扇形と立体の表面積・体積｜中学数学

学習指導要領第 1 学年 B 図形 (2) 空間図形ア (イ)「扇形の弧の長さと面積，基本的な柱体や錐体，球の表面積と体積を求めること」。

0. 何を押さえるか

円周率は、中学からは文字 π（パイ）で表します。π は 3.14159… と限りなく続く数で、3.14 は近い値にすぎません。
答えは π を使ったまま（ $12 π$ のように）書きます。

扇形は円の一部なので、円の弧の長さ・面積に「中心角 ÷ 360」を掛ければ求まります。
立体は、柱体と錐体と球の 3 つを押さえれば足ります。

求めるもの	式（半径 $r$ 、中心角 $a$ °、弧の長さ $ℓ$ 、底面積 $S$ 、高さ $h$ ）
扇形の弧の長さ	$2 π r \times \frac{a}{360}$
扇形の面積	$π r^{2} \times \frac{a}{360}$ 、または $\frac{1}{2} ℓ r$
柱体の体積	$S h$
錐体の体積	$\frac{1}{3} S h$
球の表面積	$4 π r^{2}$
球の体積	$\frac{4}{3} π r^{3}$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

錐体の体積は、同じ底面・同じ高さの柱体の $\frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3}$ を忘れる）
表面積は、側面積と底面積の和（柱体は底面が 2 つ、錐体は 1 つ）
円錐の側面の扇形の半径は母線で、底面の半径ではない

1. 円周率・弧・弦

根拠: 学習指導要領中1-B-(2)-ア-(イ)

円周上の 2 点 A、B で分けられた円周の一部を弧 AB（記号で $A B ⌢$ ）、A と B を結ぶ線分を弦 AB といいます。
2 つの半径と弧で囲まれた図形が扇形で、2 つの半径がつくる角を中心角といいます。

π（パイ）は何を表すか？

円周率（円周 ÷ 直径）

3.14159… と限りなく続く数。答えは π のまま書く。

弧と弦の違いは？

弧は円周の一部（曲線）、弦は円周上の 2 点を結ぶ線分

弧 AB を $A B ⌢$ と書く。いちばん長い弦は直径。

半径 $r$ の円の円周と面積の式は？

円周 $2 π r$ 、面積 $π r^{2}$

小学校の「直径 × 3.14」「半径 × 半径 × 3.14」を、π を使って書いたもの。

2. 扇形の弧の長さと面積

根拠: 学習指導要領中1-B-(2)-ア-(イ)

1 つの円では、扇形の弧の長さも面積も中心角に比例します。

半径 $r$ 、中心角 $a$ ° の扇形の弧の長さの式は？

2 π r \times \frac{a}{360}

円周の $\frac{a}{360}$ 倍。弧の長さは中心角に比例する。

半径 $r$ 、中心角 $a$ ° の扇形の面積の式は？

π r^{2} \times \frac{a}{360}

円の面積の $\frac{a}{360}$ 倍。

中心角が分からないとき、半径 $r$ と弧の長さ $ℓ$ から扇形の面積を求める式は？

\frac{1}{2} ℓ r

扇形を細かく切って並べると、底辺 $ℓ$ 、高さ $r$ の三角形のように見なせる。

3. 柱体・錐体の体積と表面積

根拠: 学習指導要領中1-B-(2)-ア-(イ)

