関数 y＝ax²｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 C 関数 (1) 関数 y＝ax² ア (ア)「関数 y＝ax² について理解すること」と
(イ)「事象の中には関数 y＝ax² として捉えられるものがあることを知ること」。

0. 何を押さえるか

$y = a x^{2}$ （ $a \neq = 0$ ）で表されるとき、 $y$ は $x$ の 2 乗に比例するといいます。 $a$ は比例定数です。
一次関数と違って、変化の割合は一定になりません。グラフは直線ではなく、放物線という曲線です。

	一次関数 $y = a x + b$	関数 $y = a x^{2}$
$x$ が 2 倍になると	決まった倍にはならない（比例なら 2 倍）	$y$ は 4 倍
変化の割合	一定（ $a$ ）	一定ではない
グラフ	直線	原点を頂点とする放物線

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$x$ が $n$ 倍なら $y$ は $n^{2}$ 倍（ $n$ 倍ではない）
$x$ の変域が 0 をまたぐと、 $y$ の最小値（ $a > 0$ のとき）は 0。変域の両端を代入するだけでは求まらない
比例定数 $a$ と変化の割合は別物。変化の割合は $a (p + q)$ で、区間によって変わる

1. 2 乗に比例する関数

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ア)

$x$ と $y$ の関係が $y = a x^{2}$ で表されるとき、 $\frac{y}{x ^{2}}$ の値はいつも $a$ で一定です。
式を求めるときは、 $y = a x^{2}$ に 1 組の $x$ 、 $y$ の値を代入して $a$ を求めます。

「 $y$ は $x$ の 2 乗に比例する」とき、 $y$ を $x$ の式で表すと？

$y = a x^{2}$ （ $a$ は比例定数、 $a \neq = 0$ ）

$x \neq = 0$ のとき $\frac{y}{x ^{2}} = a$ で一定。

関数 $y = a x^{2}$ で、 $x$ の値が $n$ 倍になると $y$ の値は何倍になるか？

$n^{2}$ 倍

$x$ が 3 倍なら $y$ は 9 倍。比例（ $n$ 倍）と取り違えない。

2. グラフ（放物線）

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ア)

$y = a x^{2}$ のグラフは、原点を通り、 $y$ 軸について対称な曲線です。この曲線を放物線といい、
対称の軸を放物線の軸、軸と放物線の交点を頂点といいます。

関数 $y = a x^{2}$ のグラフの特徴を 3 つ挙げよ。

原点を通る・ $y$ 軸について対称・放物線（なめらかな曲線）

頂点は原点、軸は $y$ 軸。

$y = a x^{2}$ のグラフで、 $a > 0$ と $a < 0$ ではそれぞれどうなるか？

$a > 0$ なら上に開き（ $x$ 軸の上側）、 $a < 0$ なら下に開く（ $x$ 軸の下側）

$a > 0$ のとき $y$ は 0 以上、 $a < 0$ のとき $y$ は 0 以下。

$y = a x^{2}$ で、 $a$ の絶対値が大きくなると、グラフの開き方はどうなるか？

開き方が小さくなる（ $y$ 軸に近づく、細くなる）

同じ $x$ に対する $y$ の絶対値が大きくなるから。

$y = 2 x^{2}$ と $y = - 2 x^{2}$ のグラフは、どんな位置関係にあるか？

$x$ 軸について対称

同じ $x$ に対する $y$ の値の符号だけが反対になる。

3. 変域

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ア)

$y$ の変域は、グラフをかいて読み取ります。放物線は頂点（原点）で向きが変わるので、
$x$ の変域が 0 をまたぐかどうかで求め方が変わります。

$y = a x^{2}$ （ $a > 0$ ）で、 $x$ の変域が 0 をふくむとき、 $y$ の最小値は？

0（ $x = 0$ のとき）

両端を代入した値だけを見ると誤る（ $y = x^{2}$ 、 $- 1 \leq x \leq 2$ なら両端は $1$ と $4$ だが、最小値は $0$ ）。最大値は、両端のうち絶対値の大きい方の $x$ で決まる。

$y = a x^{2}$ （ $a < 0$ ）で、 $x$ の変域が 0 をふくむとき、 $y$ の最大値は？

0（ $x = 0$ のとき）

下に開いた放物線なので、頂点がいちばん高い。

4. 変化の割合

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ア)

変化の割合の求め方は一次関数と同じ（ $y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量）ですが、 $y = a x^{2}$ ではその値が区間によって変わります。

関数 $y = a x^{2}$ の変化の割合は、一次関数と同じように一定か？

一定ではない

$x$ をどこからどこまで増やすかで値が変わる。

$y = a x^{2}$ で、 $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は？

$a (p + q)$

$\frac{a q ^{2} - a p ^{2}}{q - p} = \frac{a ( q + p ) ( q - p )}{q - p} = a (p + q)$ 。

