反比例｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 C 関数 (1) 比例，反比例ア (イ)「比例，反比例について理解すること」と、
(エ)「比例，反比例を表，式，グラフなどに表すこと」。

0. 何を押さえるか

$y$ が $x$ の関数で、 $y = \frac{a}{x}$ （ $a$ は 0 でない定数）と表されるとき、「 $y$ は $x$ に反比例する」といい、 $a$ を比例定数といいます。

比例と反比例は、並べて覚えると取り違えません。

	比例	反比例
式	$y = a x$	$y = \frac{a}{x}$
一定になるもの	商 $\frac{y}{x} = a$	積 $x y = a$
$x$ が 2 倍、3 倍…になると	$y$ も 2 倍、3 倍…	$y$ は $\frac{1}{2}$ 倍、 $\frac{1}{3}$ 倍…
グラフ	原点を通る直線	双曲線（2 つのなめらかな曲線）

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

反比例は「 $x$ が増えると $y$ が減る」ことではなく、 $x$ が 2 倍になると $y$ が $\frac{1}{2}$ 倍になること（ $y = 10 - x$ は減るが反比例ではない）
反比例でも、定数 $a$ は比例定数と呼ぶ
反比例のグラフは座標軸と交わらない（ $x = 0$ のときの $y$ は無い）

1. 反比例の意味

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(イ)

「 $y$ は $x$ に反比例する」とは、式でどう表されることか？

y = \frac{a}{x}

$a$ は 0 でない定数で、これも比例定数という。

$y$ が $x$ に反比例するとき、いつも一定になるのは何か？

積 $x y$ （その値が比例定数 $a$ ）

$y = \frac{a}{x}$ の両辺に $x$ を掛けると $x y = a$ 。比例で一定なのは商 $\frac{y}{x}$ 。

$y$ が $x$ に反比例するとき、 $x$ の値が 2 倍、3 倍…になると、 $y$ の値はどうなるか？

$\frac{1}{2}$ 倍、 $\frac{1}{3}$ 倍…になる

積 $x y$ が一定なので、 $x$ が何倍かになれば $y$ はその逆数倍になる。

「 $x$ が増えると $y$ が減る」関係は、必ず反比例か？

必ずではない

$y = 10 - x$ は $x$ が増えると $y$ が減るが、 $x y$ が一定でないので反比例ではない。

2. 反比例のグラフ

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(エ)

$y = \frac{a}{x}$ のグラフは、なめらかな 2 つの曲線になります。この曲線を双曲線といいます。
$x$ の値の絶対値を大きくしていくと、グラフは $x$ 軸に限りなく近づきますが、交わりません。

反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフを何というか？

双曲線

なめらかな2 つの曲線が組になっている。直線ではない。

反比例のグラフは、座標軸と交わるか？

交わらない

$x = 0$ では式が意味をもたず、 $y = 0$ になる $x$ も無い。軸には限りなく近づくだけ。

反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフは、 $a > 0$ と $a < 0$ でどこにあるか？

$a > 0$ なら右上と左下、 $a < 0$ なら左上と右下

$a > 0$ では $x$ と $y$ が同じ符号、 $a < 0$ では異なる符号になる。

反比例のグラフをかくとき、どんな点をとるとよいか？

$x$ 座標も $y$ 座標も整数になる点を、なるべく多く

$y = \frac{6}{x}$ なら $(1, 6)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(3, 2)$ 、 $(6, 1)$ と、それぞれの符号を変えた点。
点を直線で結ばず、なめらかな曲線でつなぐ。

3. 比例と反比例を見分ける

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(イ)、中1-C-(1)-ア-(エ)

表から見分けるときは、商 $\frac{y}{x}$ が一定なら比例、積 $x y$ が一定なら反比例です。

表から、比例か反比例かを見分ける方法は？

商 $\frac{y}{x}$ が一定なら比例、積 $x y$ が一定なら反比例

$x$ が 2 倍のとき $y$ が 2 倍なら比例、 $\frac{1}{2}$ 倍なら反比例、と見てもよい。

「面積が一定の長方形の縦 $x$ と横 $y$ 」「速さが一定のときの時間 $x$ と道のり $y$ 」は、それぞれ比例か反比例か？

縦と横は反比例（ $x y$ = 面積）、時間と道のりは比例（ $y$ = 速さ × $x$ ）

一定になっているのが積か商かで決まる。

4. 反比例の式を求める・利用する

根拠: 学習指導要領中1-C-(1)-ア-(イ)、中1-C-(1)-ア-(エ)

$y$ が $x$ に反比例することが分かっていれば、比例と同じく1 組の $x$ 、 $y$ の値で式が決まります（ $a = x y$ ）。

$y$ が $x$ に反比例し、1 組の値 $x = p$ 、 $y = q$ が分かっているとき、比例定数はどう求めるか？

a = pq

$x y$ が一定だから。 $y = \frac{a}{x}$ に代入しても同じ。

練習問題

問 1　 $y$ は $x$ に反比例し、 $x = 3$ のとき $y = 8$ である。 $y$ を $x$ の式で表し、 $x = - 6$ のときの $y$ の値を求めよ。

$y = \frac{24}{x}$ 、 $y = - 4$

方針　反比例の式は $y = \frac{a}{x}$ の形に決まっている。反比例では、積 $x y$ がいつも比例定数 $a$ に等しい。だから 1 組の $x$ 、 $y$ の値を掛ければ $a$ が求まる。

