$ 軸上の点は $x$ 座標が 0

たとえば $(4, 0)$ は $x$ 軸上、 $(0, - 5)$ は $y$ 軸上にある。

3. 比例のグラフ

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(エ)

$y = a x$ のグラフは、原点と点 $(1, a)$ を通る直線です。原点ともう 1 点が分かれば引けます。

比例 $y = a x$ のグラフはどんな線か？

原点を通る直線

$x = 0$ のとき $y = 0$ なので、必ず原点を通る。

比例 $y = a x$ のグラフで、 $a > 0$ と $a < 0$ の違いは？

$a > 0$ なら右上がり、 $a < 0$ なら右下がり

$a$ の絶対値が大きいほど、グラフの傾きが急になる。

$y = a x$ のグラフを手早くかくには、原点のほかにどの点を使うとよいか？

$x$ 座標も $y$ 座標も整数になる点（たとえば $x = 1$ のときの点 $(1, a)$ ）

$y = \frac{2}{3} x$ なら $(3, 2)$ を使う。整数の点をとると正確にかける。

4. 比例の式を求める・利用する

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(イ)、中1-C-(1)-ア-(エ)

$y$ が $x$ に比例することが分かっていれば、1 組の $x$ 、 $y$ の値から比例定数が決まり、式が求まります。

$y$ が $x$ に比例することが分かっているとき、式を求めるのに必要なものは？

1 組の $x$ 、 $y$ の値（ $x \neq = 0$ ）

$y = a x$ に代入して $a$ を求める。

練習問題

問 1　 $y$ は $x$ に比例し、 $x = 4$ のとき $y = - 12$ である。 $y$ を $x$ の式で表し、 $x = 5$ のときの $y$ の値を求めよ。

$y = - 3 x$ 、 $y = - 15$

方針　比例の式は $y = a x$ の形に決まっている。分からないのは比例定数 $a$ だけ。1 組の $x$ 、 $y$ の値を代入すれば $a$ が求まり、式が決まる。

$y = a x$ に $x = 4$ 、 $y = - 12$ を代入する。 $- 12 = a \times 4$ なので、 $- 12 = 4 a$
両辺を 4 でわって $a$ を求める。 $(- 12) \div 4 = - 3$ なので、 $a = - 3$
$a$ を式にもどすと、 $y = - 3 x$
この式に $x = 5$ を代入する。 $y = - 3 \times 5$
計算して、 $y = - 15$

ここで間違えやすい　代入するとき、 $x$ と $y$ を逆に入れない。 $x = 4$ は $a$ に掛けるほう、 $y = - 12$ は左辺に入れる。

問 2　 $y = - \frac{2}{3} x$ のグラフが通る点を、次から選べ。
（ア） $(3, 2)$ 　（イ） $(3, - 2)$ 　（ウ） $(- 2, 3)$ 　（エ） $(- 3, - 2)$

（イ）

方針　グラフが点を通るとは、その点の $x$ 座標を式に入れたとき、 $y$ 座標と同じ値が出ること。それぞれの点の $x$ 座標を式に代入して、 $y$ 座標と合うかを確かめる。

$x = 3$ を代入する。 $y = - \frac{2}{3} \times 3 = - 2$ 。グラフは点 $(3, - 2)$ を通る。
（ア） $(3, 2)$ は $y$ 座標が $2$ で合わない。（イ） $(3, - 2)$ は合う。
（ウ）は $x = - 2$ を代入する。 $y = - \frac{2}{3} \times (- 2) = \frac{4}{3}$ 。 $3$ ではないので通らない。
（エ）は $x = - 3$ を代入する。 $y = - \frac{2}{3} \times (- 3) = 2$ 。 $- 2$ ではないので通らない。
よって、通るのは（イ）だけ。

ここで間違えやすい　負の数どうしを掛けると正の数になる。（エ）は $y = 2$ で、 $- 2$ ではない。

問 3　点 A $(- 4, 2)$ は、原点からどちらへどれだけ進んだ点か。

左へ 4、上へ 2 進んだ点

方針　座標は（ $x$ 座標， $y$ 座標）の順に書いてある。 $x$ 座標は左右、 $y$ 座標は上下の位置を表す。符号が正なら右・上、負なら左・下へ進む。

先に書いてある $- 4$ が $x$ 座標。負の数なので、原点から左へ 4 進む。
あとに書いてある $2$ が $y$ 座標。正の数なので、そこから上へ 2 進む。
よって、原点から左へ 4、上へ 2 進んだ点。

ここで間違えやすい　順番を逆に読むと、「右へ 2、下へ 4」の点 $(2, - 4)$ になってしまう。先に書くのが $x$ 座標。

問 4　同じ種類の紙 20 枚の重さをはかったら 80 g だった。紙の枚数を $x$ 枚、重さを $y$ g として、 $y$ を $x$ の式で表せ。また、この紙が 300 g あるとき、およそ何枚あるか。

$y = 4 x$ 、およそ 75 枚

方針　同じ種類の紙なので、枚数が 2 倍になれば重さも 2 倍になる。つまり重さは枚数に比例する。式を $y = a x$ とおき、「20 枚で 80 g」から $a$ （1 枚の重さ）を求める。

$y = a x$ に $x = 20$ 、 $y = 80$ を代入する。 $80 = 20 a$
両辺を 20 でわる。 $80 \div 20 = 4$ なので、 $a = 4$ （1 枚が 4 g）
$a$ を式にもどすと、 $y = 4 x$
重さが 300 g なので、 $y = 300$ を代入する。 $300 = 4 x$
両辺を 4 でわる。 $300 \div 4 = 75$ なので、 $x = 75$ （枚）

ここで間違えやすい　300 は重さなので、 $x$ ではなく $y$ に入れる。 $x$ に入れると $4 \times 300 = 1200$ となり、300 枚の重さを求めたことになる。

問 5　 $y = 2 x$ で、 $x$ の変域が $- 1 ≦ x ≦ 3$ のとき、 $y$ の変域を求めよ。

$- 2 ≦ y ≦ 6$

方針　比例定数が 2 で正なので、 $x$ が大きいほど $y$ も大きい。だから $y$ がいちばん小さいのは $x$ がいちばん小さいとき、いちばん大きいのは $x$ がいちばん大きいとき。 $x$ の変域の両はしを代入する。

$x$ のいちばん小さい値 $- 1$ を代入する。 $y = 2 \times (- 1) = - 2$
$x$ のいちばん大きい値 $3$ を代入する。 $y = 2 \times 3 = 6$
$y$ は $- 2$ から $6$ までの値をとる。両はしを含むので、 $- 2 ≦ y ≦ 6$

ここで間違えやすい　比例定数が負のときは、 $x$ が大きいほど $y$ は小さくなり、大小が入れかわる。先に比例定数の符号を見る。