空間図形の見方
このノートの問いがそのまま復習カードになり、忘れかけたころに出題されます。
学習指導要領 第 1 学年 B 図形 (2) 空間図形 ア (ア)「空間における直線や平面の位置関係を知ること」と、
内容の取扱い (6)「見取図や展開図，投影図を取り扱う」。
0. 何を押さえるか
立体には、平面だけで囲まれた多面体と、曲面を含むもの（円柱・円錐・球）があります。
| 立体 | 底面 | 側面 | 種類 |
|---|---|---|---|
| 角柱 | 合同な多角形が 2 つ（平行） | 長方形 | 多面体 |
| 角錐 | 多角形が 1 つ | 三角形 | 多面体 |
| 円柱 | 合同な円が 2 つ（平行） | 曲面 | 多面体ではない |
| 円錐 | 円が 1 つ | 曲面 | 多面体ではない |
| 球 | なし | 曲面だけ | 多面体ではない |
空間では、2 直線の位置関係が 3 通りあります。平面の上では「交わる」か「平行」かの 2 通りでしたが、
空間では 交わらず、平行でもないことが起こります。これをねじれの位置といいます。
| 組 | 位置関係 |
|---|---|
| 2 直線 | 交わる・平行・ねじれの位置 |
| 直線と平面 | 直線が平面上にある・交わる・平行 |
| 2 平面 | 交わる・平行 |
引っかけの分かれ目は次の 3 つ。
- 交わらない 2 直線が平行とは限らない（同じ平面上にないならねじれの位置）
- 正多面体は 5 種類しかない（正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体）
- 投影図の立面図は正面から、平面図は真上から見た図（取り違えやすい）
1. 多面体と正多面体
根拠: 学習指導要領 中1-B-(2)-ア-(ア)
平面だけで囲まれた立体を多面体といい、面の数で四面体・五面体…と呼びます。
すべての面が合同な正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる、へこみの無い多面体を正多面体といいます。
| 正多面体 | 面の形 | 面の数 | 頂点の数 | 辺の数 |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 | 4 | 6 |
| 正六面体（立方体） | 正方形 | 6 | 8 | 12 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 | 6 | 12 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 | 20 | 30 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 | 12 | 30 |
正多面体は何種類あるか？ すべて答えよ。
5 種類。正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体
1 つの頂点に集まる角の和が 360° より小さくなければ立体にならないので、これ以上は作れない。
正多面体のうち、面が正三角形のものはどれか？
正四面体・正八面体・正二十面体
正六面体は正方形、正十二面体は正五角形の面でできている。
角柱と角錐の違いは？
角柱は底面が 2 つ（合同で平行）で、側面は長方形。角錐は底面が 1 つで、側面は三角形
円柱と円錐の違いも同じ（底面が 2 つか 1 つか）。
2. 直線や平面の位置関係
根拠: 学習指導要領 中1-B-(2)-ア-(ア)
直線 ℓ が平面 P と点 A で交わり、A を通る P 上の 2 直線に垂直なとき、ℓ と P は垂直であるといい、ℓ ⊥ P と書きます。
点 B から平面 P に垂直な直線を引き、P との交点を H とするとき、線分 BH の長さを点 B と平面 P との距離といいます。
錐体の頂点と底面との距離が、錐体の高さになります。
空間で、ねじれの位置にある 2 直線とは？
交わらず、平行でもない 2 直線
2 直線が同じ平面上にないときに起こる。平面上の 2 直線では起こらない。
空間における 2 直線の位置関係を 3 つ答えよ。
交わる・平行・ねじれの位置
「交わる」と「平行」は同じ平面上にある場合。ねじれの位置は同じ平面上にない場合。
直線と平面の位置関係を 3 つ答えよ。
直線が平面上にある・交わる・平行
平行は、直線と平面が交わらないとき。
直線 ℓ が平面 P に垂直であることを確かめるには、何を調べればよいか？
ℓ と P の交点を通る P 上の 2 直線に、ℓ が垂直であること
1 本だけに垂直でも、ℓ が P に対して傾いていることがある。
3. 面や線を動かしてできる立体
根拠: 学習指導要領 中1-B-(2)-ア-(ア)
多角形や円を、その面に垂直な方向に動かすと、動かした跡が角柱や円柱になります。
また、平面図形を 1 つの直線を軸として 1 回転させてできる立体を回転体といいます。軸のまわりの面をえがく線分を母線といいます。
平面図形を、その面に垂直な方向に平行に動かすと、どんな立体ができるか？
柱体（三角形なら三角柱、円なら円柱）
動かした距離が高さになる。
回転体とは何か？ 長方形・直角三角形・半円を回すと何ができるか。
平面図形を、ある直線を軸として 1 回転させてできる立体。長方形（1 辺を軸）→円柱、直角三角形（直角をはさむ辺を軸）→円錐、半円（直径を軸）→球