5. 事象の中の関数 y＝ax²

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(イ)

物が落ちはじめてからの時間と落ちる距離、車の速さとブレーキがきき始めてから止まるまでの距離（制動距離）は、
どちらも2 乗に比例する関係として捉えられます。落下では、 $x$ 秒間に落ちる距離はおよそ $y = 5 x^{2}$ （m）です。

物が落ちはじめてからの時間 $x$ 秒と落ちる距離 $y$ m の関係は、どんな関数とみなせるか？

$y = a x^{2}$ （およそ $y = 5 x^{2}$ ）

時間が 2 倍になると、落ちる距離は 4 倍。

車の制動距離は速さの 2 乗に比例する。速さが 2 倍になると、制動距離は何倍になるか？

4 倍

速さを出すほど、止まるまでの距離が急に長くなる。

$y = a x^{2}$ で、 $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は、落下の問題では何を表すか？

その間の平均の速さ

距離の増加量 ÷ 時間の増加量。

練習問題

問 1　 $y$ は $x$ の 2 乗に比例し、 $x = 3$ のとき $y = 18$ である。 $y$ を $x$ の式で表し、 $x = - 2$ のときの $y$ の値を求めよ。

$y = 2 x^{2}$ 、 $y = 8$

方針　「 $y$ は $x$ の 2 乗に比例する」ので、式は $y = a x^{2}$ の形になる。分からないのは比例定数 $a$ だけ。1 組の $x$ 、 $y$ の値（ $x = 3$ 、 $y = 18$ ）を代入すれば $a$ が決まる。式ができたら、 $x = - 2$ を代入する。

式を $y = a x^{2}$ とおく。
$x = 3$ 、 $y = 18$ を代入する。 $18 = a \times 3^{2}$
$3^{2} = 9$ なので、 $18 = 9 a$
両辺を 9 でわる。 $a = 18 \div 9 = 2$
だから、式は $y = 2 x^{2}$
この式に $x = - 2$ を代入する。 $y = 2 \times (- 2)^{2}$
$(- 2)^{2} = 4$ なので、 $y = 2 \times 4 = 8$

ここで間違えやすい　負の数を代入するときは、かっこをつけて 2 乗する。 $(- 2)^{2}$ は $4$ で、 $- 4$ ではない。

問 2　関数 $y = x^{2}$ で、 $x$ の変域が $- 3 \leq x \leq 2$ のとき、 $y$ の変域を求めよ。

$0 \leq y \leq 9$

方針　 $y$ の変域は、グラフの形から考える。 $y = x^{2}$ は比例定数が正なので、上に開いた放物線で、原点がいちばん低い。だから、最初に「 $x$ の変域に 0 が入っているか」を確かめる。入っていれば、最小値は両端ではなく $x = 0$ のところでとる。

$x$ の変域 $- 3 \leq x \leq 2$ は、負の数から正の数までなので、 $x = 0$ をふくむ。
上に開いた放物線でいちばん低いのは原点なので、最小値は $x = 0$ のとき。 $y = 0^{2} = 0$
最大値は、原点から遠いほうの端でとる。 $- 3$ の絶対値は 3、 $2$ の絶対値は 2 なので、遠いのは $x = - 3$ 。
$x = - 3$ を代入する。 $y = (- 3)^{2} = 9$
最小値が 0、最大値が 9 なので、 $0 \leq y \leq 9$

ここで間違えやすい　両端だけを代入して、 $4 \leq y \leq 9$ としない。 $x = 2$ のとき $y = 2^{2} = 4$ だが、その途中の $x = 0$ で $y$ は 0 まで下がっている。

問 3　関数 $y = - 2 x^{2}$ で、 $x$ の変域が $- 1 \leq x \leq 3$ のとき、 $y$ の変域を求めよ。

$- 18 \leq y \leq 0$

方針　 $y = - 2 x^{2}$ は比例定数が負なので、下に開いた放物線で、原点がいちばん高い。問 2 と上下が逆になる。ここでも最初に「 $x$ の変域に 0 が入っているか」を確かめる。入っていれば、最大値は $x = 0$ のところでとる。

$x$ の変域 $- 1 \leq x \leq 3$ は、負の数から正の数までなので、 $x = 0$ をふくむ。
下に開いた放物線でいちばん高いのは原点なので、最大値は $x = 0$ のとき。 $y = - 2 \times 0^{2} = 0$
最小値は、原点から遠いほうの端でとる。 $- 1$ の絶対値は 1、 $3$ の絶対値は 3 なので、遠いのは $x = 3$ 。
$x = 3$ を代入する。 $y = - 2 \times 3^{2} = - 2 \times 9 = - 18$
最小値が $- 18$ 、最大値が 0 なので、 $- 18 \leq y \leq 0$

