いろいろな関数｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 C 関数 (1) 関数 y＝ax² ア (ウ)「いろいろな事象の中に，関数関係があることを理解すること」。

0. 何を押さえるか

$x$ の値を決めると $y$ の値がただ 1 つに決まるとき、 $y$ は $x$ の関数です。
関数は、比例・反比例・一次関数・ $y = a x^{2}$ のように 1 つの式で表せるものばかりではありません。
郵便料金や駐車料金のように、グラフが階段状になる関数もあります。

関数	表の見分け方	グラフ
比例 $y = a x$	$\frac{y}{x}$ が一定	原点を通る直線
反比例 $y = \frac{a}{x}$	$x y$ が一定	双曲線
一次関数 $y = a x + b$	$x$ が 1 増えるごとの $y$ の増え方が一定	直線
関数 $y = a x^{2}$	$\frac{y}{x ^{2}}$ が一定	放物線

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

関数かどうかは「 $x$ を決めると $y$ が 1 つに決まるか」。式で表せるかどうかではない
階段状のグラフの端は、● がふくむ、○ がふくまない
$y$ が $x$ の関数でも、 $x$ が $y$ の関数とは限らない

1. 関数であるもの・ないもの

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ウ)

関数関係があるかどうかは、「 $x$ の値を 1 つ決めたとき、 $y$ の値が 1 つに決まるか」で判断します。

「 $y$ は $x$ の関数である」とはどういうことか？

$x$ の値を決めると、それに対応して $y$ の値がただ 1 つに決まること

式で表せなくても、1 つに決まれば関数。

自然数 $x$ の約数の個数を $y$ とするとき、 $y$ は $x$ の関数か？

関数である

$x$ を決めれば約数の個数は 1 つに決まる（ $x = 6$ なら 4 個）。式で表せなくてもよい。

自然数 $x$ の約数を $y$ とするとき、 $y$ は $x$ の関数か？

関数ではない

$x = 6$ のとき $y$ は 1、2、3、6 と複数あり、1 つに決まらない。

周の長さが $x$ cm の長方形の面積を $y$ cm² とするとき、 $y$ は $x$ の関数か？

関数ではない

周の長さが同じでも、縦と横の長さで面積が変わる。

2. 階段状のグラフ

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ウ)

料金のように「〜まで何円」と決まっているものは、ある範囲では $y$ が変わらず、境目でとびます。
そのためグラフは階段状になり、境目の点がどちらの段に入るかを ● と ○ で区別します。

階段状のグラフで、線分の端の ● と ○ はそれぞれ何を表すか？

● はその点をふくむ、○ はその点をふくまない

境目の $x$ に対する $y$ が、どちらの段の値になるかを表す。

料金が「30 分以内 200 円」のとき、 $x = 30$ の点は 200 円の段の端で ● か ○ か？

●（ふくむ）

「以内」「以下」は境目の値をふくむ。「未満」ならふくまない（○）。

駐車時間 $x$ 分と料金 $y$ 円で、 $y$ は $x$ の関数だが、 $x$ は $y$ の関数といえるか？

いえない

料金を決めても駐車時間は 1 つに決まらない（200 円なら 1 分でも 30 分でもよい）。

3. 表から関数を見分ける

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ウ)

表の $x$ と $y$ の値から、どの種類の関数かを見分けられます。
見分けるときは、商・積・増え方を順に確かめます。

表で $x$ と $y$ の積 $x y$ がいつも一定なのは、どの関数か？

反比例（ $y = \frac{a}{x}$ ）

比例は商 $\frac{y}{x}$ が一定。積と商を取り違えない。

表で $x$ が 1 増えるごとに $y$ が同じ数ずつ増える（または減る）が、 $\frac{y}{x}$ は一定でない。どの関数か？

一次関数（ $b \neq = 0$ ）

$\frac{y}{x}$ も一定なら比例。

表で $x$ が 2 倍、3 倍になると $y$ が 4 倍、9 倍になる。どの関数か？

関数 $y = a x^{2}$

$\frac{y}{x ^{2}}$ が一定になる。

4. 放物線と直線の交点

根拠: 学習指導要領中3-C-(1)-ア-(ウ)