回転体を軸をふくむ平面で切ると、切り口は軸について線対称になる。
4. 見取図・展開図・投影図
根拠: 学習指導要領 中1-B-(2)-ア-(ア)
立体を平面の上に表す方法は 3 つあります。
| 表し方 | どうかくか |
|---|---|
| 見取図 | 立体の全体の形が分かるように、見える辺を実線、見えない辺を破線でかく |
| 展開図 | 立体の表面を切り開いて、1 つの平面に広げてかく |
| 投影図 | 正面から見た立面図と、真上から見た平面図を組にしてかく |
投影図の立面図と平面図は、それぞれどこから見た図か？
立面図は正面から、平面図は真上から見た図
立面図を上、平面図を下に並べてかく。
投影図で、立面図が三角形、平面図が円になる立体は？
円錐
立面図が長方形・平面図が円なら円柱、立面図も平面図も円なら球。
円柱の展開図で、側面の長方形の横の長さは、何と等しいか？
底面の円周の長さ
側面を巻くと底面の円のまわりにちょうど重なるから。縦の長さは円柱の高さ。
練習問題
問 1 立方体 ABCD−EFGH（上の面が ABCD、下の面が EFGH で、辺 AE、BF、CG、DH が縦の辺）で、辺 AB とねじれの位置にある辺をすべて答えよ。
辺 CG、DH、EH、FG
方針 ねじれの位置は「交わらず、平行でもない」こと。立方体の 12 本の辺から、AB と交わる辺と、AB に平行な辺を除く。残った辺が答えになる。
- AB と交わる辺を探す。端の点 A か B を通る辺で、A を通る AD、AE と、B を通る BC、BF の 4 本。
- AB に平行な辺を探す。上の面の DC と、下の面の EF、HG の 3 本。
- 残りの本数を数える。AB 自身も除くので、（本）
- 残っているのは、縦の辺 CG、DH と、下の面の辺 EH、FG。これらがねじれの位置にある。
ここで間違えやすい 交わらないだけでは、ねじれの位置とはいえない。EF は AB と交わらないが、平行なので答えに入らない。
問 2 問 1 の立方体で、平面 ABCD と平行な辺をすべて答えよ。
辺 EF、FG、GH、HE
方針 直線と平面が平行なのは、その直線が平面と交わらないとき。12 本の辺を、平面 ABCD（上の面）の「上にある辺」「交わる辺」「交わらない辺」の 3 つに分ける。
- 上の面にある辺は AB、BC、CD、DA の 4 本。平面の上にあるので、平行とはいわない。
- 縦の辺 AE、BF、CG、DH の 4 本は、それぞれ A、B、C、D で上の面と交わる。
- 残りは、下の面にある EF、FG、GH、HE の 4 本。
- 下の面 EFGH は上の面 ABCD と平行で、交わらない。だから下の面にある辺も上の面と交わらず、平行になる。
ここで間違えやすい 平面の上にある辺（AB など）は、平面と交わらないように見えても「平行」ではない。
問 3 正八面体の頂点の数と辺の数を答えよ。
頂点 6、辺 12
方針 正八面体は、正三角形の面が 8 つ集まった立体。面を 1 つずつばらばらにして辺と頂点を数え、同じものを重ねて数えた回数でわる。
- 正三角形 1 つには辺が 3 本ある。8 つの面で数えると、（本）
- 立体では、1 本の辺を 2 つの面が共有する。どの辺も 2 回ずつ数えているので、（本）
- 正三角形 1 つには頂点が 3 つある。8 つの面で数えると、（個）
- 正八面体では、1 つの頂点に 4 つの面が集まる。どの頂点も 4 回ずつ数えているので、（個）
1 つの式にまとめると、辺は 、頂点は 。
ここで間違えやすい 頂点に集まる面の数は、正多面体によってちがう（正四面体は 3 つ、正八面体は 4 つ、正二十面体は 5 つ）。
問 4 投影図で、立面図が三角形、平面図が正方形に 2 本の対角線を引いた図になっている。この立体は何か。
四角錐（正四角錐）
方針 平面図は真上から見た図なので、底面の形が分かる。立面図は正面から見た図なので、上までまっすぐ立つ柱体か、上がとがった錐体かが分かる。この 2 つを組み合わせる。
- 平面図の外側の形は正方形。だから底面は正方形。
- 立面図は三角形。上が 1 点にとがっているので錐体。（柱体なら立面図は長方形になる。）
- 平面図の 2 本の対角線は、とがった頂点から底面の 4 つのかどへのびる辺を、真上から見たもの。
- 底面が正方形の錐体なので、四角錐（正四角錐）。
ここで間違えやすい 立面図が三角形でも、平面図が円なら円錐になる。底面の形は平面図で決める。
問 5 直角をはさむ 2 辺が 3 cm と 4 cm の直角三角形を、長さ 4 cm の辺を軸として 1 回転させる。できる立体の名前と、その底面の半径、高さを答えよ。
円錐。底面の半径 3 cm、高さ 4 cm
方針 回転体は、軸のまわりに図形を 1 回転させてできる。軸になった辺は動かないので高さになる。軸に垂直な辺は、ぐるりと回って円をえがくので、底面の半径になる。
- 直角三角形を、直角をはさむ辺を軸として 1 回転させると、円錐ができる。
- 軸は長さ 4 cm の辺。この辺は動かないので、円錐の高さは 4 cm。
- 長さ 3 cm の辺は軸に垂直。1 回転すると半径 3 cm の円をえがき、これが底面になる。
- 残りの斜めの辺は、円錐の側面をえがく（母線）。
ここで間違えやすい 軸を 3 cm の辺に変えると、底面の半径 4 cm、高さ 3 cm の別の円錐になる。どの辺が軸かを先に確かめる。