$a = x y$ に $x = 3$ 、 $y = 8$ を入れる。 $a = 3 \times 8$
計算して、 $a = 24$
$a$ を式にもどすと、 $y = \frac{24}{x}$
この式に $x = - 6$ を代入する。 $y = \frac{24}{- 6}$ なので、24 を $- 6$ でわる。
$24 \div (- 6) = - 4$ なので、 $y = - 4$

ここで間違えやすい　比例の式 $y = a x$ に入れてしまわない。「反比例」と書いてあれば $y = \frac{a}{x}$ を使う。

問 2　 $y = \frac{6}{x}$ のグラフ上の点で、 $x$ 座標と $y$ 座標がどちらも整数である点はいくつあるか。

8 個

方針　 $y = \frac{6}{x}$ は、 $x y = 6$ と同じこと。 $x$ も $y$ も整数になるのは、 $x$ が 6 をわり切る数（6 の約数）のとき。正の数と負の数の両方を調べる。

6 の約数は $1, 2, 3, 6$ の 4 つ。
それぞれの $y$ を求める。 $6 \div 1 = 6$ 、 $6 \div 2 = 3$ 、 $6 \div 3 = 2$ 、 $6 \div 6 = 1$ 。点は $(1, 6)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(3, 2)$ 、 $(6, 1)$ の 4 個。
$x$ が負の数のときも調べる。 $6 \div (- 1) = - 6$ 、 $6 \div (- 2) = - 3$ 、 $6 \div (- 3) = - 2$ 、 $6 \div (- 6) = - 1$ 。点は $(- 1, - 6)$ 、 $(- 2, - 3)$ 、 $(- 3, - 2)$ 、 $(- 6, - 1)$ の 4 個。
合わせて、 $4 + 4 = 8$ （個）

ここで間違えやすい　負の数のほうの 4 個を忘れやすい。反比例のグラフは 2 つの曲線が組になっている。また、 $x = 4$ のときは $6 \div 4 = 1.5$ で、 $y$ が整数にならない。

問 3　歯の数が 24 の歯車 A が、毎分 10 回転している。A にかみ合う歯車 B の歯の数を $x$ 、B の 1 分間の回転数を $y$ とする。 $y$ を $x$ の式で表し、B の歯の数が 16 のときの回転数を求めよ。

$y = \frac{240}{x}$ 、毎分 15 回転

方針　かみ合っている歯車は、歯が 1 つずつ順にかみ合って進む。だから 1 分間にかみ合う歯の数は、A と B で同じになる。その数は「歯の数 × 回転数」で求まる。積が一定なので、反比例の関係になる。

A が 1 分間にかみ合う歯の数を求める。 $24 \times 10 = 240$
B が 1 分間にかみ合う歯の数は $x \times y$ 。これが A と等しいので、 $x y = 240$
$y$ について表すと、 $y = \frac{240}{x}$
B の歯の数が 16 なので、 $x = 16$ を代入する。 $y = \frac{240}{16}$ なので、240 を 16 でわる。
$240 \div 16 = 15$ なので、毎分 15 回転。

ここで間違えやすい　歯の数が少ない歯車ほど、速く回る。B のほうが歯が少ないので、回転数は A の 10 回転より多くなるはず。

問 4　 $y = \frac{12}{x}$ で、 $x$ の変域が $2 ≦ x ≦ 6$ のとき、 $y$ の変域を求めよ。

$2 ≦ y ≦ 6$

方針　比例定数が 12 で正なので、 $x > 0$ の範囲では、 $x$ が大きいほど $y$ は小さくなる。 $x$ の変域の両はしを代入して $y$ の値を出す。大小が入れかわることに気をつける。

$x = 2$ を代入する。 $y = 12 \div 2 = 6$
$x = 6$ を代入する。 $y = 12 \div 6 = 2$
$x$ が 2 から 6 まで増えると、 $y$ は 6 から 2 まで減る。 $y$ のいちばん小さい値は 2、いちばん大きい値は 6。
小さい数を左に書いて、 $2 ≦ y ≦ 6$

ここで間違えやすい　代入した順のまま $6 ≦ y ≦ 2$ と書かない。変域は、小さい数を左、大きい数を右に書く。

問 5　次の表で、 $y$ が $x$ に比例するか、反比例するかを答え、式で表せ。

$x$	1	2	3	4
$y$	$- 12$	$- 6$	$- 4$	$- 3$

反比例。 $y = - \frac{12}{x}$

方針　表から見分けるには、商 $\frac{y}{x}$ と積 $x y$ のどちらが一定になるかを調べる。商が一定なら比例、積が一定なら反比例。表の 4 組すべてで計算する。

積 $x y$ を計算する。 $1 \times (- 12) = - 12$ 、 $2 \times (- 6) = - 12$ 、 $3 \times (- 4) = - 12$ 、 $4 \times (- 3) = - 12$
どれも $- 12$ で一定。だから反比例で、比例定数は $- 12$ 。
$y = \frac{a}{x}$ の $a$ に $- 12$ を入れて、 $y = - \frac{12}{x}$
商も確かめる。 $(- 12) \div 1 = - 12$ 、 $(- 6) \div 2 = - 3$ で、一定ではない。比例ではない。

ここで間違えやすい　比例定数が負でも反比例になる。式の $-$ の符号を落とさない。