角柱と円柱をまとめて柱体、角錐と円錐をまとめて錐体といいます。
表面積は、展開図の面積の合計で、側面積＋底面積です。

柱体の体積の式は？（底面積 $S$ 、高さ $h$ ）

V = S h

円柱なら $S = π r^{2}$ なので $V = π r^{2} h$ 。

錐体の体積の式は？（底面積 $S$ 、高さ $h$ ）

V = \frac{1}{3} S h

底面と高さが同じ柱体の体積の $\frac{1}{3}$ 。円錐なら $\frac{1}{3} π r^{2} h$ 。

円柱の表面積は、どの面の和か？

側面積（長方形）＋底面積 × 2

側面の長方形は、縦が高さ、横が底面の円周 $2 π r$ 。

円錐の展開図で、側面の扇形の中心角はどう求めるか？（母線 $ℓ$ 、底面の半径 $r$ ）

360 \times \frac{r}{ℓ}

扇形の弧の長さ（半径 $ℓ$ ）と底面の円周（半径 $r$ ）が等しいので、 $2 π ℓ \times \frac{a}{360} = 2 π r$ 。

円錐の側面積を、母線 $ℓ$ と底面の半径 $r$ で表すと？

π ℓ r

側面は半径 $ℓ$ 、弧の長さ $2 π r$ の扇形なので、 $\frac{1}{2} \times 2 π r \times ℓ = π ℓ r$ 。

4. 球の表面積と体積

根拠: 学習指導要領中1-B-(2)-ア-(イ)

半径 $r$ の球の表面積の式は？

4 π r^{2}

同じ半径の円の面積のちょうど 4 倍。

半径 $r$ の球の体積の式は？

\frac{4}{3} π r^{3}

球がちょうど入る円柱（底面の半径 $r$ 、高さ $2 r$ ）の体積 $2 π r^{3}$ の $\frac{2}{3}$ 。

練習問題

問 1　半径 6 cm、中心角 120° の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

弧の長さ $4 π$ cm、面積 $12 π$ cm²

方針　扇形は円の一部なので、円周と円の面積に「中心角 ÷ 360」を掛ければ求まる。先に、この扇形が円全体のどれだけにあたるかを出しておく。

中心角は 120° なので、円全体に対する割合は $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$
弧の長さの式に、半径 6 と中心角 120 を入れる。 $2 π \times 6 \times \frac{120}{360}$
計算する。円周は $2 π \times 6 = 12 π$ で、その $\frac{1}{3}$ だから $12 π \times \frac{1}{3} = 4 π$ （cm）
面積の式に、半径 6 と中心角 120 を入れる。 $π \times 6^{2} \times \frac{120}{360}$
計算する。円の面積は $π \times 6^{2} = 36 π$ で、その $\frac{1}{3}$ だから $36 π \times \frac{1}{3} = 12 π$ （cm²）

面積は $\frac{1}{2} ℓ r$ を使っても $\frac{1}{2} \times 4 π \times 6 = 12 π$ で同じになる。

ここで間違えやすい　弧の長さは半径をそのまま使い、面積は半径を 2 乗する。 $6^{2}$ は $6 \times 6 = 36$ で、 $6 \times 2$ ではない。

問 2　底面の半径が 3 cm、高さが 4 cm の円錐の体積を求めよ。

$12 π$ cm³

方針　円錐は錐体なので、体積は「底面積 × 高さ」の $\frac{1}{3}$ 。底面は半径 3 cm の円だから、まず底面積を出す。

底面積を求める。 $π \times 3^{2} = 9 π$ （cm²）
錐体の体積の式に、底面積 $9 π$ と高さ 4 を入れる。 $\frac{1}{3} \times 9 π \times 4$
計算する。 $9 π \times 4 = 36 π$ で、その $\frac{1}{3}$ だから $\frac{1}{3} \times 36 π = 12 π$ （cm³）

ここで間違えやすい　 $\frac{1}{3}$ を忘れると $36 π$ になる。これは同じ底面・同じ高さの円柱の体積。

問 3　母線の長さが 10 cm、底面の半径が 4 cm の円錐がある。展開図の側面の扇形の中心角と、円錐の表面積を求めよ。

中心角 144°、表面積 $56 π$ cm²

方針　展開図にすると、側面は扇形、底面は円になる。側面の扇形の弧は、底面の円のまわりにぴったり巻きつくので、弧の長さと底面の円周は等しい。ここから中心角を出す。表面積は、側面積と底面積（1 つ）を足す。