ここで間違えやすい　両端だけを代入して、 $- 18 \leq y \leq - 2$ としない。 $x = - 1$ のとき $y = - 2 \times (- 1)^{2} = - 2$ だが、その途中の $x = 0$ で $y$ は 0 まで上がっている。また、変域は小さいほう（ $- 18$ ）を左に書く。

問 4　関数 $y = 3 x^{2}$ で、 $x$ が 1 から 4 まで増加するときの変化の割合を求めよ。

方針　変化の割合は「 $y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」で求める。 $y = a x^{2}$ では変化の割合が一定でないので、比例定数の 3 をそのまま答えにはできない。両端の $x = 1$ と $x = 4$ での $y$ の値を出して、増加量を計算する。

$x = 1$ のときの $y$ を求める。 $y = 3 \times 1^{2} = 3$
$x = 4$ のときの $y$ を求める。 $y = 3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = 48$
$x$ の増加量は、 $4 - 1 = 3$
$y$ の増加量は、 $48 - 3 = 45$
変化の割合は、 $\frac{48 - 3}{4 - 1} = \frac{45}{3} = 15$

別の求め方： $x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は $a (p + q)$ なので、 $3 \times (1 + 4) = 3 \times 5 = 15$ 。同じ値になる。

ここで間違えやすい　一次関数と同じつもりで、比例定数の 3 を答えない。 $y = a x^{2}$ の変化の割合は、区間によって変わる。

問 5　ある車の制動距離は速さの 2 乗に比例し、時速 40 km のとき 8 m だった。時速 80 km のときと、時速 60 km のときの制動距離を求めよ。

時速 80 km で 32 m、時速 60 km で 18 m

方針　速さを時速 $x$ km、制動距離を $y$ m とすると、 $y$ は $x$ の 2 乗に比例するので $y = a x^{2}$ と表せる。時速 80 km は時速 40 km のちょうど 2 倍なので、「 $x$ が 2 倍なら $y$ は 4 倍」だけで求まる。時速 60 km はきりのよい倍ではないので、式を作ってから代入する。

時速 80 km のとき。速さは $80 \div 40 = 2$ （倍）になっている。
2 乗に比例するので、制動距離は $2^{2} = 4$ （倍）になる。 $8 \times 4 = 32$ （m）
時速 60 km のとき。まず式を作る。 $y = a x^{2}$ に $x = 40$ 、 $y = 8$ を代入して、 $8 = a \times 4 0^{2}$
$4 0^{2} = 1600$ なので、 $8 = 1600 a$
両辺を 1600 でわる。 $a = \frac{8}{1600} = \frac{1}{200}$
だから、式は $y = \frac{1}{200} x^{2}$
この式に $x = 60$ を代入する。 $6 0^{2} = 3600$ なので、 $y = \frac{3600}{200} = 18$ （m）

確かめ：この式に $x = 80$ を代入すると、 $8 0^{2} = 6400$ なので $y = \frac{6400}{200} = 32$ 。手順 2 と同じ値になる。

ここで間違えやすい　時速 60 km は 40 と 80 のまん中だからといって、8 m と 32 m のまん中の 20 m としない。2 乗に比例する関係では、まん中の値にならない。

問 6　物が落ちる距離を $y = 5 x^{2}$ （ $x$ 秒、 $y$ m）とする。80 m 落ちるのは何秒後か。また、落ちはじめて 2 秒後から 4 秒後までの平均の速さを求めよ。

4 秒後、秒速 30 m

方針　前半は、 $y$ の値（80 m）が分かっていて $x$ を求めるので、式に $y = 80$ を代入して方程式を解く。後半の平均の速さは「落ちた距離 ÷ かかった時間」で、これは $y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量、つまり変化の割合と同じ計算になる。

前半。 $y = 5 x^{2}$ に $y = 80$ を代入する。 $5 x^{2} = 80$
両辺を 5 でわる。 $x^{2} = 80 \div 5 = 16$
2 乗して 16 になる数は $4$ と $- 4$ 。 $x$ は時間なので正の数。だから $x = 4$ （秒後）
後半。2 秒後までに落ちた距離を求める。 $y = 5 \times 2^{2} = 5 \times 4 = 20$ （m）
4 秒後までに落ちた距離を求める。 $y = 5 \times 4^{2} = 5 \times 16 = 80$ （m）
この間に落ちた距離は $80 - 20 = 60$ （m）、かかった時間は $4 - 2 = 2$ （秒）
平均の速さは、 $60 \div 2 = 30$ 。秒速 30 m

別の求め方：変化の割合の公式 $a (p + q)$ を使うと、 $5 \times (2 + 4) = 5 \times 6 = 30$ 。同じ値になる。

ここで間違えやすい　平均の速さを $80 \div 4 = 20$ としない。これは落ちはじめ（0 秒後）から 4 秒後までの平均で、2 秒後からの平均ではない。