放物線 $y = a x^{2}$ と直線 $y = m x + n$ の交点は、両方の式を満たす点です。
2 つの式から $y$ を消した二次方程式 $a x^{2} = m x + n$ を解くと、交点の $x$ 座標が求まります。

放物線 $y = a x^{2}$ と直線 $y = m x + n$ の交点の $x$ 座標は、どうやって求めるか？

$a x^{2} = m x + n$ を解く

$y$ を消すと二次方程式になる。解は 2 つあれば交点は 2 つ。

練習問題

問 1　ある駐車場の料金は、最初の 30 分までが 200 円で、その後は 30 分ごとに 100 円ずつ加わる（30 分に満たなくても 100 円）。75 分とめたときの料金を求めよ。また、料金が 300 円になるのは、駐車時間が何分をこえて何分以下のときか。

400 円。30 分をこえて 60 分以下のとき

方針　この料金は、30 分ごとに段になって上がる（グラフは階段状）。式 1 つでは表せないので、「何分をこえて何分以下なら何円」という段を、短いほうから順に書きならべる。そのうえで、75 分がどの段に入るか、300 円がどの段かを読み取る。

1 段目。最初の 30 分までは 200 円。
2 段目。30 分をこえると 100 円が加わる。次の 30 分が終わる 60 分までは、 $200 + 100 = 300$ （円）
3 段目。60 分をこえると、さらに 100 円が加わる。90 分までは、 $300 + 100 = 400$ （円）
表にまとめる。

駐車時間	料金
30 分以下	200 円
30 分をこえて 60 分以下	300 円
60 分をこえて 90 分以下	400 円

75 分は、60 分をこえて 90 分以下の段に入る。だから 400 円。
料金が 300 円になるのは 2 段目。30 分をこえて 60 分以下のとき。

ここで間違えやすい　境目の時間がどちらの段に入るか。ちょうど 30 分は 200 円、ちょうど 60 分は 300 円（どちらも「以下」の側）。また、「30 分に満たなくても 100 円」なので、31 分でも 300 円になる。

問 2　次の表で、 $y$ は $x$ のどんな関数か。式も答えよ。

$x$	1	2	3	4
$y$	3	12	27	48

関数 $y = a x^{2}$ 、 $y = 3 x^{2}$

方針　表から関数の種類を見分けるには、商 $\frac{y}{x}$ （比例）、積 $x y$ （反比例）、 $y$ の増え方（一次関数）、商 $\frac{y}{x ^{2}}$ （ $y = a x^{2}$ ）のどれが一定になるかを順に調べる。一定になったものが、その関数である。

商 $\frac{y}{x}$ を調べる。 $\frac{3}{1} = 3$ 、 $\frac{12}{2} = 6$ で一定でない。比例ではない。
積 $x y$ を調べる。 $1 \times 3 = 3$ 、 $2 \times 12 = 24$ で一定でない。反比例ではない。
$x$ が 1 増えるごとの $y$ の増え方を調べる。 $12 - 3 = 9$ 、 $27 - 12 = 15$ で一定でない。一次関数ではない。
商 $\frac{y}{x ^{2}}$ を調べる。 $\frac{3}{1 ^{2}} = 3$ 、 $\frac{12}{2 ^{2}} = \frac{12}{4} = 3$ 、 $\frac{27}{3 ^{2}} = \frac{27}{9} = 3$ 、 $\frac{48}{4 ^{2}} = \frac{48}{16} = 3$
$\frac{y}{x ^{2}}$ がどれも 3 で一定なので、 $y$ は $x$ の 2 乗に比例する。比例定数は 3 で、式は $y = 3 x^{2}$

確かめ： $x$ が 1 から 2 へ 2 倍になると、 $y$ は 3 から 12 へ 4 倍になっている。 $x$ が 1 から 3 へ 3 倍になると、 $y$ は 3 から 27 へ 9 倍になっている。

問 3　次の表で、 $y$ は $x$ のどんな関数か。式も答えよ。

$x$	1	2	3	4
$y$	12	6	4	3

反比例、 $y = \frac{12}{x}$

方針　 $x$ が増えると $y$ が減っている表である。減る関数には、一次関数（減り方が一定）と反比例（積が一定）がある。そこで、 $y$ の減り方と、積 $x y$ を調べて、どちらが一定になるかを見る。