底面の円周を求める。 $2 π \times 4 = 8 π$ （cm）。これが扇形の弧の長さ。
扇形の半径は母線の 10 cm。半径 10 cm の円の円周は $2 π \times 10 = 20 π$ （cm）
弧の長さ $8 π$ は、円周 $20 π$ の $\frac{8}{20} = \frac{4}{10}$ にあたる。
中心角も 360° の $\frac{4}{10}$ だから、 $360 \times \frac{4}{10} = 144$ （°）
側面積を求める。半径 10 cm の円の面積は $π \times 1 0^{2} = 100 π$ で、その $\frac{144}{360}$ だから $100 π \times \frac{144}{360} = 40 π$ （cm²）
底面積を求める。 $π \times 4^{2} = 16 π$ （cm²）
表面積は側面積と底面積の和なので、 $40 π + 16 π = 56 π$ （cm²）

側面積は、 $π \times$ 母線 $\times$ 底面の半径でも $π \times 10 \times 4 = 40 π$ と確かめられる。

ここで間違えやすい　側面の扇形の半径は母線の 10 cm で、底面の半径の 4 cm ではない。また、円錐の底面は 1 つだけ。

問 4　底面の半径が 2 cm、高さが 5 cm の円柱の体積と表面積を求めよ。

体積 $20 π$ cm³、表面積 $28 π$ cm²

方針　体積は「底面積 × 高さ」。表面積は展開図で考える。側面は長方形（縦が高さ、横が底面の円周）で、底面は円が 2 つある。

底面積を求める。 $π \times 2^{2} = 4 π$ （cm²）
体積は底面積に高さ 5 を掛けて、 $4 π \times 5 = 20 π$ （cm³）
側面の長方形の横は、底面の円周と同じ長さ。 $2 π \times 2 = 4 π$ （cm）
側面積は「縦 × 横」なので、 $5 \times 4 π = 20 π$ （cm²）
底面は 2 つあるので、底面積の合計は $4 π \times 2 = 8 π$ （cm²）
表面積は側面積と底面積の和なので、 $20 π + 8 π = 28 π$ （cm²）

ここで間違えやすい　柱体の底面は上と下の 2 つ。1 つ分しか足さないと $24 π$ になってしまう。

問 5　半径 3 cm の球の表面積と体積を求めよ。

表面積 $36 π$ cm²、体積 $36 π$ cm³

方針　球は半径だけで大きさが決まる。表面積の式 $4 π r^{2}$ と体積の式 $\frac{4}{3} π r^{3}$ に、半径 3 を入れる。表面積は 2 乗、体積は 3 乗を使う。

表面積の式に半径 3 を入れる。 $4 π \times 3^{2}$
$3^{2} = 9$ なので、 $4 π \times 9 = 36 π$ （cm²）
体積の式に半径 3 を入れる。 $\frac{4}{3} π \times 3^{3}$
$3^{3} = 27$ で、 $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ なので、体積は $36 π$ （cm³）

ここで間違えやすい　表面積と体積の数が同じになるのは、半径が 3 cm のときだけ。単位は cm² と cm³ でちがう。

問 6　底面が 1 辺 6 cm の正方形で、高さが 5 cm の正四角錐の体積を求めよ。

60 cm³

方針　正四角錐は錐体なので、体積は「底面積 × 高さ」の $\frac{1}{3}$ 。底面は 1 辺 6 cm の正方形だから、まず底面積を出す。

底面積を求める。 $6 \times 6 = 36$ （cm²）
錐体の体積の式に、底面積 36 と高さ 5 を入れる。 $\frac{1}{3} \times 36 \times 5$
計算する。 $36 \times 5 = 180$ で、その $\frac{1}{3}$ だから $\frac{1}{3} \times 180 = 60$ （cm³）

ここで間違えやすい　 $\frac{1}{3}$ を忘れると 180 cm³ になる。これは同じ底面・同じ高さの四角柱の体積。