$x$ が 1 増えるごとの $y$ の変わり方を調べる。 $6 - 12 = - 6$ 、 $4 - 6 = - 2$ で一定でない。一次関数ではない。
積 $x y$ を調べる。 $1 \times 12 = 12$ 、 $2 \times 6 = 12$ 、 $3 \times 4 = 12$ 、 $4 \times 3 = 12$
積がどれも 12 で一定なので、 $x y = 12$ 。 $y$ は $x$ に反比例する。
$y$ について解くと、式は $y = \frac{12}{x}$

ここで間違えやすい　積と商を取りちがえない。商 $\frac{y}{x}$ が一定なのは比例、積 $x y$ が一定なのは反比例である。

問 4　放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = x + 2$ の交点の座標を求めよ。また、原点を O、2 つの交点を A、B とするとき、△OAB の面積を求めよ。

交点は $(- 1, 1)$ と $(2, 4)$ 、面積は 3

方針　交点は、放物線の式も直線の式も満たす点である。だから、2 つの式から $y$ を消して、 $x$ の二次方程式を解く。面積は、△OAB の 3 辺がどれもななめで、そのままでは底辺と高さが決めにくい。そこで、 $y$ 軸で 2 つの三角形に分け、 $y$ 軸の上の辺を共通の底辺にする。

交点では $y$ の値が等しいので、 $x^{2} = x + 2$
右辺を左辺に移項する。 $x^{2} - x - 2 = 0$
左辺を因数分解する。かけて $- 2$ 、たして $- 1$ になる 2 つの数は $1$ と $- 2$ なので、 $(x + 1) (x - 2) = 0$
だから、 $x = - 1, 2$
$y$ 座標を $y = x^{2}$ から求める。 $x = - 1$ のとき $y = (- 1)^{2} = 1$ 、 $x = 2$ のとき $y = 2^{2} = 4$
交点は A $(- 1, 1)$ 、B $(2, 4)$ 。直線の式でも確かめると、 $- 1 + 2 = 1$ 、 $2 + 2 = 4$ で合っている。
面積を求める。直線 $y = x + 2$ と $y$ 軸の交点を C とすると、切片が 2 なので C $(0, 2)$ 。OC の長さは 2。
△OAB を、 $y$ 軸の左の △OAC と、右の △OBC に分ける。どちらも底辺を OC（長さ 2）とする。
△OAC の高さは、A から $y$ 軸までの距離で 1。面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$
△OBC の高さは、B から $y$ 軸までの距離で 2。面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$
合わせて、△OAB の面積は $1 + 2 = 3$

まとめて計算すると、底辺 2、高さの合計 $1 + 2 = 3$ で、面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$ 。

ここで間違えやすい　高さに $y$ 座標（1 と 4）を使わない。底辺が $y$ 軸の上にあるので、高さは $y$ 軸までの横の距離、つまり $x$ 座標の絶対値（1 と 2）である。

問 5　放物線 $y = a x^{2}$ と直線 $y = 2 x + 3$ が、 $x$ 座標が 3 の点で交わっている。 $a$ の値を求めよ。

$a = 1$

方針　交点は、直線の上にも放物線の上にもある。直線の式 $y = 2 x + 3$ には分からない文字がないので、まず直線の式で交点の $y$ 座標を求める。交点の座標が分かったら、それを放物線の式 $y = a x^{2}$ に代入して $a$ を求める。

交点は直線の上にあるので、 $y = 2 x + 3$ に $x = 3$ を代入する。 $y = 2 \times 3 + 3 = 9$
だから、交点の座標は $(3, 9)$
交点は放物線の上にもあるので、 $y = a x^{2}$ に $x = 3$ 、 $y = 9$ を代入する。 $9 = a \times 3^{2}$
$3^{2} = 9$ なので、 $9 = 9 a$
両辺を 9 でわる。 $a = 9 \div 9 = 1$

確かめ： $a = 1$ のとき放物線は $y = x^{2}$ で、 $x = 3$ を代入すると $y = 3^{2} = 9$ 。直線の上の点 $(3, 9)$ を通っている。